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黑龙江省哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题



哈尔滨市第六中学 2015-2016 学年度上学期期中考试 高三文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 M ? {?1,1} , N ? {x | A. {?1,1} 2.已知 B. ?

1 ? 2 x?1 ? 4, x ? Z} ,则 M ? N ? ( 2 C. (?1,1 ) D. {?1}<

br />)

)

a ? 2i ? b ? i ? a, b ? R ? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? ( i A. ?1 B. 1 C. 2 D. 3
? ? ? ? ? ?

3.已知向量 m ? (? ? 1,1), n ? (? ? 2,2), 若 (m? n ) ? (m? n ) ,则 ? ? ( A. ? 4 4.已知 sin(? ? B. ? 3 C. ? 2 D. ? 1



2? ? 4 3 ? ) 等于( ) ) ? cos(? ? ) ? ? ,? ? ? ? 0, 则 cos(? ? 3 3 2 5 2 4 3 4 3 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 5.设 a , b, c 是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不 正确的是( ....
A. 当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? B. 当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b C. 当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? D.当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c 6.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的全面积是(

?

)

)(单位:m2) .

正视图 A. 4 ? 2 6 B. 4 ? 6

侧视图 C. 4 ? 2 2

俯视图 D. 4 ? 2 )



7.执行右面的程序框图,若输出的结果是 A. 3 B. 4

15 ,则输入的 a 为( 16 C. 5 D. 6

y 2 x2 2 8.设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x ? 1 a b
相切,则该双曲线的离心率等于( A. ) D.

9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b ,则 b ? a 的概率是( A.

5 2
4 5

B. 5

C. 6

6 2

)

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

10. 在 ?ABC 中, ?A ? 60? , BC ? 10 , D 是 AB 边上的一点, CD ?

2,

?CBD 的面积为 1 ,则 BD 的长为(
A.

) D. 1

3 2

B. 4

C. 2

高三文科数学期中试题

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1

11.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( ? x) ? f ( ? x) , ( x ? ) f ?( x ) ? 0 ,任意的 x1 ? x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 是 x1 ? x2 ? 5 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知函数 f ( x) 是定义在 ? a ? 1,2a ? 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) 单调递增, 则关于 x 的不等式 f ( x ? 1) ? f (a) 的解集为( A. [ , ) ) D.随 a 的值而变化

5 2

5 2

5 2

4 5 3 3

B. [ , ) ? ( , ]

1 2 3 3

4 5 3 3

C. (?

2 1 1 2 ,? ] ? [ , ) 3 3 3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? x ? 0, ? 13.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?

.

14.定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 y 2 ? x 上移动,设点 P 为线段 MN 的中点, 则点 P 到 y 轴距离的最小值为 . 15.直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧,则 a ? b =________. 32? 16.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的各个顶点都在体积为 的球 O 的球面上,其中 AA1 ? 2 , 3
2 2

则四棱锥 O-ABCD 的体积的最大值为 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n , an , (1)证明数列 ?an ? 是等比数列; (2)若 bn ? log2 an ? 3 ,求数列 ?



1 成等差数列. 2

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

18.(本小题满分 12 分) 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分). 已知甲代表队数据的中位数为 76 ,乙代表队数据的平均数是 75 . (1)求 x , y 的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分 的学生,求抽到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队 学生成绩的概率; (3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由 (方差较小者稳定).

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AB ? BC ? 2 , AD ? CD ?

7,

PA ? 3 , ?ABC ? 120 ? , G 为线段 PC 上的点, (1)证明: BD ⊥平面 PAC ; (2)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值.

高三文科数学期中试题

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2

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 ,直线 l 与椭圆相交于 2 2 a b 1 A 、 B 两点,且满足 AF1 ? AF2 ? 4 2 , k OA ? k OB ? ? , O 为坐标原点. 2

(1)求椭圆的方程; (2)证明: ?OAB 的面积为定值.

21. (本小题满分 12 分)

1 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) ( a ? R ) . 2 (1)若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? (1, ?? ) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
已知函数

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径,弦 CD ? AB 于点 M , E 是 CD 延长 线上一点, AB ? 10, CD ? 8, 3ED ? 4OM ,

EF 切圆 O 于 F , BF 交 CD 于 G . (1)求证: ?EFG 为等腰三角形; (2)求线段 MG 的长.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆 C1 : x ? y = 1 经过伸缩变换 ?
2 2

? x ' ? 3x 后得到曲线 C 2 . ?y ' ? 2y
10

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度, 建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 cos? ? 2 sin ? ?

?

·

(1)求曲线 C 2 的直角坐标方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)在 C 2 上求一点 M ,使点 M 到直线 l 的距离最小,并求出最小距离.
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(24) (本小题满分 10 分)选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | . (1)求关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)如果关于 x 的不等式 f ( x) ? a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围.

高三文科数学期中试题

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4

哈六中 2016 届高三上文科数学期中考试试题答案 一、选择:DBBCC ABADC CB 二、填空:13. 4 14.

7 4

15. 2

16.

2

17. (本小题满分 12 分) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn,an, 成等差数列. (1)证明数列{an}是等比数列; (2)若 bn=log2an+3,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

18.(本小题满分 12 分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队 各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分). 已知甲代表队数据的中位数为 76,乙代表队数据的平均数 (1)求 x , y 的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的 中,甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率; (3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较 18. (1) x ? 6 , y ? 3 ( 2)

是 75. 学生,求抽到的学生 小者稳定). 由略;

5 (3)甲队成绩较为稳定,理 12

(1)因为甲代表队的中位数为 76,其中已知高于 76 的有 77,80,82,88,低于 76 的有 71,71, 65,64,所以 x ? 6 ;因为乙代表队的平均数为 75,其中超过 75 的差值为 5,11,13,14,和为 43,少于 75 的差值 为 3,5,7,7,19,和为 41,所以 y ? 3 ; (2)甲队中成绩不低于 80 的有 80,82,88;乙队中成绩不低于 80 的有 80,86,88,89,甲、乙两队各随机抽取一 名,种数为 3 ? 4 ? 12 ,其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80,80;82,80;88,80;88,86;88,88。种数 为 3+1+1=5, 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 P ? (3)因为甲的平均数为 x甲 ?
2 所以甲的方差 s甲 =

5 . 12

1 ? 64 ? 65 ? 71 ? 71 ? 76 ? 76 ? 77 ? 80 ? 82 ? 88? ? 75 , 10

1 2 2 2 2 2 [? 64 ? 75? ? ? 65 ? 75? ? ? 71 ? 75? ? ? 71 ? 75? ? ? 76 ? 75? 10
2 2 2 2

? ? 76 ? 75? ? ? 77 ? 75? ? ?80 ? 75? ? ?82 ? 75? ? ?88 ? 75? ] ? 50.2 ,
2

高三文科数学期中试题

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5

2 又乙的方差 s乙 =

1 2 2 2 2 2 [? 56 ? 75? ? ? 68 ? 75? ? ? 68 ? 75? ? ? 70 ? 75? ? ? 72 ? 75 ? 10
2 2 2 2

? ? 73 ? 75? ? ?80 ? 75? ? ?86 ? 75? ? ?88 ? 75? ? ?89 ? 75? ] ? 70.3 ,
2

因为甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定. 19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB=BC=2, AD=CD= 7 , PA= 3 ,∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点 (Ⅰ)证明:BD⊥面 PAC (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值 (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求

PG 的值. GC
∴ PA ⊥ BD . ∵

19.解: (Ⅰ)证明:∵在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥面 ABCD, AB=BC=2,AD=CD= ,设 AC 与 BD 的交点为 O,则 BD 是 AC 的 中点,且 BD⊥AC.而 PA∩AC=A,∴BD⊥面 PAC. (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,O 为 AC 的中点,则 GO 平行且等于 PA, 故由 PA⊥面 ABCD,可得 GO⊥面 ABCD, ∴GO⊥OD,故 OD⊥平面 PAC,故∠DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角.由题意可得,GO= PA= △ABC 中,由余弦定理可得 AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12, ∴AC=2 ,OC= .∵直角三角形 COD 中,OD= = . = . =2,
2 2 2

中垂线,故 O 为 AC 的



∴直角三角形 GOD 中,tan∠DGO=

(Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,∵OG?平面 BGD,∴PC⊥OG,且 PC= 由△COG∽△CAP,可得 ,即 ,解得 GC= ,

∴PG=PC﹣GC=



=

,∴

=

= . .

20.(本小题满分 10 分)已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点为 F1、F2 ,离心率为 ,直线 l 与椭圆相交 2 a b 2
1 , O 为坐标原点. 2

于 A、B 两点,且满足 AF1 ? AF2 ? 4 2, kOA ? kOB ? ? (1)求椭圆的方程; (2)证明: ?OAB 的面积为定值. 20. (1) 【解析】 试题解析: (1)由椭圆的离心率为

x2 y 2 ? ? 1 (2)详见解析 8 4

2 c 2 ,可得, ? , 2 a 2
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即a ?

2c 又 2a ? AF1 ? AF2 ? 4 2 ,∴ a ? 2 2
x2 y 2 ? ?1 8 4

∴c=2,∴ b2 ? 4 , ∴椭圆方程为

(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,联立

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 ,可得 ?1 ? 2k ? x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 , ?x y2 ?1 ? ? 4 ?8
? ? (4km) 2 ? 4 ?1 ? 2k 2 ? (2m 2 ? 8) ? 8 ?8k 2 ? m 2 ? 4 ? ? 0 ①

x1 ? x2 ?

?4km 2m 2 ? 8 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2



y1 y2 1 ?? , x1 x2 2

1 1 2m 2 ? 8 m2 ? 4 y1 y2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2m 2 ? 8 ?4km m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ? k ? ? km ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2 2



?

m2 ? 4 m2 ? 8k 2 2 2 2 2 2 ? ,∴ ? ? m ? 4 ? ? m ? 8k ,∴ 4k ? 2 ? m , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

设原点到直线 AB 的距离为 d,则 S? OAB ?

m 1 1 AB ? d ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 2 2 1? k 2
2

m = 2

? x1 ? x2 ?
2 2

2

m ? 4 x1 x2 = 2

2m 2 ? 8 m ? ?4km ? ? 4 = ? 2 ? 2 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k ?

64k 2 16 ? m ? 4 ? ? m2 m2
2

= 2 4k ? m ? 4 ? 2 2 当直线斜率不存在时,有 A 2, 2 , B 2, ? 2 , d ? 2 , ∴ S? OAB ?

?

? ?

?

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ,即△OAB 的面积为定值 2 2 2

1 21. (本小题满分 12 分).已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) ( a ? R ) . 2 (Ⅰ)若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? (1, ?? ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; 21.解: (Ⅰ) ? a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 , f ?( x) ?

1 ? 1, 1 分 x

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ? 切点为 (1,0) , k ? f ?(1) ? 2 ·
? a ? ?2 时,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

1 1 a 2 ? ax (II) (i)? f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) ,? f ?( x) ? ? ? , 2 x 2 2x
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5分

7

① 当 a ? 0 时, x ? (1, ?? ) , f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, f ( x) ? f (1) ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? a ? 0 不合题意. ·
2 ? ax 2 ?? ②当 a ? 2 即 0 ? ? 1, 时, f ?( x) ? 2x a 2 a( x ? ) a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, 2x

? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,? a ? 2 满足题意.

9分

③若 0 ? a ? 2 即

2 2 2 ? 1, 时,由 f ?( x) ? 0 ,可得 1 ? x ? ,由 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? , a a a

2 2 2 ? f ( x) 在 (1, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减,? f ( ) ? f (1) ? 0 , a a a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ? 0 ? a ? 2 不合题意. ·
综上所述,实数 a 的取值范围是 [2, ??). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 (22) (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 M,E 是 CD 延长线上一点,AB=10,CD=8,3ED=4OM,EF 切圆 O 于 F,BF 交 CD 于 G. (I)求证:△EFG 为等腰三角形; (II)求线段 MG 的长.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆 Cl: x ? y =1 经过伸缩变换 ?
2 2

? x ' ? 3x 后得到曲线 C2.以坐标原 ?y ' ? 2y

点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直 线 l 的极坐标方程为 cos ? ? sin ? ?

10

?

·

(I)求曲线 C2 的直角坐标方程及直线 l 的直角坐标方程; (II)在 C2 上求一点 M,使点 M 到直线 l 的距离最小,并求出最小距离. (23) (本小题满分 10 分)

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第 页

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8

(24) (本小题满分 10 劲选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 。 (I)求关于 x 的不等式 f(x)<2 的解集; (II)如果关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围。

哈六中 2016 届高三上文科数学期中考试试题答案 20151103 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. D1.已知集合 M ? {?1,1} , N ? {x | A. {?1,1} B2.已知 B. ?

1 ? 2 x?1 ? 4, x ? Z} ,则 M ? N ? ( D 2 C. (?1,1 ) D. {?1}
)
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)

a ? 2i ? b ? i ? a, b ? R ? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? ( B i
高三文科数学期中试题 第 页

9

A. ?1
?

B. 1
?

C. 2
? ?

D.

3
? ?

B3.已知向量 m ? (? ? 1,1), n ? (? ? 2,2), 若 (m? n ) ? (m? n ) ,则 ? ? (B A. ? 4 C4.已知 sin(? ? B. ? 3 C. ? 2 D. ? 1



2? ? 4 3 ? ) 等于( C ) ) ? cos(? ? ) ? ? ,? ? ? ? 0, 则 cos(? ? 3 3 2 5 2 4 3 4 3 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 C5.设 a , b, c 是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不 正确的是(C ....
A.当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? B. 当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b C. 当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? D.当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c A6.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的全面积是( A

?

)

)(单位:m2) .

正视图 A. 4 ? 2 6 B. 4 ? 6

侧视图 C. 4 ? 2 2

俯视图 D. 4 ? 2



15 B7.执行右面的程序框图,若输出的结果是 ,则输入的 a 为(B ) 16 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2 2 y x 2 A8.设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x ? 1 a b
相切,则该双曲线的离心率等于(A A. ) D.

D9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b ,则 b ? a 的概率是( D

5 2

B. 5

C. 6

6 2

)

4 A. 5

3 B. 5

2 C. 5

1 D. 5

C10. 在 ?ABC 中,?A ? 60? , BC ? 10 ,D 是 AB 边上的一点,CD ?

2,

?CBD 的面积为 1 ,则 BD 的长为(
A.

C

) D. 1

3 2

B. 4

C. 2

C11.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( ? x) ? f ( ? x) , ( x ? ) f ?( x ) ? 0 ,任意的 x1 ? x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 是 x1 ? x2 ? 5 的(C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 f ( x ) B12.已知函数 是定义在 ? a ? 1,2a ? 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) 单调递增, 则关于 x 的不等式 f ( x ? 1) ? f (a) 的解集为( B ) A. [ , )

5 2

5 2

5 2

4 5 3 3

B. [ , ) ? ( , ]

1 2 3 3

4 5 3 3

C. (?

2 1 1 2 ,? ] ? [ , ) 3 3 3 3

D.随 a 的值而变化

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? x ? 0, ? 13.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 4 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
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.

10

14.定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 y 2 ? x 上移动,设点 P 为线段 MN 的中点, 则点 P 到 y 轴距离的最小值为

7 4

.
2 2

15.直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧,则 a ? b ___2_____. 32? 16.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的各个顶点都在体积为 的球 O 的球面上,其中 AA1 ? 2 , 3 则四棱锥 O-ABCD 的体积的最大值为 17.(本小题满分 12 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n , an , (1)证明数列 ?an ? 是等比数列; (2)若 bn ? log2 an ? 3 ,求数列 ? 2 .

1 成等差数列. 2

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

18.(本小题满分 12 分) 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分). 已知甲代表队数据的中位数为 76 ,乙代表队数据的平均数是 75 . (1)求 x , y 的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分 的学生,求抽到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队 (3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差 学生成绩的概率; 较小者稳定).

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB=BC= 2 , PA= 3 ,∠ABC= 120 ? ,G 为线段 PC 上的点, (1)证明:BD⊥面 PAC; (2)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值; (3)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 AD=CD= 7 ,

PG 的值. GC

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点为 F1、F2 ,离心率为 ,直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,且满足 a b 2 1 AF1 ? AF2 ? 4 2, kOA ? kOB ? ? , O 为坐标原点. 2
(1)求椭圆的方程; (2)证明: ?OAB 的面积为定值. 21. (本小题满分 12 分)

1 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) ( a ? R ) . 2 (Ⅰ)若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? (1, ?? ) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
已知函数 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时,用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目对应的题号涂黑。
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(22) (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 M,E 是 CD 延长线上 3ED=4OM,EF 切圆 O 于 F,BF 交 CD 于 G. (1)求证:△EFG 为等腰三角形; (2)求线段 MG 的长.

一点, AB=10, CD=8,

(23) (本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程

? x ' ? 3x 后得到曲线 C2.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 ?y ' ? 2y 10 为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 cos ? ? sin ? ? · ?
在直角坐标系中,圆 Cl: x 2 ? y 2 =1 经过伸缩变换 ? (1)求曲线 C2 的直角坐标方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)在 C2 上求一点 M,使点 M 到直线 l 的距离最小,并求出最小距离.

(24) (本小题满分 10 劲选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 。 (1)求关于 x 的不等式 f(x)<2 的解集; (2)如果关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围。

高三文科数学期中试题

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