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高中三角函数、导数部分公式



一、高中三角函数公式
两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tanA ? tanB tan(A+B) = 1 - tanAtanB tanA ? tanB tan(A-B) = 1 ? tanAtanB cotAcotB - 1 cot(A+B) = cotB ? cotA cotAcotB ? 1 cot(A-B) = cotB ? cotA 倍角公式 2tanA tan2A = 1 ? tan 2 A Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA ? ? tan3a = tana·tan( +a)·tan( -a) 3 3 半角公式 和差化积
a?b a?b cos 2 2 a?b a?b sina-sinb=2cos sin 2 2 a?b a?b cosa+cosb = 2cos cos 2 2 a?b a?b cosa-cosb = -2sin sin 2 2 sin( a ? b) tana+tanb= cos a cos b 积化和差 1 sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1 cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1 cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2 诱导公式

sina+sinb=2sin

sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa
? 2 ? cos( -a) = sina 2 ? sin( +a) = cosa 2 ? cos( +a) = -sina 2

1 ? cos A A sin( )= 2 2
cos(

sin( -a) = cosa

1 ? cos A A )= 2 2 1 ? cos A A )= 2 1 ? cosA 1 ? cos A A )= 2 1 ? cosA
A 1 ? cos A sin A )= = sin A 1 ? cos A 2

tan(

sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa

cot( tan(

万能公式

a 2 sina= a 1 ? (tan ) 2 2 a 1 ? (tan ) 2 2 cosa= a 1 ? (tan ) 2 2 a 2 tan 2 tana= a 1 ? (tan ) 2 2 其它公式 2 tan
a?sina+b?cosa= (a 2 ? b 2 ) ×sin(a+c)
b [其中 tanc= ] a

a?sin(a)-b?cos(a) =

(a 2 ? b 2 ) ×

a ] b a a 1±sin(a) =(sin ±cos )2 2 2 其他非重点三角函数 1 csc(a) = sin a 1 sec(a) = cos a 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一 三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα (以上 k∈Z) 公式二: 设 α 为任意角, π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα

cos(a-c) [其中 tan(c)=

公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关 系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六: ? 3? ±α 及 ±α 与 α 的三角函数值之间 2 2 的关系: ? sin( +α)= cosα 2 ? cos( +α)= -sinα 2 ? tan( +α)= -cotα 2 ? cot( +α)= -tanα 2

? -α)= cosα 2 ? cos( -α)= sinα 2 ? tan( -α)= cotα 2 ? cot( -α)= tanα 2
sin(

3? +α)= -cosα 2 3? cos( +α)= sinα 2 3? tan( +α)= -cotα 2 3? cot( +α)= -tanα 2

sin(

3? -α)= -cosα 2 3? cos( -α)= -sinα 2 3? tan( -α)= cotα 2 3? cot( -α)= tanα 2

sin(

二、导数公式
1. 定义

f ?( x0 ) ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
y? ? 0
(5) y ? sin x (6) y ? cos x

2. 常见函数的导数 (1)

y?c
n

y ? ? cos x y ? ? ? sin x

(2) y ? x

y? ? nxn?1
y? ? 1 log a e x

y ? loga x (3)
x (4) y ? a

(7) y ? tan x

y? ?

1 cos 2 x 1 sin 2 x

y? ? a x ln a

(8) y ? cot x

y? ? ?

3. 运算

? ? ? (1) [ f ( x) ? g ( x)] ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? (2) [ f ( x) ? g ( x)] ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? (3) [c ? f ( x)] ? c ? f ( x)

1 ]? ? ? f ?( x) / f 2 ( x) (4) f ( x) ( f ( x) ? 0 ) [
f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) g 2 ( x) (5) ( g ( x) ? 0 ) [
4. 复合函数的系数

y ? f (u )

u ? g (x)

y ? F ( x) ? f [ g ( x)]
其中 u ? g (x)

? ? ? ∴ F ( x) ? f (u) ? g ( x)

5. 切线 P(

x0 , y0 )在 y ? f (x) 上,以 P 为切点, f (x) 为切线

l : y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 )
6. 单调区间 (1) y ? f (x) 在区间( ∴(

a , b )内可导,且 x ? ( a , b )总有 f ?(x) ? 0

a , b )为 y ? f (x) 的增区间 a , b )内可导,且 x ? (a , b)
? 总有 f ( x) ? 0

(2) y ? f (x) 在区间( ∴(

a , b )为 y ? f (x) 的减区间

三、定积分相关公式
1.

?

b a

f ( x)dx ? lim ? f (? i )?xi ,
? ?0 i ?1

n

其中 f (x) 称为被积函数, f ( x)dx 称为被积表

达式, x 称为积分变量, [ a, b] 称为积分区间, a 与 b 分别称为积分下限与积分上限, ①定积分是特定和式的极限,它表示一个数.它只取决于被积函数与积分下限、积分上限, 而与积分变量采用什么字母无关,例如

?

π/2

0

sin xdx ? ?

π/2

0

sin tdt ,一般地有

?

b

a

f ( x)dx = ? f (t )dt .
a

b

②定积分的几何意义:设 f (x) 在 [ a, b] 上的定积分为

?

b

a

f ( x)dx ,其积分值等于曲线

y ? f (x) 、直线 x ? a, x ? b 和 y ? 0 所围成的在 x 轴上方部分与下方部分面积的代数和.
2.定积分的性质 (1)积分对函数的可加性,即 可推广到有限项的情况即
b

? [ f ( x) ? g ( x)dx] ? ?
a 2

b

b

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx ,
a b b a a

b

? [ f ( x) ? f
a 1 b a

( x) ? ? ? f n ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? ? ? f n ( x)dx .
b a

(2)积分对函数的齐次性,即

? kf ( x)dx ? k ? ?
b a

f ( x)dx

(k为常数) .

(3)如果在区间 [ a, b] 上 f ( x) ? 1 ,则

1dx ? b ? a .

(4) (积分对区间的可加性)如果 a ? c ? b ,则

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx .
a c

c

b

注意:对于 a, b, c 三点的任何其他相对位置,上述性质仍成立,仍有

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx .
a c

c

b

(5) (积分的比较性质) 如果在区间 [ a, b] 上有 f ( x) ? g ( x) , 则

?

b

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx .
a

b

(6) (积分的估值性质)设 M 与 m 分别是函数 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上的最大值与最小值, 则

m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a) .
a

b

(7) (积分中值定理) 如果函数 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续,则在区间 [ a, b] 上至少存在 一点 ? ,使得

?

b

a

f ( x)dx ? f (?)(b ? a) .

3.微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式) 设函数 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续,如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数,则

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) ,

b

以上公式称为微积分基本定理,又称牛顿–莱布尼茨公式.



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