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必修4第三章三角变换章末复习与题型整理



课题:三角变换章末整理与复习 ————

Friday, March 01, 2013

复习公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? ? tan ?
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2 2 2 2

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

公式变形

tan? ? tan? ? tan( ? ? ? )?1 ? tan? ? tan ? ?
1 sin ? cos ? ? sin 2? 2 sin 2? sin 2? sin ? ? cos ? ? 2 cos ? 2 sin?
2 (sin ? ? cos ? ) 1 ? sin 2? ?

1 ? cos 2? ? 2cos ?
2

1 ? cos 2? ? 2sin 2 ?

公式变形

1 ? cos ? sin ? , 2 2
2 2

?

1 ? cos ? cos ? , 2 2
2

?

1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? tan ? ,tan ? = 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ? sin ?

?

a sin x ? b cos x ? a ? b sin ?x ? ? ?,
2 2

辅助角公式:

? ? a b ?其 中 由 ? cos ? ? , sin ? ? 可 以 求 出 . ? ? 2 2 2 2 a ?b a ?b ? ?

例题详解
60 ? ? 【例1】已知sin ? cos ?= ,且 ? ? ? ,求sin ?,cos ?的值. 169 4 2
解:法一:因为 sin φcos φ= 60 120 ,所以 sin 2φ= . 169 169 π π π 因为 <φ< ,所以 <2φ<π,cos 2φ<0, 4 2 2 所以 cos 2φ=- 1-sin 2φ=- 因为 sin φ>0,cos φ>0. 119 1+ 169 12 1-cos 2φ 所以 sin φ= = = , 2 2 13 119 1- 169 5 1+cos 2φ cos φ= = = . 2 2 13
2

120 2 119 1-? ? =- , 169 169

例题详解
60 ? ? 【例1】已知sin ? cos ?= ,且 ? ? ? ,求sin ?,cos ?的值. 169 4 2
法二:(sin φ+cos φ)2=1+2sin φcos φ=1+ π π 因为 <φ< ,所以 sin φ>cos φ>0, 4 2 289 17 所以 sin φ+cos φ= = ① 169 13 又因为(sin φ-cos φ)2=1-2sin φcos φ=1- 49 7 = ② 169 13 12 5 由①、②解得 sin φ= ,cos φ= . 13 13 所以 sin φ-cos φ= 120 49 = , 169 169 120 289 = , 169 169

课本 P146
3

A组 6(1)(2)(3)(4)B组

1、2、

例题详解
4 1 13 【练习1】已知?为锐角, cos ? = , tan ? =- , 求 tan (? -?). 5 3 9 ?? 1 ? ? ?? 1 【练习2】已知tan ? ? + ? = , tan ? ? - ? = , 求 tan (? +?).1 6? 2 ? ? 6? 3 ?? 3 ? ? ? 7 2 ? ? 【练习3】已知sin ? ? + ? = ,0<? < , 求sin ? ? + ? . 3? 5 2 12 ? 10 ? ?

?? ? 3 ?? ? 3 ? ?? 【练习4】已知sin ? ? ? ? = ,sin ? ? ? ? = ,?、? ? ? 0, ? , ?4 ? 5 ?4 ? 4 ? 4? 4 7?9 求cos ?? +? ? . 20 4 5 【练习5】已知?、? 都是锐角,sin ? = ,cos ?? +? ? = , 5 13 16 求 sin ? 的值. 65

例题详解
4 1 13 【练习1】已知?为锐角, cos ? = , tan ? =- , 求 tan (? -?). 5 3 9 ?? 1 ? ? ?? 1 【练习2】已知tan ? ? + ? = , tan ? ? - ? = , 求 tan (? +?).1 6? 2 ? ? 6? 3 ?? 3 ? ? ? 7 2 ? ? 【练习3】已知sin ? ? + ? = ,0<? < , 求sin ? ? + ? . 3? 5 2 12 ? 10 ? ?

?? ? 3 ?? ? 3 ? ?? 【练习4】已知sin ? ? ? ? = ,sin ? ? ? ? = ,?、? ? ? 0, ? , ?4 ? 5 ?4 ? 4 ? 4? 4 7?9 求cos ?? +? ? . 20 4 5 【练习5】已知?、? 都是锐角,sin ? = ,cos ?? +? ? = , 5 13 16 求 sin ? 的值. 65

例题详解
12 17 2 ? 3? 【练习1】已知 cos ? = - , cos ?? +? ? = ,? ? ? ?, 13 26 2 ? 3? ? 3? ? ? +? ? ? , 2? ? 求角? . 4 ? 2 ? ? ?, ?

给值求角的解题基本步骤是先根据条件求出该角 的范围,如果范围未超出两个象限,选择合适的三角 函数值,如果范围超出两个象限,可选择两个三角函

数值共同决定角的大小或利用单调性先缩小角的范围.
<拓展〉P152 第1题

例题详解

【例2】化简tan70 cos10 ( 3 tan20 ? 1)
? ? ?

【练习1】化简 1 3 (1) ? ? sin10 cos10? (2)sin 40 (tan10 ? 3)
? ? ?

解题思路:切化 弦,通分,辅助 角公式,非特殊 角通过分子分母 相约或正负抵消

(3)sin 50 (1 ? 3 tan10 )
?

例题详解
【练习2】化简求值 (1) 3 cos

?
12

- sin

?
12

;2

1- tan 75? 3 (2) ; 1+ tan 75? 3 (3) tan18? ? tan 42? ? 3 tan18? tan 42?; 3 6? 2 (4)cos 555?; ? 4

例题详解
【练习2】化简求值 (1) 3 cos

?
12

- sin

?
12

;2

1- tan 75? 3 (2) ; 1+ tan 75? 3 (3) tan18? ? tan 42? ? 3 tan18? tan 42?; 3 6? 2 (4)cos 555?; ? 4

例题详解
【练习2】化简求值 (5)sin 6? cos 24? sin 78? cos 48? 1 16

解题思路:化成余弦的二倍角关系,然后反复 使用 sin 2? ? 2 sin ? cos ?

(6)(1+ tan 21 )(1+ tan 22 )(1+ tan 23 )(1+ tan 24 )4
方法:若? +? = ,则(1+ tan ? )(1+ tan ? )=2 4

?

?

?

?

?

例题详解
【练习2】化简求值 (5)sin 6? cos 24? sin 78? cos 48? 1 16

解题思路:化成余弦的二倍角关系,然后反复 使用 sin 2? ? 2 sin ? cos ?

(6)(1+ tan 21 )(1+ tan 22 )(1+ tan 23 )(1+ tan 24 )4
方法:若? +? = ,则(1+ tan ? )(1+ tan ? )=2 4

?

?

?

?

?

例题详解

【例3】证明.课本 P143 A组1、2、3、4 P146 A组8
证明题思路:左到右,右到左,两边到中间,一 般从复杂的一边证到简单的一边.

例题详解
【例4】求函数y ? sin x ? 3 cos x的周期,最大值 和最小值


?1 ? 3 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ? ?? ? ? 2sin ? x ? ? 3? ?
课本P147 9、10、11、12

所以,所求的周期为2??,最大值为2,最小值为-2.

例题详解
? 【例5】如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为 的 3 扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接 矩形 . 记?COP ? ? ,求当角? 取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出最大面积.
分析:要求当角?取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分 二步进行. ①找出S与?之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.

经典再现

例题详解
解 在Rt△OBC中,OB=cos?,BC=sin?
DA ? tan 60? ? 3 在Rt△OAD中, OA

3 3 3 OA ? DA ? BC ? sin ? 3 3 3 3 AB ? OB ? OA ? cos ? ? sin ? 3

设矩形ABCD的面积为S,则

S ? AB?BC

? ? 3 ?? ? cos ? ? 3 sin ? ? ? sin ? ? ? 3 ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 3

例题详解
1 3 通过三角变换把形如 ? sin 2? ? 1 ? cos 2 ? ? ? y=asinx+bcosx的函数 2 6 转化为形如 1 3 3 y=Asin(??+?)的函数, ? sin 2? ? cos 2? ? 2 6 6 从而使问题得到简化 ? 1 ? 3 1 3 ? sin 2? ? cos 2? ? ? ? ? ? 2 3? 2 ? 6 1 ?? 3 ? ? sin ? 2? ? ? ? 6? 6 3 ? ? ? ? 5? 由于0 ? ? ? ,得 ? 2? + ? .所以 3 6 6 6 1 3 3 ? ? ? ? 当 2? ? ? ,即 ? ? 时, S最大 ? 6 6 2 6 3 6

例题详解 例6 如图,有一块以O为圆心的圆形空地,要在这 块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地。 已知圆的半径为R,问矩形何时面积最大?
D C

O A B

例题详解
解:因为∠ADC=90?,
A

2 R sin ?
D

B 2R

所以AC=2R,设∠ACD=? 则AB=2R sin ?,OA=2R cos ? ? S ? 2 R sin ? ?2 R cos ? ? 2 R sin 2? (0 ? ? ?
2

?
2 R cos ?
C

?
2

)

? 0 ? 2? ? ? ? 当 sin 2? ? 1时,即? = Smax ? 2 R 2

?
4



作业
1、如图,有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空 地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地。其中一边AD落 在圆的直径上,另外两点B、C落在半圆的圆周上,已知 圆的半径为R,如何选择关于点O对称的点A、D的位置使 C 矩形面积最大?
?

B

2、已知函数f ( x ) ? sin(? ? 2 x ) ? 2 3 sin x ? 3
2

D

O

A

(1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调减区间及在区间[0,? ]上最小值. 1 ? 3、已知 sin ( +?)sin( -?) = ,且? ? ( ,? ), 4 4 6 2 求sin4?的值.

?

?



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