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2014北京西城高考二模数学理(含解析)



北京市西城区 2014 年高三二模试卷 数学(理科)
第 I 卷(选择题 共 40 分)

2014.5

一、

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题 ) .

目要求的一项. 1.已知集合 A ? {x | x ? 2 ? 0}

, B ? {x | x ? a} ,若 A I B ? A ,则实数 a 的取值范围是(
A. (??, ?2] B. [ ?2, ?? ) C. (??, 2] D. [2, ??)

2.在复平面内,复数 z ? (1 ? 2i)2 对应的点位于( A. 第一象限 B.第二象限

) . D.第四象限

C.第三象限

3.直线 y ? 2 x 为双曲线 C :
A. 5 C. 3 B. D.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线,则双曲线 C 的离心率是( a 2 b2
5 2 3 2

) .

4.某四棱锥的三视图如图所示,记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合, 则( B. ) .
2 ? A ,且 4 ? A

A. 2 ? A ,且 4 ? A C. 2 ? A ,且 2 5 ? A D. 2 ? A ,且 17 ? A

5.设平面向量 a , b , c 均为非零向量,则“ a ? (b ? c) ? 0 ”是“ b ? c ”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

) .

6.如图,阴影区域是由函数 y ? cos x 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形, 那么这个阴影区域的面积是(
A. 1 B. 2 C.
π 2

) .
D. π

0, ? x… x 4, ?0剟 ? 0, 7.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? y… 所表示的平面区域是 ? ,不等式组 ? 所表示 y 10 ?0剟 ? x ? y ? 8? 0 ?

的平面区域是 ? .从区域 ? 中随机取一点 P( x, y ) ,则 P 为区域 ? 内的点的概率是( A.
1 4

) .

B.

3 5

C.

3 4
1 / 18

D.

1 5

8.设 ? 为平面直角坐标系 xOy 中的点集,从 ? 中的任意一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分别为 M ,
N ,记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x(?) ,点 N 的纵坐标的最大值与最小值之差为
y (?) .

若 ? 是边长为 1 的正方形,给出下列三个结论: ① x(?) 的最大值为 2 ; ② x(?) ? y(?) 的取值范围是 [2, 2 2] ; ③ x(?) ? y(?) 恒等于 0. 其中所有正确结论的序号是( A.① B.②③ ) . C.①② D.①②③

第 II 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
1 9. ( x ? )6 的二项展开式中,常数项为_________. x

1 10.在 V ABC 中,若 a ? 4, b ? 3,cos A ? ,则 sin A ? ______, B ? ______. 3
E ? D E ?A E 4 ,B E: 11. 如图,AB 和 CD 是圆 O 的两条弦,AB 与 CD 相交于点 E , 且C ?4 1 :

, 则 AE ? _______;

AC ? ______. BD

12.执行如图所示的程序框图,输出的 a 值为_________.
F ?M N 13. 设抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一点,N (2, 2) , 则M

的取值范围为_________.

14.已知 f 是有序数对集合 M ? {( x, y) | x ? N* , y ? N*} 上的一个映射,正整数对 ( x, y ) 在映射 f 下的象为实 数 z ,记作 f ( x, y) ? z ,对于任意的正整数 m, n(m ? n) ,映射 f 由下表给出:
( x, y ) ( n, n ) ( m, n ) ( n, m )

f ( x, y )

n

m?n

m?n

则 f (3,5) ? _______,使不等式 f (2x , x)? 4 成立的 x 集合是_________.

2 / 18

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(cos? , 2 sin ? ), B(sin ? ,0) ,其中 ? ? R .
uuu r 2π ,求向量 AB 的坐标; 3 uuu r π (II)当 ? ? [0, ] 时,求 AB 的最大值. 2

(I)当 ? ?

3 / 18

16. (本小题满分 13 分) 为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的 A, B 两班中各抽 5 名学生进行视力检 测.检测的数据如下:
3 , 5. 1 , 4. 6 , 4. 1 , 4. 9. A 班的 5 名学生的视力检测结果: 4. 1 , 4. 9 , 4. 0 , 4. 0 , 4. 5. B 班的 5 名学生的视力检测结果: 5. (I)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好? (II)由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大?(结论不要求证明) 6 的人数,求 X 的分 (III)现从 A 班的上述 5 名学生中随机选取 3 名学生,用 X 表示其中视力大于 4.

布列和数学期望.

4 / 18

17. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? A B C中 , PA ? 底 面 ABC , AC ? BC , H 为 PC 的 中 点 , M 为 AH 的 中 点 , PA ? AC ? 2, BC ? 1 (I)求证: AH ? 面 PBC ; (II)求 PM 与平面 AHB 所成角的正弦值 (III)设点 N 在线段 PB 上,且
PN ? ? , MN ∥平面 ABC ,求实数 ? 的值. PB

5 / 18

18. (本小题满分 13 分)

e x ?1 ,其中 a ? R ax ? 4 x ? 4 (I)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极值;
已知函数 f ( x) ?
2

(II)当 a ? 1 时,试确定函数 f ( x) 的单调区间.

6 / 18

19. (本小题满分 14 分) 设 A, B 是椭圆 W : 合) , O 为坐标原点. (I)如果点 M 是椭圆 W 的右焦点,线段 MB 的中点在 y 轴上,求直线 AB 的方程; uuur uuu r (II)设 N 为 x 轴上一点,且 OM ? ON ? 4 ,直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C ,证明:点 B 与点

x2 y 2 ? ? 1 上不关于坐标轴对称的两个点,直线 AB 交 x 轴于点 M (与点 A, B 不重 4 3

C 关于 x 轴对称.

7 / 18

20. (本小题满分 14 分) 在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N* ,都有 an ? N* , an ? an?1 .设 m ? N* ,记使得 an? m 成立的 n 最大值为 bm . (I)设数列为 1,3,5,7, L ,写出 b1 , b 2 , b3 的值; (II)若 {bn } 为等差数列,求出所有可能的数列 {an } ; (III)设 a p ? q, a1 ? a2 ? L ? a p ? A ,求 b1 ? b2 ? L ? bq 的值. (用 p, q, A 表示)

8 / 18

北京市西城区 2014 年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学(理科) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D 5.B 2.B 6.B 3.A 7.C 4.D 8 .D 2014.5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 20 11. 8 10.

2 2 3
1 3

π 4

2

12. ?

13. [3, +?) 14. 8 注:第 10,11,14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

{1, 2}

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,得 AB ? (sin ? ? cos? , ? 2 sin ? ) , ……………… 2 分 ……………… 4 分

2π 2π 2π 1 ? 3 时, sin ? ? cos ? ? sin , ? cos ? 3 3 3 2 2π 6 , ? 2 sin ? ? ? 2 sin ?? 3 2 1? 3 6 所以 AB ? ( ,? ). 2 2 (Ⅱ)解:因为 AB ? (sin ? ? cos? , ? 2 sin ? ) ,
当 ? ? 所以 | AB |2 ? (sin ? ? cos? )2 ? (? 2 sin ? )2

……………… 6 分

……………… 7 分 ……………… 8 分 ……………… 9 分 ……………… 10 分

? 1 ? sin 2? ? 2sin ? ? 1 ? sin 2? ? 1 ? cos 2? π ? 2 ? 2 sin(2? ? ) . 4 π 因为 0 ≤ ? ≤ , 2 π π 5π ≤ 2? ? ≤ 所以 . 4 4 4 π 5π 所以当 2? ? ? 时, | AB |2 取到最大值 | AB |2 ? 2 ? 2 ? (? 4 4 π 即当 ? ? 时, | AB | 取到最大值 3 . 2
2

……………… 11 分

2 ) ? 3 ,…… 12 分 2
……………… 13 分

16. (本小题满分 13 分)

9 / 18

(Ⅰ)解:A 班 5 名学生的视力平均数为 xA = B 班 5 名学生的视力平均数为 xB =

4.3+5.1+4.6+4.1 ? 4.9 =4.6 ,………… 2 分 5

5.1+4.9+4.0+4.0 ? 4.5 =4.5 . ……………… 3 分 5
……………… 4 分 ……………… 7 分

从数据结果来看 A 班学生的视力较好. (Ⅱ)解:B 班 5 名学生视力的方差较大. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知,A 班的 5 名学生中有 2 名学生视力大于 4.6 . 则 X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 .

……………… 8 分 ……………… 9 分

C3 1 3 所以 P( X ? 0) ? 3 ? ; C5 10 P( X ? 1) ? P( X ? 2) ?
2 1 C3 C2 3 ? ; C3 5 5 2 C1 3 3C 2 ? . 3 C5 10

……………… 10 分 ……………… 11 分

所以随机变量 X 的分布列如下:

X

0

1

2

P

1 10

3 5

3 10
……………… 12 分 ……………… 13 分

故 E( X ) ? 0 ?

1 3 3 6 ? 1? ? 2 ? ? . 10 5 10 5

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 底面,底面, 所以 , 又因为 , , 所以 平面, 又因为 平面, 所以 . 因为 是中点, 所以 , 又因为 , 所以 平面. (Ⅱ)解:在平面中,过点作 因为 平面, 所以 平面, 由 底面,得, ,两两垂直,
10 / 18

……………… 1 分

……………… 2 分

……………… 3 分

……………… 5 分

所以以为原点, , ,所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴如图建立空间直角坐标系, 则, , , , , . ……………… 6 分 设平面的法向量为, 因为 , , 由 得 ……………… 8 分 令,得. 设与平面成角为, 因为 , 所 z P



H

1 3 2 ? 0 ? (?1) ? ? 1? (? ) M 2 2 sin ? ? cos ? PM , n ? ? ? A 5 PM ? n ? 6 D 2 x PM ? n
, 即

N C B

y

sin ? ?

2 15 15



……………… 10 分 (Ⅲ)解:因为 , , 所以 , 又因为 PM ? (0, , ? ) , 所以 MN ? PN ? PM ? (? , 2? ?

1 2

3 2

1 3 , ? 2? ) . 2 2

……………… 12 分

因为 MN // 平面 ABC ,平面 ABC 的法向量, 所以 , 解得 . ……………… 14 分

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:函数 f ( x) ?

e x ?1 的定义域为 {x | x ? R ,且 x ? ?1} . 4x ? 4

……………… 1 分

f ?( x) ?

e x ?1 (4 x ? 4) ? 4e x ?1 4 xe x ?1 ? . (4 x ? 4)2 (4 x ? 4)2

……………… 3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 , 当 x 变化时, f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??, ? 1)

(?1, 0)

0 0

(0, ? ? )

?


?

11 / 18

?


f ( x)

……………… 5 分 故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? 1) , (?1, 0) ;单调增区间为 (0, ? ? ) . 所以当 x ? 0 时,函数 f ( x) 有极小值 f (0) ? (Ⅱ)解:因为 a ? 1 ,
2 2 2 所以 ax ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) ? (a ? 1) x ? 0 ,

e . 4

……………… 6 分

所以函数 f ( x) 的定义域为 R , 求导,得 f ?( x) ?

……………… 7 分

e x ?1 (ax 2 ? 4 x ? 4) ? e x ?1 (2ax ? 4) e x ?1 x(ax ? 4 ? 2a) ? ,…… 8 分 (ax 2 ? 4 x ? 4)2 (ax 2 ? 4 x ? 4) 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 2 ? 当 1 ? a ? 2 时, x2 ? x1 ,

4 , a

……………… 9 分

当 x 变化时, f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

4 (??, 2 ? ) a

2?

4 a

4 ( 2 ? ,0) a

0 0

(0, ? ? )

?


0

?


?


f ( x)

故函数 f ( x) 的单调减区间为 ( 2 ?

4 4 ,0) ,单调增区间为 (??, 2 ? ) , (0, ? ? ) . a a
……………… 11 分

当 a ? 2 时, x2 ? x1 ? 0 , 因为 f ?( x) ?

2e x ?1 x 2 ≥0 , (当且仅当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ) (2 x 2 ? 4 x ? 4)2
……………… 12 分

所以函数 f ( x) 在 R 单调递增. 当 a ? 2 时, x2 ? x1 , 当 x 变化时, f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??, 0)

0 0

4 (0, 2 ? ) a

2?

4 a

4 (2 ? , ? ?) a

?


?


0

?


f ( x)

故函数 f ( x) 的单调减区间为 ( 0, 2 ? ) ,单调增区间为 (??, 0) , (2 ?

4 a

4 , ? ?) . a

12 / 18

综上,当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 的单调减区间为 ( 2 ?

4 4 ,0) ,单调增区间为 (??, 2 ? ) , (0, ? ? ) ;当 a a

4 a ? 2 时,函数 f ( x) 在 R 单调递增;当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 ( 0, 2 ? ) ;单调增区间为 a
(??, 0) , (2 ?

4 , ? ?) . a

……………… 13 分

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:椭圆 W 的右焦点为 M (1, 0) , 因为线段 MB 的中点在 y 轴上, 所以点 B 的横坐标为 ?1 , 因为点 B 在椭圆 W 上, 将 x ? ?1 代入椭圆 W 的方程,得点 B 的坐标为 ( ?1, ? ) . ……………… 1 分

3 2

……………… 3 分

所以直线 AB (即 MB )的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .…………… 5 分 (Ⅱ)证明:设点 B 关于 x 轴的对称点为 B1 (在椭圆 W 上) , 要证点 B 与点 C 关于 x 轴对称, 只要证点 B1 与点 C 重合, . 又因为直线 AN 与椭圆 W 的交点为 C(与点 A 不重合) , 所以只要证明点 A , N , B1 三点共线. 以下给出证明: 由题意,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 B1 ( x2 , ? y2 ) . ……………… 7 分

?3x2 ? 4 y 2 ? 12, 由 ? ? y ? kx ? m,
得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 ,
2 2 2

……………… 9 分

所以 ? ? (8km) ? 4(3 ? 4k )(4m ? 12) ? 0 ,
2 2 2

x1 ? x2 ? ?

4m 2 ? 12 8km x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
m , 0) , k

……………… 10 分

在 y ? kx ? m 中,令 y ? 0 ,得点 M 的坐标为 ( ?

4k , 0) , m 设直线 NA , NB1 的斜率分别为 k NA , k NB1 ,
由 OM ? ON ? 4 ,得点 N 的坐标为 ( ?

……………… 11 分

13 / 18

4k 4k x2 y1 ? y1 ? ? x1 y2 ? y2 ? y1 ? y2 m m ,………12 分 则 k NA ? k NB1 ? ? ? 4k 4k 4k 4k x1 ? x2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) m m m m 4k 4k ? ? x y1 ? 因为 x2 y 1? y 1 2 y ?2 m m 4k 4k ? x2 (kx1 ? m) ? (kx1 ? m) ? ? x1 (kx2 ? m) ? (kx2 ? m) ? m m 2 4k ? 2k x )(1 x? x 1 x 2 ? ( m? 2 )? 8k m 4m2 ? 12 4k 2 8km ? 2k ? ( ) ? (m ? )(? ) ? 8k 2 3 ? 4k m 3 ? 4k 2 8m2 k ? 24k ? 8m2 k ? 32k 3 ? 24k ? 32k 3 ? 3 ? 4k 2
? 0,
所以 kNA ? kNB1 ? 0 , 所以点 A , N , B1 三点共线, 即点 B 与点 C 关于 x 轴对称. 20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: b1 ? 1 , b2 ? 1, b3 ? 2 . (Ⅱ)解:由题意,得 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? 结合条件 an ? N ,得 an≥n .
*

……………… 13 分

……………… 14 分

……………… 3 分

? an ?

, ……………… 4 分 ……………… 5 分

又因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm ,使得 an ≤m ? 1 成立的 n 的最大值为 bm ?1 , 所以 b1 ? 1 , bm≤bm?1 (m ? N* ) . 设 a2 ? k ,则 k≥2 . 假设 k ? 2 ,即 a2 ? k >2 , 则当 n≥2 时, an ? 2 ;当 n≥3 时, an≥k ? 1 . 所以 b2 ? 1, bk ? 2 . 因为 {bn } 为等差数列, 所以公差 d ? b2 ? b1 ? 0 , 所以 bn ? 1,其中 n ? N .
*

这与 bk ? 2(k ? 2) 矛盾, 所以 a2 ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? a3 ? 所以 b2 ? 2 , 由 {bn } 为等差数列,得 bn ? n ,其中 n ? N .
*

……………… 6 分

? an ?

, ……………… 7 分

因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm ,
14 / 18

所以 an ≤n , 由 an≥n ,得 an ? n . (Ⅲ)解:设 a2 ? k (k ? 1) , 因为 a1 ? a2 ? a3 ? ……………… 8 分

? an ? , 所以 b1 ? b2 ? ? bk ?1 ? 1 ,且 bk ? 2 , 所以数列 {bn } 中等于 1 的项有 k ? 1 个,即 a2 ? a1 个; 设 a3 ? l (l ? k ) , 则 bk ? bk ?1 ? ? bl ?1 ? 2 , 且 bl ? 3 , 所以数列 {bn } 中等于 2 的项有 l ? k 个,即 a3 ? a2 个;
…… 以此类推,数列 {bn } 中等于 p ? 1 的项有 a p ? a p ?1 个. 所以 b1 ? b2 ?

……………… 9 分

……………… 10 分 ……………… 11 分

? bq ? (a2 ? a1 ) ? 2(a3 ? a2 ) ?
? ?a1 ? a2 ? ? pap ? p ? (a1 ? a2 ? ? p(q ? 1) ? A .

? ( p ?1)(ap ? ap?1 ) ? p
? ap?1 ? a p )
……………… 13 分

? ap?1 ? ( p ?1)ap ? p

即 b1 ? b2 ?

? bq ? p(q ? 1) ? A .

北京市西城区 2014 年高三二模试卷
15 / 18

数学(理科)选填解析 一、 选择题
1. 【答案】D

【解析】解: Q A ? {x | x ? 2 ? 0} ? A ? {x | x ? 2} ,又 A I B ? A ,? A ? B ,又 B ? {x | x ? a} ,
? a≥2 .

故选 D.
2. 【答案】B

【解析】解: Q z ? (1 ? 2i)2 ? 1 ? 4i ? 4i 2 ? ?3 ? 4i
? 对应的点为 (?3, 4) ,即在第二象限.

故选 B.
3. 【答案】A

【解析】解: Q 直线 y ? 2 x 为双曲线 C :
?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线, a 2 b2

b ? 2, a
c a2 ? 1? 2 ? 5 . a b

?e ?

故选 A.
4. 【答案】D

【解析】解:由三视图知,几何体为正四棱锥,如图所示, 则 A ? { 2, 17} . 故选 D
5. 【答案】B

【解析】解:由 a ? (b ? c) ? 0 ,可得 a ? (b ? c) (包含 a ? 0 或 b ? c ? 0 ) ,故推不 出 b ? c ,所以“ a ? (b ? c) ? 0 ”是“ b ? c ”不充分条件; 而由 b ? c ,得 b ? c ? 0 ,进一步可得 a ? (b ? c) ? 0 ,故“ a ? (b ? c) ? 0 ”是“ b ? c ” 的必要条件. 故选 B.
6. 【答案】B

【解析】解: S阴影 ? ? ?π2 cos xdx ? ? sin x | π2 ? 2
2 2





故选 B.
7. 【答案】C

16 / 18

【解析】解:如图,画出平面区域 ? 和平面区域 ? ,则概率 等于
S梯形OACD S△O AB 1 ? (4 ? 8) ? 4 3 2 ? ? . 1 4 ?8?8 2

故选 C
8. 【答案】D

【解析】对于①,如图 3 知, x(?) 的最大值为 2 ,故①正 确; 对于②,易知, x(?) ?[1, 2], y(?) ?[1, 2] ,且同时取得最小 值和最大值,故 x(?) ? y(?) 的取值范围是 [2, 2 2] ,②正确; 对于③, 从图 1 逆时针变化到图 3 过程中, 显然 x(?) ? y(?) , 故③正确.

故选 D 二、填空题
9. 【答案】 20

【解析】解:第 r ?1 项为 Tr ?1 ? C6 x
r 3 所以常数项为 C6 ?

6? r

1 r 6?2r ( )r ? C6 x ,令 6 ? 2 r ? 0 ,得 r ? 3 . x

6?5? 4 ? 20 . 3 ? 2 ?1

故答案为 20 .
π 2 2 , 4 3

10.

【答案】

1 2 2 【解析】解:因为 A ? (0, π) , cos A ? ,所以 sin A ? ; 3 3

由正弦定理,得

b ? sin A sin B ? ? a

3?

2 2 π 3 ? 2 ,又 b ? a ,所以 B ? A ,所以 B 为锐角;所以 B ? 4 . 4 2

11.

【答案】 8 , 2
17 / 18

【解析】解:因为 AE : BE ? 4 :1 ,设 AE ? 4k , BE ? k ; 由相交弦定理,得 AE ? BE ? CE ? DE ,即 4k 2 ? 16 ,解得 k ? 2 ; 所以 AE ? 8 ; 因为 △ACE∽△BDE ,所以 故答案为 8 , 2 . 【答案】 ?
1 3 1 3 1 2 1 3 1 3

AC AE 8 ? ? ?2. BD DE 4

12.

【解析】解:列表法
a
3

?2 2

?

3 5

?2
6

?

L L

?

跳出 循环

i

1

3

4

7

11

故答案为 ?3 .
13.

【答案】 [3, ??)

【解析】解:由抛物线的定义知, MF 等于 M 到准线 x ? ?1 距 离;易知,过 N 向 x ? ?1 作垂线,此时 MF ? MN 有最小值 3 , 显然 MF ? MN 的值可以无穷大. 故答案为 [3, ??) .

14.

【答案】 8 , {1, 2} .

1 时, 2 x ? x 恒成 【解析】解:依题意, f (3,5) ? 5 ? 3 ? 8 ;当 x…

立,所以 f (2x , x) ? 2x ? x? 4 , 因为 x ? N* ,所以 x ? 1, 2 ,所以 x 的集合为 {1, 2} . 故答案为 8 , {1, 2} .

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