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2016年陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷(文科)(解析版)



2016 年陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M={0,1},集合 N={x|x2+x=0) ,则集合 M∪N 等于( ) A.0 B.{0} C.? D.{﹣1,0,1} 2.复数 的共轭复数的虚部为( )

A.﹣2 B

.2 C.﹣1 D.1 3.已知点 A(1,3) ,B(2,﹣3) ,C(m,0) ,向量 A.20 B.21 C.22 D.23 4.在同一坐标系内,函数 y=x+ 和 y=4sin

,则实数 m 的值是(



的图象公共点的个数为(



A.6 B.4 C.2 D.1 5.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人.为了调查他们的身体状况,需从他 们中抽取一个容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老年人中剔除一人,然后分层抽样

6.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=

(2x+y)的最小值(



A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 7.设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度 h 随时间 t 变化的图象是( )

A.

B.

C.

D.

8.已知函数 f(x)= 则实数 c 的值为( ) A.﹣3 B.﹣2 C.2

,x≠﹣ ,且对于不等于﹣ 的任何实数 x,满足 f[f(x)]=x,

D.3
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9.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如表所示的数据. 2 3 4 5 6 7 8 观测次数 i 1 观测数据 ai 40 41 43 43 44 46 47 48 在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 是这 8 个数据的平 均数) ,则输出的 S 的值是( )

A.5 B.6 C.7 D.8 10. l 与 C 交于 A, B 两点, 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直. |AB|=12, P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 11.已知长方体 A1B1C1D1﹣ABCD 的外接球的体积为 值为( ) A.32 B.28 12. =a+ 已知 f (x) A. B. C.24 D.16 , 对? x∈ (0, +∞) , 有f (x) ≥0, 则实数 a 的取值范围是 ( C. D. ) ,则该长方体的表面积的最大

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若 b 在[0,10]上随机地取值,则使方程 x2﹣bx+b+3=0 有实根的概率是 14.已知 15.已知函数 f(x)=loga 的值为 是奇函数(a>0,a≠1) ,则 m 的值等于

. . .

16.设点 P 是圆 x2+y2=4 上的任一点,定点 D 的坐标为(8,0) .当点 P 在圆上运动时,则 线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是 .
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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 f(x)是 R 上的单调函数,? x1,x2∈R,? x0∈R,总有 f(x0x1+x0x2)=f(x0) +f(x1)+f(x2)恒成立. (I)求 x0 的值; (II) 若 f(x0)=1,且? n∈N*,有 an=f( )+1,若数列{an}的前 n 项和 Sn,求证:

Sn<1. 18.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形,高为 h,过底面一边 BC 作截面,与侧面 PAQ 交于 EF,若截面将棱锥分成体积相等的两部分, (I)求证:EF∥平面 ABCD; (II)求 EF 到底面 ABCD 的距离.

19.五一劳动节期间,记者通过随机询问某景区 60 名游客对景区的服务是否满意,得到如 下的列联表:性别与对景区的服务是否满意(单位:名) 男 女 总计 24 满意 6 不满意 60 总计 已知在 60 人中随机抽取 1 人,抽到男性的概率为 . (I)请将上面的 2×2 列联表补充完整(直接写结果) ,并判断是否有 75%的把握认为“游客 ” 性别与对景区的服务满意 有关,说明理由; (II)从这 60 名游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本, 从这 5 人中任选 3 人,求所选的 3 人至少有一名男性的概率. 附: P(K2≥k0) 0.250 0.15 0.10 0.05 0.01 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 6.635 K2= (其中 n=a+b+c+d)

20.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y﹣1=0 与抛物线相交于 A、B 两点,且|AB|= .

(1)求抛物线的方程;

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(2)在 x 轴上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形?若存在,求出 C 点的坐标;若不存 在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=x2+3x﹣3﹣kex. (I) 当 x≥﹣5 时,f(x)≤0,求 k 的取值范围; (II) 当 k=﹣1 时,求证:f(x)>﹣6. [选修 4-1:集合证明选讲] 22.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,点 D 在 AB 上,DE ⊥EB. (Ⅰ)求证:AC 是△BDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD=2 ,AE=6,求 EC 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的极坐 标方程为 ρsin(θ+ )= ,曲线 C 的参数方程是 (α 是参数) .

(I)求直线 l 及曲线 C 的直角坐标方程; (II)求曲线 C 上的点到直线 l 的最小距离. [选修 4-5:不等式选讲] 24.对于实数 x∈(0, ) ,f(x)= .

(I)f(x)≥t 恒成立,求 t 的最大值; (II)在(I)的条件下,求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5 的解集.

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2016 年陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M={0,1},集合 N={x|x2+x=0) ,则集合 M∪N 等于( ) A.0 B.{0} C.? D.{﹣1,0,1} 【考点】并集及其运算. 【分析】先求出集合 N 中的元素,再求出其和 M 的交集即可. 【解答】解:∵集合 M={0,1}, 集合 N={x|x2+x=0)}={0,﹣1}, 则集合 M∪N={﹣1,0,1}. 故选:D.

2.复数

的共轭复数的虚部为( C.﹣1 D.1



A.﹣2 B.2

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,结合共轭复数的概念得答案. 【解答】解:∵ ∴复数 故选:A. 3.已知点 A(1,3) ,B(2,﹣3) ,C(m,0) ,向量 A.20 B.21 C.22 D.23 【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算. 【分析】求出向量的坐标,利用数量积为 0,求解即可. 【解答】解:点 A(1,3) ,B(2,﹣3) ,C(m,0) , =(1,﹣6) , =(m﹣2,3) 向量 , 可得 m﹣2﹣18=0 解得 m=20. 故选:A. ,则实数 m 的值是( ) = ,

的共轭复数为 2﹣2i,其虚部为﹣2.

4.在同一坐标系内,函数 y=x+ 和 y=4sin A.6 B.4 C.2 D.1

的图象公共点的个数为(



【考点】函数的图象. 【分析】利用函数的奇偶性和单调性、最值,数形结合可得两个函数图象公共点的个数. 【解答】解:函数 y=x+ 和 y=4sin 都是奇函数,故它们的图象的交点关于原点对称,
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且 y=4sin

是周期为 4 的函数.

在(0,+∞)上,再根据当 x=1 时,函数 y=x+ 取得最小值为 2, 同时,函数 y=4sin 取得最大值为 4, 的图象公共点的个数为 2, (图中黑色曲线)的图象公共点的

故在(0,+∞)上,函数 y=x+ 和 y=4sin

故在 R 上,函数 y=x+ (图中红色曲线)和 y=4sin 个数为 4, 如图所示: 故选:B.

5.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人.为了调查他们的身体状况,需从他 们中抽取一个容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老年人中剔除一人,然后分层抽样 【考点】分层抽样方法. 【分析】由于总体由具有明显不同特征的三部分构成,故应采用分层抽样的方法,若直接采 用分层抽样,则运算出的结果不是整数,先从老年人中剔除一人,然后分层抽样. 【解答】解:由于总体由具有明显不同特征的三部分构成,故不能采用简单随机抽样,也不 能用系统抽样,若直接采用 分层抽样,则运算出的结果不是整数,先从老年人中剔除一人,然后分层抽样,此时,每个 个体被抽到的概率等于 = 81× =18.
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= ,从各层中抽取的人数分别为 27× =6,54× =12,

故选 D.

6.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=

(2x+y)的最小值(



A.﹣2 B.﹣1 C.1

D.2

【考点】简单线性规划. 【分析】画出平面区域,利用目标函数的几何意义求最小值. 【解答】解:已知约束条件对应的区域如图:设 z=2x+y,平移此直线,当过图中 A 时使得 Z 最小,由 得到 A(1,1) ,

所以 z 的最小值为 2+1=3, 所以目标函数 z= =2; 故选:D.

(2x+y) 的最小值为

7.设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度 h 随时间 t 变化的图象是( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图;函数的图象;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【分析】由三视图可以看出,此几何体是一个圆柱,如果往其中注水,由于其横截面始终不 变,故其水面高度应该是匀速上升的,接合函数的知识来选择正确选项即可 【解答】解:由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下大小相同,所以当向杯 中匀速注水时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,其图象形状应是直线型的, 选项 A,递增速度越来越快,不符合题意; 选项 B 符合题意; 选项 C 水面高度增加速度不停变化,故不正确; 选项 D 中水面上升速度越来越慢,不符合题意,故不正确. 故选 B.

8.已知函数 f(x)= 则实数 c 的值为( ) A.﹣3 B.﹣2 C.2

,x≠﹣ ,且对于不等于﹣ 的任何实数 x,满足 f[f(x)]=x,

D.3

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】化简 f[f(x)]﹣x=f( )﹣x= ,从而判断即可.

【解答】解:f[f(x)]﹣x=f(

)﹣x

=

﹣x

=



∵对于不等于﹣ 的任何实数 x,满足 f[f(x)]=x,





解得,c=﹣3; 故选 A. 9.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如表所示的数据. 2 3 4 5 6 7 8 观测次数 i 1 观测数据 ai 40 41 43 43 44 46 47 48

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在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 是这 8 个数据的平 均数) ,则输出的 S 的值是( )

A.5

B.6

C.7

D.8

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算输入的 8 个数的方差.由表中给出的输入的 8 个数的数据,不难得到答案. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算输入的 8 个数的方差. 由表中给出的输入的 8 个数的数据,不难得到答案. ∵ = (40+41+43+43+44+46+47+48)=44, S2= (42+32+12+12+02+22+32+42)=7, 故选:C 10. l 与 C 交于 A, B 两点, 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直. |AB|=12, P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【分析】首先设抛物线的解析式 y2=2px(p>0) ,写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线, AB =2p p ABP 然后根据通径| | ,求出 ,△ 的面积是|AB|与 DP 乘积一半. 2 【解答】解:设抛物线的解析式为 y =2px(p>0) , 则焦点为 F( ,0) ,对称轴为 x 轴,准线为 x=﹣ ∵直线 l 经过抛物线的焦点,A、B 是 l 与 C 的交点,
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又∵AB⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6 又∵点 P 在准线上 ∴DP=( +| |)=p=6

∴S△ ABP= (DP?AB)= ×6×12=36 故选 C.

11.已知长方体 A1B1C1D1﹣ABCD 的外接球的体积为 值为( ) A.32 B.28 C.24 D.16

,则该长方体的表面积的最大

【考点】球的体积和表面积;球内接多面体. 【分析】设长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的长宽高分别为 x,y,z,根据外接球的直径就是长 方体对角线,且外接球的体积为 ,得到 x2+y2+z2=16,进而根据基本不等式得到长方体

ABCD﹣A1B1C1D1 的表面积 S=2xy+2yz+2zx≤32. 【解答】解:设长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的长宽高分别为 x,y,z, ∵外接球的直径就是长方体对角线,且外接球的体积为 ∴ ∴R=2, ∴长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的外接球的直径为 4, 则有 x2+y2+z2=16, 则长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的表面积 S=2xy+2yz+2zx≤x2+y2+z2+x2+y2+z2=32, 则长方体的表面积的最大值为 32, 故选:A. = , ,

12. =a+ 已知 f (x)

, 对? x∈ (0, +∞) , 有f (x) ≥0, 则实数 a 的取值范围是 (



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A.

B.

C.

D.

【考点】基本不等式. 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵f(x)=a+ ∴a ,对? x∈(0,+∞) ,有 f(x)≥0,



=

≤ ,当且仅当 x=1 时取等号.





故选:A. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若 b 在[0,10]上随机地取值,则使方程 x2﹣bx+b+3=0 有实根的概率是 【考点】几何概型. 【分析】由题意,本题是几何概型的概率;利用区间长度的比解之. 【解答】解:已知 b 在[0,10]上,区间长度为 10, 又在此范围内满足方程 x2﹣bx+b+3=0 有实根的 b 的范围是 b2﹣4(b+3)≥0, 即[6,10], 区间长度为 4, 由几何概型的公式得到使方程 x2﹣bx+b+3=0 有实根的概率是 ; 故答案为: .

14.已知 【考点】两角和与差的正弦函数.

的值为 ﹣



【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、二倍角公式,求得 sin(α﹣ 【解答】解:∵sin(α+ 即 sinα﹣ cosα=﹣ . )+2 ,∴sin(α﹣ =1﹣ )=﹣ , ,

)的值. ,

sinα+ cosα+1﹣cosα=1﹣

故答案为:﹣

15.已知函数 f(x)=loga

是奇函数(a>0,a≠1) ,则 m 的值等于 ﹣1 .

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可.

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【解答】解:∵f(x)=loga ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 即 f(﹣x)+f(x)=0, 则 loga 则 +loga = =loga(

是奇函数,

?

)=0,

?

=1,

即 m2=1,则 m=1 或 m=﹣1, 当 m=1 时,f(x)=loga 故 m=﹣1, 故答案为:﹣1 16.设点 P 是圆 x2+y2=4 上的任一点,定点 D 的坐标为(8,0) .当点 P 在圆上运动时,则 2 2 线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是 (x﹣4) +y =1 . 【考点】轨迹方程. 【分析】设点 M 的坐标为(x,y) ,点 P 的坐标为(x0,y0) ,由中点坐标公式写出方程组, x y 解出 0 和 0,代入已知圆的方程即可. 此求轨迹方程的方法为相关点法. 【解答】解:设点 M 的坐标为(x,y) ,点 P 的坐标为(x0,y0) , 则 , .即 x0=2x﹣8,y0=2y. =loga(﹣1)无意义,

因为点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=4 上,所以 x02+y02=4. 即(2x﹣8)2+(2y)2=4,即(x﹣4)2+y2=1,这就是动点 M 的轨迹方程. 故答案为: (x﹣4)2+y2=1 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 f(x)是 R 上的单调函数,? x1,x2∈R,? x0∈R,总有 f(x0x1+x0x2)=f(x0) +f(x1)+f(x2)恒成立. (I)求 x0 的值; (II) 若 f(x0)=1,且? n∈N*,有 an=f( )+1,若数列{an}的前 n 项和 Sn,求证:

Sn<1. 【考点】数列与函数的综合;抽象函数及其应用;数列的求和. 【分析】 (I)令 x1=x2=0,得 f(0)=f(x0)+2f(0) ,故 f(x0)=﹣f(0) ,令 x1=1,x2=0, 得 f(x0)=f(x0)+f(1)+f(0) ,故 f(1)=﹣f(0) ,得 f(x0)=f(1) ,由函数的单调性 即可求得 x0 的值; (II)由(I)可知:求得 f(n)=2n﹣1,可知数列{f(n)},是以 2 为公差,以 1 为首项的 等差数列,代入求得数列{an}的通项公式,根据等比数列前 n 项和公式即可求证 Sn<1. 【解答】解: (I)令 x1=x2=0,得 f(0)=f(x0)+2f(0) , ∴f(x0)=﹣f(0)①
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令 x1=1,x2=0,得 f(x0)=f(x0)+f(1)+f(0) , ∴f(1)=﹣f(0)② 由①、②知,f(x0)=f(1) , 又 f(x)是 R 上的单调函数, ∴x0=1. (II)证明:∵f(x1+x2)=f(1)+f(x1)+f(x2)=1+f(x1)+f(x2) , ∴f(n+1)=1+f(n)+f(1)=f(n)+2, (n∈N*) , ∴数列{f(n)},是以 2 为公差,以 1 为首项的等差数列, f(n)=1+2(n﹣1)=2n﹣1, ∴f(n)=2n﹣1, ∴ .

数列{an}是以 为首项, 为公比的等比数列,

由等比数列前 n 项和公式可知:



∴Sn<1. 18.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形,高为 h,过底面一边 BC 作截面,与侧面 PAQ 交于 EF,若截面将棱锥分成体积相等的两部分, (I)求证:EF∥平面 ABCD; (II)求 EF 到底面 ABCD 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【分析】 (I)利用四边形 ABCD 为平行四边形,可得 BC∥AD,再利用线面平行的判定与 性质定理即可证明. (II)设 EF 到底面 ABCD 的距离为 x.连接 BF,BD,ED,则 x 分别是三棱锥 E﹣ABD 和 F﹣BCD 的高,设平行四边形 ABCD 的底面面积为 S,利用“等体积法”可得: .同理可得 多面体 FEABCD 的体积 = 出.
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.于是

.即可得

【解答】 (I)证明:∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴BC∥AD,又 BC?平面 PAD,AD? 平面 PAD, ∴BC∥面 PAD. 又∵截面 BCEF∩面 PAD=EF,EF?平面 ABCD, ∴EF∥面 ABCD. (II)解:设 EF 到底面 ABCD 的距离为 x. 连接 BF,BD,ED,则 x 分别是三棱锥 E﹣ABD 和 F﹣BCD 的高, 设平行四边形 ABCD 的底面面积为 S,则 ∵三棱锥 B﹣ADE 与三棱锥 B﹣DEF 等高,而△ADE 与△DEF 也等高, ∴ , .

∴ ∴多面体 FEABCD 的体积



. 由 解之,得 ∵ ∴所求距离为 . ,故应舍去, . 可得: .

19.五一劳动节期间,记者通过随机询问某景区 60 名游客对景区的服务是否满意,得到如 下的列联表:性别与对景区的服务是否满意(单位:名) 男 女 总计 24 满意 6 不满意 60 总计 已知在 60 人中随机抽取 1 人,抽到男性的概率为 .
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(I)请将上面的 2×2 列联表补充完整(直接写结果) ,并判断是否有 75%的把握认为“游客 性别与对景区的服务满意”有关,说明理由; (II)从这 60 名游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本, 从这 5 人中任选 3 人,求所选的 3 人至少有一名男性的概率. 附: P(K2≥k0) 0.250 0.15 0.10 0.05 0.01 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 6.635 K2= (其中 n=a+b+c+d)

【考点】独立性检验的应用;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (I)由题意可知求得男生的人数,即可求得女生的总人数,将 2×2 列联表填完整, 根据所给的公式,代入数据求出临界值,把求得的结果同临界值表进行比较,即可得到没有 75%的把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关; (II)分别求得总的事件和可能了的事件的个数,根据古典概型公式即可求得所选的 3 人至 少有一名男性的概率. 【解答】解: (I)2×2 列联表: 男 女 总计 18 24 42 满意 6 12 18 不满意 24 36 60 总计 K2= =0.476<1.323,

∴没有 75%的把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关. (II)这 60 名游客中采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本,其中男性 2 人,女性 3 人,男性记为 a1,a2,女性记为 b1,b2,b3, 则所有可能结果为: (a1,a2,b1) ; (a1,a2,b2) ; (a1,a2,b3) ; (a1,b1,b2) ; (a1,b2, b3) ; (a1,b1,b3) ; (a2,b1,b2) ; (a2,b2,b3) ; (a2,b1,b3) ; (b1,b2,b3) ,共有 10 种情况, 记“所选的 3 人至少有一名男性的概率”为事件 M, 则事件 M 包含的基本事件共有 9 种情况, 则 P(M)= .

20.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y﹣1=0 与抛物线相交于 A、B 两点,且|AB|= .

(1)求抛物线的方程; (2)在 x 轴上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形?若存在,求出 C 点的坐标;若不存 在,请说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)设所求抛物线的方程为 y2=2px,将直线的方程代入抛物线的方程,消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程,再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得 P 值,从而解决问 题.
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(2)对于存在性问题,可先假设存在,即假设 x 轴上存在满足条件的点 C(x0,0) ,再利 用△ABC 为正三角形,求出 CD 的长,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则 存在. 【解答】解: (1)设所求抛物线的方程为 y2=2px(p>0) , 由 消去 y,

得 x2﹣2(1+p)x+1=0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , x x =2 1 p 则 1+ 2 ( + ) , x1?x2=1.∵|AB|= ∴ ∴121p2+242p﹣48=0, ∴p= 或﹣ (舍) . x. , = ,

∴抛物线的方程为 y2=

(2)设 AB 的中点为 D,则 D



假设 x 轴上存在满足条件的点 C(x0,0) ,∵△ABC 为正三角形, ∴CD⊥AB,∴x0= ∴C( 又∵|CD|= . . ,

) ,∴|CD|= |AB|=

故矛盾,∴x 轴上不存在点 C,使△ABC 为正三角形. 21.已知函数 f(x)=x2+3x﹣3﹣kex. (I) 当 x≥﹣5 时,f(x)≤0,求 k 的取值范围; (II) 当 k=﹣1 时,求证:f(x)>﹣6. 【考点】二次函数的性质;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (I)由题意,分离参数求得 k 的取值范围,构造辅助函数 (x≥

﹣5) ,求导,利用导数求得函数的单调区间及最大值,即可求得 k 的取值范围; (II)当 k=﹣1 时,求得 f′(x) ,构造辅助函数 h(x)=2x+3+ex,求导,求得 h(x)单调区 间及零点,即可求得 f(x)的最小值,由 f(x0)>f(﹣1)=﹣6,即可求证 f(x)>﹣6. 在(﹣2,﹣1)上单调递减,

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【解答】解: (I) 由题意可知,当 x≥﹣5 时 x2+3x﹣3≤kex 恒成立,即





(x≥﹣5) ,则



由 g'(x)<0,得﹣5≤x<﹣3 或 x>2,由 g'(x)>0,得﹣3<x<2, 所以 g(x)在[﹣5,﹣3)和(2,+∞)单调递减,在(﹣3,2)单调递增. 所以 所以 x≥﹣5 时, , , ,g(﹣5)>g(2) ,

所以 k≥7e5; (II)证明:当 k=﹣1 时,f(x)=x2+3x﹣3+ex,f'(x)=2x+3+ex,设 h(x)=2x+3+ex, 则 h'(x)=2+ex>0 恒成立,所以 h(x)在 R 上单调递增. 又因为 , ,

所以 h(x)=0 在 R 上有唯一的零点, 即 f'(x)在 R 上单调递增且 f'(x)=0 在 R 上有唯一的零点, 设这个零点为 x0,则 x0∈(﹣2,﹣1) ,并且有 可知 f(x)在(x0,+∞)单调递增,在(﹣∞,x0)单调递减. 所以 因为 = 在(﹣2,﹣1)上单调递减, = , .

于是 f(x0)>f(﹣1)=﹣6, 所以 f(x)>﹣6. [选修 4-1:集合证明选讲] 22.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,点 D 在 AB 上,DE ⊥EB. (Ⅰ)求证:AC 是△BDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD=2 ,AE=6,求 EC 的长.

【考点】圆的切线的性质定理的证明. 【分析】 (Ⅰ)要证明 AC 是△BDE 的外接圆的切线,故考虑取 BD 的中点 O,只要证明 OE ⊥AC,结合∠C=90°,证明 BC∥OE 即可

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(Ⅱ)设⊙O 的半径为 r,则在△AOE 中,由 OA2=OE2+AE2,可求 r,代入可得 OA,2OE, Rt△AOE 中,可求∠A,∠AOE,进而可求∠CBE=∠OBE,在 BCE 中,通过 EC 与 BE 的 关系可求 【解答】证明: (Ⅰ)取 BD 的中点 O,连接 OE. ∵BE 平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO, ∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE.… … ∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC 是△BDE 的外接圆的切线. (Ⅱ)设⊙O 的半径为 r,则在△AOE 中,OA2=OE2+AE2,即 解得 ,… ∴OA=2OE, ∴∠A=30°,∠AOE=60°. ∴∠CBE=∠OBE=30°. ∴在 Rt△BCE 中,可得 EC= . … ,

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的极坐 标方程为 ρsin(θ+ )= ,曲线 C 的参数方程是 (α 是参数) .

(I)求直线 l 及曲线 C 的直角坐标方程; (II)求曲线 C 上的点到直线 l 的最小距离. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (I) 由 ρsin (θ+ = ) , 展开为 , 把 x=ρcosθ, ,利用 cos2α+sin2α=1,可得曲线 C 的直

y=ρsinθ 代入可得直角坐标方程.由 角坐标方程. (II)设曲线 C 上任意一点的坐标为 离

,则该点到直线 x+y﹣3=0 的距 ,利用三角函数的值域即可得出.

【解答】解: (I)由 ρsin(θ+

)=

,∴



即 ρsinθ+ρcosθ﹣3=0,令 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 直线 l 的直角坐标方程是 x+y﹣3=0. 由 ,利用 cos2α+sin2α=1,

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可得:曲线 C 的直角坐标方程是 (II)设曲线 C 上任意一点的坐标为 离

. ,则该点到直线 x+y﹣3=0 的距 ,



时,曲线 C 上的点到直线 l 的最小距离



[选修 4-5:不等式选讲] 24.对于实数 x∈(0, ) ,f(x)= .

(I)f(x)≥t 恒成立,求 t 的最大值; (II)在(I)的条件下,求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5 的解集. 【考点】二维形式的柯西不等式. 【分析】 (I)利用柯西不等式求得 f(x)的最小值,再根据 f(x)≥t 恒成立,求 t 的最大 值. (II)在(I)的条件下,把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不 等式组的解集,再取并集,即得所求. 【解答】解: (I)∵实数 x∈(0, f(x)= 当且仅当 = =[ ) ,∴sinx>0,cosx>0, + ]?(sin2x+cosx2) ,

时,取等号,

所以 f(x)的最小值为 1,所以 t≤1,即 t 的最大值为 1. (II)在(I)的条件下,|x+t|+|x﹣2|≥5,即,|x+1|+|x﹣2|≥5, 这个不等式等价于 ①,或 ②,或

③. 解①求得 x≤﹣2,解②求得 x∈?,解③求得 x≥3, 综上可得,不等式的解集为{x|x≤﹣2 或 x≥3}.

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2016 年 9 月 6 日

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