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高一数学必修二第二章 平面向量向量练习


必修四
【知识整理】

平面向量

1、向量:既有大小,又有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量.方向任意。 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ; ③a ?0 ? 0?a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

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? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 ? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则

C ? a

? b

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? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

??? ? ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
4、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?a ? ? a ;
? ? ? ?

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②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当

? ? ? ? 0 时, ? a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;

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② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ; ③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 5、 向量共线 (平行) 定理: 向量 a a ? 0 与 b 共线, 当且仅当有唯一一个实数 ? , 使 b ? ?a .

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b b ?0 设 a ? ? x1 , y1 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、 b ? ? x2 , y2 ? ,
共线.

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6、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作 为这一平面内所有向量的一组基底) 7、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ???2 时, 点 ? 的坐标是 ? 8、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
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? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) (当 ? ? 1 , ?. 1? ? ? ? 1? ?

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⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则 ① a ? b ? a ?b ? 0 .
2 ②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或

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? ? ? a ? a?a .
③ a ?b ? a b . ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

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x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .

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必修四
【强化练习】 一、选择题

平面向量

1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得(

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??? ? ? A. AB B. DA C. BC D. 0 ?? ? ?? ? ? ? 2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? A. a0 ? b0 B. a ? b ? 1 0 ?? ? ?? ? ?? ? 0 ?? ? C. | a0 | ? | b0 |? 2 D. | a0 ? b0 |? 2
3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 ,





? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ?? (4)若 a 与 b 平行,则 a? ) b ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( 0 3 A. B. 1 C. 2 D.
4.下列命题中正确的是( ) B.若 a?b=0,则 a∥b D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 ) A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a|

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? ? ? ? 5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ? 3 B. ?1 C. 1 D. 3

6.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( ) A. 4 2 ,0 二、填空题 B. 4, 4 2 C. 16, 0 D. 4, 0

1 AB =_________ 3 ? ? ? ? ? 2.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。 ? ? ? ? 0 3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ? 。
1.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则 4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形 是___________。 5.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。 三、解答题 1.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
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2.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1,3) ,求 b 在 AB 上的投影。 3.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

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