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2014高二复习第2讲《导数1》



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2014 文科数学教程

2014 高二复习第 2 讲《导数 1》
1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a) 的导数为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.2(x -a ) B.2(x +a ) C.3(x -a ) D.3(x +a ) 3 2 2. 已知物体的运动方程为 s=t + (t 是时间,

s 是位移), 则物体在时刻 t=2 时的速度为(
2

t

)

19 17 15 13 B. C. D. 4 4 4 4 3 2 3.已知 a 为实数,函数 f(x)=x +ax +(a-2)x 的导函数 f′(x)是偶函数,则曲线 y=f(x)在 原点处的切线方程为( ) A.y=-3x B.y=-2x C.y=3x D.y=2x π 1+cos x ? ? 4.设曲线 y= 在点? ,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于( ) sin x ?2 ? 1 A.-1 B. C.-2 D.2 2 2 5.若点 P 是曲线 y=x -lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为( ) 2 A.1 B. 2 C. D. 3 2 6.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x), 则 f(x)与 g(x)满足( ) A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0 C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数 2 7.已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x +3x-4,则 f′(1)=________. 2 8.已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线 的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 1 1 3 9.已知函数 f(x)= x- sin x- cos x 的图象在点 A(x0,y0)处的切线斜率为 1, 2 4 4 则 tan x0=________. 10.求下列函数的导数. (1)y=x·tan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3). A.

2 11.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1

x

处的切线斜率相同,求 a 的值,并判断两条切线是否为同一条直线.

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12.设函数 f(x)=x +ax -9x-1,当曲线 y=f(x)斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行时, 求 a 的值.

4.A 5.选 B 设 P(x0,y0)到直线 y=x-2 的距离最小, 1 1 则 y′|x=x0=2x0- =1. 得 x0=1 或 x0=- (舍).∴P 点坐标(1,1). x0 2 |1-1-2| ∴P 到直线 y=x-2 距离为 d= = 2. 1+1 6.选 C 由 f′(x)=g′(x),得 f′(x)-g′(x)=0,即[f(x)-g(x)]′=0, 所以 f(x)-g(x)=C(C 为常数). 1 7.解析:∵f′(x)= -2f′(-1)x+3,f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, 1 .C 2.D 3.B

x

∴f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8. 1 2 8.解析:易知抛物线 y= x 上的点 P(4,8),Q(-2,2),且 y′=x,则过点 P 的切线方程为 y=4x-8,过点 Q 2 的切线方程为 y=-2x-2,联立两个方程解得交点 A(1,-4),所以点 A 的纵坐标是-4. 1 1 3 1 1 3 9.解析:由 f(x)= x- sin x- cos x 得 f′(x)= - cos x+ sin x, 2 4 4 2 4 4 π 1 1 3 3 1 则 k=f′(x0)= - cos x0+ sin x0=1,即 sin x0- cos x0=1,即 sin?x0- ?=1. 6? 2 4 4 2 2 ? 2 π? π π 2π 2π 所以 x0- =2kπ + ,k∈Z,解得 x0=2kπ + ,k∈Z.故 tan x0=tan?2kπ + 3 6 2 3 ? ?=tan 3 =- 3. sin x? 10.解:(1)y′=(x·tan x)′=x′tan x+x(tan x)′=tan x+x·? ?cos x?′ 2 2 cos x+sin x x =tan x+x· =tan x+ 2 2 . cos x cos x (2)y′=(x+1)′(x+2)(x+3)+(x+1)·[(x+2)(x+3)]′=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3) 2 =3x +12x+11. 11.解:根据题意有曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a.所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),得:y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0. 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1). 得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0,所以,两条切线不是同一条直线. 12.解:f′(x)=3x +2ax-9=3?x+
2

?

a?2

-9- ,即当 x=- 时,函数 f′(x)取得最小值-9- ,因斜率最 3? 3 3 3

a2

a

a2

小的切线与 12x+y=6 平行,即该切线的斜率为-12,所以-9- =-12,即 a =9,即 a=±3. 3 2

a2

2



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