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中档大题保分练(四)


中档大题保分练(四)
(推荐时间:50 分钟) π? π 2π? 1. 已知函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间? 在区间? ?0,3?上单调递增, ?3 , 3 ? 上单调递减;如图,四边形 OACB 中,a,b,c 为△ABC 的内角 A, 4ω -cos B-cos C sin B+sin C 3 B,C 的对边,且满足 = . sin A cos A (1)证明:b+c=2a; (2)若 b=c,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,求四边形 OACB 面积的最大值. 2π 4π 3 (1)证明 由题意知: = ,解得:ω= , ω 3 2 ∵ sin B+sin C 2-cos B-cos C = , sin A cos A

∴sin Bcos A+sin Ccos A =2sin A-cos Bsin A-cos Csin A, ∴sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A =2sin A, ∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A, ∴sin C+sin B=2sin A?b+c=2a. (2)解 因为 b+c=2a,b=c,所以 a=b=c,

所以△ABC 为等边三角形, 1 3 SOACB=S△OAB+S△ABC= OA· OBsin θ+ AB2 2 4 =sin θ+ 3 (OA2+OB2-2OA· OBcos θ) 4

π 5 3 5 3 θ- ?+ =sin θ- 3cos θ+ =2sin? 3 ? ? 4 , 4 π 2π π - , ?, ∵θ∈(0,π),∴θ- ∈? 3 ? 3 3? π π 5π 当且仅当 θ- = ,即 θ= 时取最大值, 3 2 6 5 3 SOACB 的最大值为 2+ . 4 2. 某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入 广告费 t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5).

(1)若该公司将当年的广告费控制在 300 万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公 司由此获得的收益最大. (2)现该公司准备共投入 300 万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技 1 术改造费 x(百万元), 可增加销售额约为- x3+x2+3x(百万元), 请设计一个资金分配方 3 案,使该公司由此获得的收益最大. 解 (1)该投入广告费 t(百万元)后增加的收益为 f(t)(百万元),则有 f(t)=(-t2+5t)-t=

-t2+4t=-(t-2)2+4(0<t≤3), ∴当 t=2 百万元时,f(t)取得最大值 4 百万元. 即投入 2 百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为 x(百万元), 则用于广告促销的资金为 3-x(百万元), 又设由此获得的收益是 g(x), 1 3 2 2 ? 则有 g(x)=? ?-3x +x +3x?+[-(3-x) +5(3-x)]-3 1 =- x3+4x+3(0≤x≤3), 3 ∴g′(x)=-x2+4,令 g′(x)=0, 解得 x=-2(舍去),x=2. 又当 0≤x<2 时,g′(x)>0; 当 2<x≤3 时,g′(x)<0. 由此可得,当 x=2 时,g(x)取最大值. 即将 2 百万元用于技术改造,1 百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大. 3. 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形,AB=2,BC= 2, 且侧面 PAB 是正三角形, 平面 PAB⊥平面 ABCD, E 是棱 PA 的中 点. (1)求证:PC∥平面 EBD; (2)求三棱锥 P-EBD 的体积. (1)证明 在矩形 ABCD 中,连结 AC,设 AC,BD 交点为 O, 连结 EO,则 O 是 AC 中点. 又 E 是 PA 中点, 所以 EO 是△PAC 的中位线, 所以 PC∥EO. 又 EO?平面 EBD,PC?平面 EBD, 所以 PC∥平面 EBD.

(2)解 取 AB 中点 H,连结 PH,则由 PA=PB,得 PH⊥AB. 又平面 PAB⊥平面 ABCD,且平面 PAB∩平面 ABCD=AB, ∴PH⊥平面 ABCD. 1 取 AH 中点 F,连结 EF,由 E 是 PA 中点,得 EF∥PH,EF= PH, 2 ∴EF⊥平面 ABCD. ∴VP-EBD=VP-ABD-VE-ABD 1 1 = S△ABD· PH- S△ABD· EF, 3 3 由题意可求得 S△ABD= 2,PH= 3,EF= 1 1 3 6 则 VP-EBD= × 2× 3- × 2× = . 3 3 2 6 3 4. 设 f(x)=x3,等差数列{an}中 a3=7,a1+a2+a3=12,记 Sn=f( an+1),令 bn=anSn,数
?1? 列?b ?的前 n 项和为 Tn. ? n?

3 , 2

(1)求{an}的通项公式和 Sn; 1 (2)求证:Tn< ; 3 (3)是否存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出 m, n 的值,若不存在,说明理由. (1)解 设数列{an}的公差为 d,

由 a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12, 解得 a1=1,d=3,所以 an=3n-2. 又因为 f(x)=x3, 3 所以 Sn=f( an+1)=an+1=3n+1. (2)证明 因为 bn=anSn=(3n-2)(3n+1), 1 ? 1 1 1 1 - 所以 = = ? , bn ?3n-2??3n+1? 3?3n-2 3n+1? 1 1 1 所以 Tn= ?1-3n+1?< . 3? ? 3 (3)解 n 由(2)知 Tn= , 3n+1

1 m n 所以 T1= ,Tm= ,Tn= , 4 3m+1 3n+1 若 T1,Tm,Tn 成等比数列,

m 6m+1 3n+4 1 n 则?3m+1?2= · ,即 = . 4 m2 n ? ? 3n+1 13 3n+4 当 m=2 时, = ,n=16,符合题意; 4 n 19 3n+4 当 m=3 时, = ,n 无正整数解; 9 n 25 3n+4 当 m=4 时, = ,n 无正整数解; 16 n 31 3n+4 当 m=5 时, = ,n 无正整数解; 25 n 37 3n+4 当 m=6 时, = ,n 无正整数解; 36 n 当 m≥7 时,m2-6m-1=(m-3)2-10>0, 则 6m+1 3n+4 4 <1,而 =3+ >3, m2 n n

所以,此时不存在正整数 m,n,且 1<m<n, 使得 T1,Tm,Tn 成等比数列. 综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n, 使得 T1,Tm,Tn 成等比数列.


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