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人教A版高中数学第一册上《2.3幂函数》课件



幂 函 数

2.3

学习目标

1.了解幂函数概念, 2.会画常见幂函数的图象, 3.结合图象了解幂函数的变化情况 和性质。 4.了解常见幂函数的性质, 5.会用幂函数的单调性比较两个底 数不同而指数相同的幂的大小 6.进一步体会数形结合的思想

问题情境 根据下表中的数据关系分别写出用x表示

y的函 数关系式:

x y

0.04 0.2

1 1

1.44 1.2

4 2

6.25 2.5

9 3

16 4

x y

0.1 0.2 0.3 0.001 0.008 0.027 1 2

1 1

3 27

4 64

5 125

y?x

y?x

3

问题1: 函数 特点?

y?x

1 2

y?x

3

解析式有什么共同

幂的形式, 幂的底是变量, 幂的指数是常数

建构数学

1.幂函数的定义:
?

概念

一般地,我们把形如 y ? x 的函数 称为幂函数(power function),其中 x 是 自变量, ? 是常数 问题2:你还知道那些幂函数? 问题3: 下列函数是不是幂函数?

1 2 2 (1) y ? (2) y ? 2 x (3) y ? x ? x 2 √ x 2 e (4) y ? ( x ? 1) (5) y ? x (6) y ? 1


问题4:作出下列函数图象,指出其单调区间 3 ? ?1 2

y?x 2 ② y ? x


y

y?x

y?x



y?x

3

y?x
1 O 1

沿箭头方 向指数由 小到大
x

作出下列函数的图象,指出其单调区间 问题5:

(1) y ? x
y

1 2

(2) y ? x y?x

1 3

y?x
2 1

1 2

y?x 沿箭头方向指数 由小到大
o
1 2

1 3

0 ? ? ?1

-1

x

指出下列函数的图象的共同点 3 y?x ? ?1 共同性: (? ? 0) 2 y y?x y?x
0 ? ? ?1
1 ①图象经过点 (0,0), (1,1) 2

1 O 1

y ? x ②第一象限内函数图象随着
y?x
1 3

x的增大呈上升趋势,函数 在区间 [0,??) 上是单调增 函数
③第四象限没有图象

x

作出下列函数图象,指出其单调区间 问题6:


y?x
y ? x ?2

?1



y?x

?2

y

1 O

沿箭头方向指 数由小到大 ②第一象限内函数图象随 ? ? 0 着x的增大呈下降趋势,
1

共同性: (? ? 0) ①图象经过点 (1,1)

y ? x ?1
x

函数在区间 (0, ??) 上是 单调减函数 ③第四象限没有图象

结合以上特征得幂函数的性质如下:
?所有的幂函数在 x ? (o, ??)都有定义,并 且图象都通过点(1,1) ?指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇 数的幂函数是奇函数 ??>0时, (1)图象都经过点(0,0)和(1,1)
(2)图象在第一象限,函数是增函数. ??<0时,(1)图象都经过点(1,1); (2)图象在第一象限是减函数; (3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限 地接近,向右与X轴无限地接近.

例1

已知函数 f ( x) ? (m ? m ?1) x
2

m2 ?2m?3

是幂函

数且在 (0,??) 是减函数,求满足条件的
实数 m 的取值。
概念回顾
? y ? x 一般地,我们把形如 的函数

称为幂函数(power function),其中 自变量, ? 是常数
解: 解得:

x是

2 2 m ? m ? 1 ? 1 且 m ? 2m ? 3 ? 0 根据题意得:

m?2

? 22
例2 如图所示,曲线是幂函数
y
2

c1

y ? x? 在第一象限内的图象, 已知? 分别取 ? 1,1, 1 2 ,2 四个
值,则相应图象依次为:

1

?c 2 ?c2 ?c2
2 3 4
2

1
1 2
?1

c4 , c2 , c3 , c1 ______________

o

1

x

规律: 在第一象限作直线x ? m(m ? 1) ,它同各幂函

数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数
按从小到大的顺序排列

例题3

重点
1.比较下列各组数的大小:
1 2 1 2

(1)3.14 , ? , (2)1.25 ,1.22 (3)3.6 , 2.5
?1 ?1

3 4

?

2 3

解(1) 考察函数

y?x


1 2

? y?x


1 2

3.14 ? ? 1 1 ? 3.14 2 ? ? 2

?0,??)

又1 2 ?0
上是增函数

(2)

考察函数 ? y ? x?1 在 又 1.25 ? 1.22

y ? x ?1 又 ?1 ? 0 ?0,??) 上是减函数

1.25?1 ? 1.22?1

比较幂的大小的常用方法有:

小 结

(1)同指数幂的大小比较利用幂函数 的单调性, ★同指数法 (性质法) (2)底数与指数都不相同时,常借助中间 量或放缩法进行;中间量常为0或1 ★中间量法、放缩法 (3)利用函数图象的相互位置关系比较. ★图象法

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.
若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。

用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2; (2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ; (3). 变形 ; (4). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (5). 下结论.

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈[0,+∞),且x1< x2 ;
∴ f ( x1 ) ? x1 ? x1 ? 1 f ( x2 ) x2 x2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ?为增函数 ∴ f ( x) ? x在?0,
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方 式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推 出f(x1)<f(x2)。

课 堂 小 结

内容:幂函数的定义图象与性质; 重点: 幂函数的图象与性 质,幂的 大小比较;

关键: 幂函数指数a的变化对函数图 象性质和函数值的影响;
重视:数形结合的思 想 的运用.

当堂反馈
1、下列函数中不是幂函数的是 A、 y ?

x B、y ? x 3 C、 y ? 2 x D、 y ? x ?1 2、函数 y ? x 2 的定义域是 ( C A、[0,??) B、(??,0) C、 (0,??) D、 R
3、幂函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 在第一象限的
a b c d

( C ?1

) )
y=xa y
2

y=xb y=xc

d<c<b<a 图象如图所示, 则 a、b、c、d 的大小关系是__________
4、若幂函数 y ? x? 的图象在 0 ? x ? 1 时位于直线 y ? x 的下方,则实数 a 的取值范围为 A、 a ? 1 B、 a ? 1 ( B ) C、 0 ? a ? 1 D、

1

y=xd o
1 2

x

第3题图

a?0

? 5、 ⑴幂函数的图象一定过原点 ; ⑵当 ? ? 0 时幂函数 y ? x 在第一象限是
2 ? 减函数 ; ⑶当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 在第一象限是增函数 ; ⑷函数 y ? 2x (2),(3) 既是二次函数, 又是幂函数。其中正确的结论为________________

(m ? Z ) 的图象与 x 6:已知幂函数 y ? x 轴, y 轴都无交点,且关于原点对称,求 m 的值。

m2 ?2m?3

7:已知幂函数 y ? x

m2 ?2m?3

(m ? Z ) 的图象与

x 轴,

y 轴都无交点,且图象关于 y

轴对称呢?,求 m的值。

练习 求画出函数 y

?x ,y?x ,y?x

2 3

3 2

?3

指出其单调区间

提示:先把分数指数幂化成根式 3

y

y ? x2

1 O

y?x ?3 y?x

2 3

1

x



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