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用导数研究函数的零点个数问题


中学生数理亿. 掌研版   用 导 数 研 究 函数 的 零 点 个 数 问题  ■ 张 建 民  普 通 高 中 课程 标 准 试 验 教 科 书 人 教 版 《 数学 》 ( 必修 1 ) P 。 s   ~ a >e -  ̄ 时有一个交点.   问题 的归 纳 :   函数 , ( z ) 一z   一  ( n >1 ) .   P   。   通 过 二 分 法 及 计 算 机 探 索  一- r 2 一  ,  =n   一l o g 。 z 的  问题 1 : 函数 _ 厂 (  ) 一z   一2  的 零 点 个 数 是 (   A. 0   B. 1   C.2   D. 3   零点个数问题 , 总觉意犹未尽 , 今试探讨如下 ,   ) .   在 1 <& <P 寺时 有 三 个 零 点 , 在 n —   詈时 有 二 个 零 点 , 在  n >e 号时 有 一 个 零 点 .   答案 : D  分析 1 : ( 数形 结合 法 ) 做出  :   z 。 与 3 , 一2  图像 ( 如图 1 ) , 有 3个  交点.     ‘ 问题 的发 散 :   ,   函数 厂 ( z ) 一   一a   ( O <口 <1 ) 有几个零点?   猜测 : ( 1 ) 在P 彳<。 <1 时有三个零点 , ( 2 ) 在a —P 彳 时 有  二个 零 点 ( 3 ) 在 O <a <e -  ̄时有 一 个 零 点 .   法 1 : 导 数法 .   法 2 : 函数 法 .   图 1   分析 2 : ( 根 据 图像 及 二 分 法 ) .   当x <O , 由 图像 知 有 1个 交 点 .   当  > 0, 厂 ( 1 ) 一1 —2 一 一1 < 0,   厂 ( 2 ) 一 0,厂( 3): 9— 2 。= 1> 0,   由 于  —z 。的 图像 关 于  轴 对 称 , 做出   :a   ( O <Ⅱ <1 )   关 于 Y轴 对 称 的 图 像 Y—a 一( O <口 <1 ) , 求  — z  的 图像 与  一口 一( O <n <1 ) 图像 交 点 个 数 .   8< 0   f( 4 ) 一0, ,( 5 ) 一2 5 —3 2 一一7 <0, - 厂 ( 6 ) 一3 6   64一 一 2 当x > O时 有 2 个 交 点故 选 D.   问题 2 : 函数 , ( z - ) 一z 。 ~3  的 零 点 个 数 是 .   — — 因 为 a - 1 = (   1 ) , 丢 > 1 , 由 问 题 归 纳 知 ,   在1 <  <  号时 图像 有 三 个 交 点 , 此时 , g 彳 <“ <1 ;   析1 : 由图 像 知 有 一个 零 点 .   析 2 : 由图 像 知 x < 0时 有 一个 零 点 .   当   > 0时 , f( 1 ) 一 一2 <0 , f( 2 ) ~4   9   —5 <0 ,   ,( 3 ) 一9 —2 7 一 一1 8 <0, 厂 ( 4 ) 一1 6 —8 1 一一 6 5 <O .   在  一   詈 时 图像有二个交点 , 此时 ,  一e   2 ;   在  > e 詈时 图像 有 一 个 交 点 , 此时 , 0 <a <e 彳.   故函数 l 厂 ( z ) 一   一a   ( O <a <1 ) 的 图像 .   ( 1 ) 在8 彳<n < 1时

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