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第一、二周教案(郭小波)



课题:21.1 一元二次方程
一、教学目标 1.经历一元二次方程概念的形成过程,知道什么是一元二次方程. 2.会 把一元二次方程化成一般形式,并知道各项及系数的名称. 二、教学重点和难点 1.重点:一元二次方程的概念. 2.难点:把一元二次方程化成一般形式. 三、教学过程 ( 一)创设情境,导入新课 师: (板书:3x-5=0)这是一个什么方程?(稍停)3x-5=0 是

一个一元一次方程(板 书:一元一次方程).[来源:学科网 ZXXK] 师:哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程? 生:??(让几名同学回答) 师: (指准 3x-5=0)只含有一个未知数,并且未知数的 次数是 1 的 方程,叫做一元一 次方程.(指准“一元一次方程” )一元指的是含有一个未知数,一次指的是未知数的次数 是 1. 师:一元一次方程是我们在初一已经学过的,从今天开始,我们要学习一种新的方程, 叫做一元二次方程(板书:一元二次方程). (二)尝试指导,讲授新课 师:什么样的方程是 一元二次方程?(板书:x2-x=56)x2-x=56 是一个一元二次方程, (板书:4x2-9=0)4x2-9=0 也是一元二次方程, (板书:x2+3x=0)x2+3x=0 也是一元二次方 程, (板书:3y2-5y=7)3y2-5y=7 也是一元二次方程. 师:从这些一元二次方程,哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程?(等到有 一部分同学举手再叫学生) 生:?? (多让几名同学回答) 师: (指准 x2-x=56)只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,这样的方程叫 做一元二次方程. (师出示下面的板书) 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的方程,叫做一元二次方程. 师:请大家把一元二次方程的定义读两遍.(生读) 师: 根据一元二次方程的定义, (指准方程) 我们很容易判断 x2-x=56, 4x2-9=0, x2+3x=0, 3y2-5y=7 这些方程都是一元二次方程.(板书:3x(x-1)=5(x+2))现在请大家判断,这个方 程是不是一元二次方程?为什么?(让生思考一会儿) 生:??(让几名学生发表看法) 师:把这个方程两边去括号,得到 3x2-3x=5x+10(边讲边板书:3x2-3x=5x+10) ,去括 号后容易看出,这个方程是一元二次方程. 师: (指 3x2-3x=5x+10)这个方程还可以继续整理,怎么继续整理?(指准方程)先把 右边的 5x 和 10 都移到左边去,再合并,得到 3x2-8x-10=0(边讲边板书:3x2-8x-10 =0). 师: (指原方程和 3 x2-8x-10=0)大家可以比较这两个方程,这个方程是这个方程经过 整理得到的,这个方程的形式又简单又整齐,我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形 式(板书:一元二次方程的一般形式). 师:从这个例子大家可以看到,任何一个一元二次方程,经 过整理,都可以化成一般 形式,一般形式就是 ax2+bx+c=0 这样的形式(边讲边板书:ax2+bx+c=0). 师: (指准 ax2+bx+c=0)在一元二次方程的一般形式中,我们把 ax2 叫做二次项,a 是 二次项系数(板书:其中 a 是二次项系数) ;bx 叫做一次项,b 是一次项系数(板书:b 是

一次项系数) ;c 叫做常数项(板书:c 是常数项). 师: (指准 3x2-8x-10=0)譬如,在这个方程中,二次项是 3x2,二次项系数是 3;一次 项是-8x,一次项系数是-8;常数项是-10. 师: (指 x2+3x=0)大家看这个方程,它的二次项、二次项系数是什么? 生:二次项是 x2,二次项系数是 1.(多让几名同学回答) 师: (指 x2+3x=0)它的一次项、一次项系数是什么? 生:一次项是 3x,一次项系数是 3.(多让几名同学回答) 师: (指 x2+3x=0)它的常数项是什么? 生:常数项是 0.(多让几名同学回答,如有必要师作解释) 师: (指 4x2-9=0)大家再看这个方程,它的二次项、二次项系数是什么? 生:二次项是 4x2,二次项系数是 4. 师: (指 4x2-9=0)它的一次项、一次项系数是什么? 生:??(多让几名同学回答) 师:这个方程的一次项可以写成 0x(边讲边板书:0x) ,所以这个方程的一次项是 0x, 一次项系数是 0. 师: (指 4x2-9=0)它的常数项是什么? 生:常数项是-9. 师:前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式,下面请大家利用这些知识来做 几个练习. (三)试探练习,回授调节 1.填空: (1)把 5x2-1=4x 化成一元二次方程的一般形式,结果是 ,其 中二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 ; (2)把 4x2=81 化成一元二次方程的一般形式,结果是 ,其中 二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 ; (3)把 x(x+2)=15 化成一元二次方程的一般形式,结果是 , 其中二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 ; (4)把(3x-2)(x+1)=8x-3 化成一元二次方程的一般形式,结果是 ,其 中二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 . 2.填空: (1)一个一元二次方程,它的二次项系数为 2,一次项系数为 3,常数项为-5,这个 一元二次方程是 ; (2)一个一元二次方程,它的二次项系数为 1,一次项系数为-3,常数项为 3,这个 一元二次方程是 ; (3)一个一元二次方程,它的二次项系数为 5,一次项系数为-1,常数项为 0,这个 一元二次方程是 ; (4) 一个一元二次方程,它的二次项系数为 1,一次项系数 为 0,常数项为-6,这个 一元二次方程是 . (四)归纳小结,布置作业 师:这节课我们学习了什么?哪位同学能帮老师小结一下? 生:??(让一两名学生小结) (作业:P28 习题 1) 四、板书设计 一元一次方程:3x-5=0 一元二次方程:x2-x=56 3x(x-1)=5(x+2) 3x2-3x=5x+10

:

4x2-9=0 3x2-8x-10=0 x2+3x=0 一元二次方程的一般形式: 2 3y -5y=7 ax2+bx+c=0,其中 a 是二次项系数,b 是一次项系 只含有一个未知数??叫做 数,c 是常数项 一元二次方程. 反思:对教材的处理和把握仍然拘泥于教材,没有进行有效地取舍、组合、拓展、加深。

课题:22.1 一元二次方程(第 2 课时)
一、教学目标 1.知道什么是一元二次方程的解(根). 2.会用直接开平方法解一元二次方程,渗透转化思想. 二、教学重点和难点 1.重点:一元二次方程解(根)的概念,直接开平方法. 2.难点:直接开平方法. 三、教学过程 (一)基本训练,巩固旧知 1.填空: (1)只含有 个未知数, 并且未知数的最高次数是 的方程, 叫做一元二次方 程; (2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种 形式叫做一元二次方程的 形式,其中 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项. 2.填空: (1)把(x+3)(x-4)=0 化成一元二次方程的一般形式,结果是 ,其中 二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 ; 2 (2)把(2x+1) =4x 化成一元二次方程的一般形式, 结果是 , 其 中二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .[来源:学*科 *网] (二)尝试指导,讲授新课 师: (板书:2x-6=0)这是一个一元一次方程,这个方程的解是什么? 生: (齐答)解是 x=3.(师板书:解是 x=3) 师: (指准方程)2x-6=0 的解是 x=3,这话是什么意思?(稍停)把 x=3 代入方程,左 边=2×3-6=0,右边=0,左边和右边恰好相等.2x-6=0 的解 x= 3,意思是,x=3 能使方程左 右两边恰好相等. 师: (板书:x2-x=0)这是一个一元二次方程,这个方程的解是什么?(让生思考一会 儿再叫学生) 生:解是 x=0. (师板书:x =0) 师: (指准方程)把 x=0 代入方程,左边和右边相等,所以 x=0 是这个一元二次方程 的一个解. 师:除了 x=0,这个方程还有没有别的的解? 生:x=1.(师板书:x=1) 师: (指准方程)把 x=1 代入方程,左边和右边相等,所以 x=1 也是这个一元二次方程 的一个解. 师:可见 x2-x=0 有两个解,一个解 x1=0(边讲边标下 标) ,另一个解 x2=1(边讲边标 下标). 师:一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根(板书: (根) ) ,所以也可以这样说, 2 (指准板书)x -x=0 有两个根,一个根 x1 是 0,另一个根 x2 是 1. 师:下面请同学们做一个练习.

(三)试探练习,回授调节[来源:学科网 ZXXK] 3.填空:在-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 这些数中,是一元二次方程 x2-x-6=0 的 根的是 . 2 4.填空:方程 x -36=0 的根是 x1= ,x2= . (四)尝试指导,讲授新课 师: (板书:x2-36=0)刚才我们求了 x2-36=0 这个一元二次方程的两个根,x1=6,x2=-6. 我们是怎么求的?我们是 通 过凑数字求的.大家可以想到, 凑数字求根是有局限性的, 什么 局限性?(稍停)通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根,如果方程稍微复杂 一点,数字就不好凑了.譬如,我们把右边的 0 改为 2x(边讲边把 x2-36=0 中的 0 改为 2x) , 2 x -36=2x 这 个方程就很难用凑数字来 求根.所以, 求一元二次方程的根不能光靠凑数字, 还 需要有专门的方法. 师:解一元二次方程的方法有好几种,下面我们先来介绍第一种方法,叫直接开平方 法(板书:直接开平 方法). 师:怎么用直接开平方法解一元二次方程?(稍停)让我们来看一个例子. (师出示例题) 例 解下列一元二次方程: (1)4x2-9=0; (2)3(2x-1)2=15. (师边讲解边板书,解题过程如下所示)[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 9 解:(1)原方程化成 x 2 = . 4 3 开平方,得 x= ? , 2 3 3 x1= ,x2=- .[来源:学科网 ZXXK][来源:学.科.网] 2 2 (2)原方程化成(2x-1)2 =5 . 开平方,得 2x-1= ? 5 , x1=
5+1 - 5+1 ,x2= . 2 2

师: (指准例题)从这两个题目,哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步 骤? 生:??(让一两名好生概括)[来源:Zxxk.Com] 师: (指准例题)用直接开平方法解一元二次方程,有三步,第一步把原方程化成 x2= 常数,或者含 x 的式子的平方=常数的形式(板书:第一步:化成什么 2=常数) ;第二步开 平方,把一元二次方程化成一元一次方程(板书:第二步:开平方) ;第三步解一元一次方 程,得到两个根(板书:第三步:解一元一次方程). 师:下面请同学们按这三步来做两个题目. (五)试探练习,回授调节 5.完成下面的解题过程:[来源:学科网 ZXXK] (1)解方程:2x2-6=0; 解:原方程化成 . 开平方,得 , x1= ,x2= . 2 (2)解方程:9(x-2) =1.[来源:Zxxk.Com]

解:原方程化成 . 开平方,得 , x1= ,x2= . (六)归纳小结,布置作业 师: (指 准板书)本节课我们学习了一元二次方程根的概念,还学习了用直接开平方 法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步, 第一步把原方程化成什么 2 =常数这种形式;第二步开平方,把一元二次方程化成一元一次方程,也就是把二次降为一 次(板书:降次) ;第三步解一元一次方程,得到两个根. (作业:P28 习题 3,P42 习题 1) 四、板书设计 2x-6=0 解是 x=3 直接开平方法 例 2 2 x -x=0 解是 x1=0,x2=1 第一步:化成什么 =常数; 2 x -36=2x 第二步:开平方,降次; 第三步:解一元一次方程. 反思:课堂教学没有真正做到对学生进行基础知识点、中考热点和中考难点的渗透,学 生原有的知识不能得到及时、适时地活化。

21.2 降次——解一元二次方程
课题:21.2.1 配方法(第 1 课时) 一、教学目标 1.经历探究过程,会用配方法解较简单的一元二次方程(二次项系数为 1). 2.培养思考能力和探索精神. 二、教学重点和难点 1.重点:用配方法解一元二次方程. 2.难点:配方. 三、教学过程 (一)基本训练,巩固旧知 1.完成下面的解题过程: (1)解方程:2x2-8=0; 解:原方程化成 . 开平方,得 , x1= ,x2= . 2 (2)解方程:3(x-1) -6=0. 解:原方程化成 . 开平方,得 , x1= ,x2= . (二)尝试指导,讲授新课 (师出示下面的板书) 直接开平方法: 第一步:化成什么 2=常数; 第二步:开平方降次; 第三步:解一元一次方程. 师:上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.(指准板书)用直接开平方法 解一元二次方程有这么三步,第一步化成什么 2=常数;第二步开平方降次,把一元二次方 程转化为一元一次方程 ;第三步解一元一次方程,得到两个根. 师:按这三步,我们来做一个题目.

(师出示例 1) 例 1 解方程:x2-4x+4=5. (先让生尝试,然后师边讲解边板书,解题过程如下) 解:原方程化成(x-2)2=5. 开平方,得 x- 2= ? 5 , x1= 5 +2,x2=- 5 +2. (三)试探练习,回授调节 2.完成下面的解题过程: 解方程:9x2+6x+1=4; 解:原方程化成 . 开平方,得 , x1= ,x2= . (四)尝试指导,讲授新课 师:下面我们再来做一个题目. (师出示例 2) 例 2 解方程:x2+6x-16=0. 师: (指准板书)怎么解这个一元二次方程?(稍停)还是要按这三步来做.按这三步 来做,关键是哪一步?(稍停)关键是第一步,把方程化成什么 2=常数的这种样子,也就 是左边化成含有 x 的式子的平方, 右边是一个常数这种样子.怎么化呢?大家自己先化一化. (生尝试,师巡视) 师:下面我们一起来化. 师: (指准方程)要把这个方程化成什么 2=常数这种样子,首先要把常数项移到右边 去 (板书: 解: 移项, 得 x2+6x=16) , 然后在这个方程的两边加上 32 (板书: x2+6x+32=16+32) , 2 2 2 2 2 左边 x +6x+3 等于什么?(稍停)等于(x+3 ) (边讲边板书:(x+3) ) ,右边 16+3 等于 25 (边讲边板书:=25).这样我们把原方程化成了 含有 x 的式子的平方=常数这种样子. 师:方程化成这种样子,下面就很好做了.开平方,得 x+ 3=±5(边讲边板书:开平方, 得 x+ 3=±5) ,解一元一次方程,得到两个根,x1=2,x2=-8(边讲边板书:x1=2,x2=-8). 师: (指准解题过程)这 个题目做完了,通过做这个题目,大家不难发现,解这个题 目的关键是在 方程两边加上 32,把方程的左边配成(x+3)2.这样做叫什么?叫配方(板书: 配方). 师:像这道例题那样,通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法,叫配 方法(板书:配方法). 师:下面请大家做几个有关配方法的练习. (五)试探练习,回授调节 3.填空: (1)x2+2·x·2+ =(x+ )2; (2)x2-2·x·6+ =(x)2; (3)x2+10x+ =(x+ )2; (4)x2-8x+ =(x)2. 4.完成下面的解题过程: 解方程:x2-8x+1=0;[来源:学科网 ZXXK] 解:移项,得 . 配方,得 , .

开平方,得 , x1= ,x2= . 5.用配方法解方程:x2+10x+9=0. (六)归纳小结,布置作业 师:这节课我们学习了什么?(稍停)我们学习了用配方法解一元 二次方程.怎么用 配方法解一元二次方程?(指准板书)和直接开平方法一样,都是这么三步,所不同的是, 直接开平方法很容易把原方程化成什么 2=常数这种样子, 而配方法需要通过配方才能把原 方程化成这种样子. 课外补充作业: 6.填空: (1)x2-2·x·3+ =(x)2; (2)x2+2·x·4+ =(x+ )2; (3)x2-4x+ =(x)2; 2 2 (4)x +14x+ =(x+ ). 7.完成下面的解题过程: 解方程:x2+4x-12=0. 解:移项,得 .[来源:学科网] 配方,得 , . 开平方,得 , x1= ,x2= . 2 8.用配方法解方程:x -6x+7=0. 四、板书设计 直接开平方法、配方法 例1 例2 第一步:化成什么 2=常数; 第二步:开平方降次; 第三步:解一元一次方程. 反思:课堂密度要求不足,学生参与机会少、参与面小;课堂留给学生自疑、自悟、自 学、自练、自得的时间十分有限。

课题:21.2.1 配方法(第 2 课时)
一、教学目标 1.会用配 方法解一元二次方程(二次项系数不为 1). 2.培养数感和运算能力. 二、教学重点和难点 1.重点:用配方法解一元二次方程. 2.难点:配方法. 三、教学过程 (一)基本训练,巩固旧知 1.完成下面的解题过程:[来源:学科网 ZXXK] 用配方法解方程:x2-12x+35=0. 解:移项,得 . 配方,得 , . 开平方,得 , x1= ,x2= .

2.填空:
1 2 2 (1)x -2·x· + =(x); 3 (2)x2+5x+ =(x+ )2; 3 (3)x2- x+ =(x)2; 2 (4)x2+x+ =(x+ )2. (订正时告诉学生,加上的那个数是一次项系数一半的平方) (二)尝试指导,讲授新课 (师出示下面的板书) 配方法 第一步:化成什么 2=常数; 第二步:开平方降次; 第三步:解一元一次方程. 师: (指准板书)上节课我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二 次方程?有这么三步,第一步:通过移项、配方把原方程化成什么 2=常数这种样子;第二 步:开平方,把一元二次方程转化为一元一次方程;第三步:解一元一次方程,得到两个 根.在这三步中,第一步中的配方是关键,所以这种解法叫做配方法. 师:下面我们用配方法再来解几个一元二次方程,先看例 1. (师出示例 1) (三)尝试指导,讲授新课 1 例 1 用配方法解方程:x2+5x+ =0. 4 (先让生尝试,然后师 边讲解边板书,解题过程如下) 1 2 解:移项,得 x +5x=- . 4

1 ?5? ?5? 配方 x +5x+ ? ? =- + ? ? , 4 ?2? ?2?
2

2

2

? 5? ? x+ ? =6 . ? 2?
5 开平方,得 x+ = ? 6 , 2 5 5 x1= - + 6 ,x2= - - 6 . 2 2 (四)试探练习,回授调节 3.完成下面的解题过程: 7 用配方法解方程:x2-x- =0. 4 解:移项,得 配方

2

. , . , .

开平方,得 x1= ,x2= (五)尝试指导,讲授新课

师:下面 我们再来做一个题目. (师出示例 2)[来源:Z&xx&k.Com] 例 2 用配方法解方程:2x2+1=3x. 师: (指准方程)这个方程与例 1 这个方程有点区别,区别在哪儿?(稍停)区别主要 是,例 1 这个方程的二次项系数是 1,而这个方程的二次项系数不是 1.怎么办?我们可以 设法把这个方程二次项系数化为 1.下面大家自己先试着做一做. (以下生尝试,然后师边讲解边板书,解题过程如下) 解:移项,得 2x2-3x=-1. 3 1 二次项系数化为 1,得 x2 - x=- .[来源:学科网] 2 2 配方

3 ?3? 1 ?3? x - x+ ? ? =- + ? ? , 2 ?4? 2 ?4?
2

2

2

? 3? 1 ? x- ? = ? 4 ? 16
3 1 开平方,得 x- = ? , 4 4 1 x1=1, x2= . 2 (六)试探练习,回授调节 4.完成下面的解题过程: 用配方法解方程:3x2+6x+2=0. 解:移项,得 二次项系数化为 1,得 配方

2

. . , .

开平方,得 , x1= ,x2= . 2 5.用配方法解方程:9x -6x-8=0. (七)归纳小结,布置作业 师:这节课我们继续学习了用配方法解一元二次方程, (指板书)用配方法解一元二次 方程就这么三步,解题的关键是第一步.怎么做第一步?(指例 2)先移项,再把二次项系 数化为 1,然后配方.配方时,要在方程两边加上一次项系数一半的平方. (作业:P42 习题 2.3.) 四、板书设计 配方法 例1 例2 2 第一步:化成什么 =常数; 第二步:开平方降次; 第三步:解一元一次方程. 反思:对中考的研究不够,对中考的考试范围、要求、形式、出题的特点及规律的了解 不够明确,在课堂教学中依赖于复习资料,缺乏对资料的精选与整合,忽视教师自身对知识 框架的主动构建,从而课堂教学缺乏对学生英语知识体系的方法指导和能力培养。

课题:21.2.1 配方法(第 3 课时)
一、教学目标

1.会先整理再用配方法解一元二次方程(包括没有实数根的情况). 2.培养数感和运算能力. 二、教学重点和难点 1.重点:先整理再用配方法解一元二次方程. 2.难点:没有实数根的情况. 三、教学过程 (一)基本训练,巩固旧知 1.完成下面的解题过程: 用配方法解方程:3x2+6x-4=0. 解:移项,得 . 二次项系数化为 1,得 . 配方 , . 开平方,得 , x1= ,x2= . (二)创设情境,导入新课 师:上节课我们用配方法解了几个一元二次方程,这节课我们用配方法再来做几个题 目. (三)尝试指导,讲授新课 (师出示例题) 例 用配方法解方程: (1)(x-2)(x+3)=6; (2)3x(x-1)=3x-4. (先让生尝试,然后师边讲解边板书,解题过程如下) 解:(1)整理,得 x2+x-12=0. 移项,得 x2+x=12.

?1? ?1? 配方 x +x+ ? ? =12+ ? ? , ?2? ?2?
2

2

2

? 1 ? 49 ? x+ ? = . ? 2? 4
1 7 开平方,得 x+ = ? , 2 2 x1=3, x2=-4. 2 (2)整理,得 3x -6x+4=0. 移项,得 3x2-6x=-4. 4 二次项系数化为 1,得 x 2 -2x=3 4 配方 x2 -2x+12 =- +1 , 3 1 2 ? x-1? =- . 3 原方程没有实数根. 师:例题做完了,从这个例题,谁能概括怎么用配方法解一元二次方程?(让生思考 一会儿,再叫学生)

2

生:??(让一两名好生回答) 师:用配方法解一元二次方程, (指准例 2)第一步要把原方程化成什么 2=常数这种 样子,怎么化呢?(稍停)先整理,把原方程化成一元一次方程的一般形式;再移项;然 后把二次项系数化为 1;然后再配方,配方时,在方程两边加上一次项系数一半的平方.第 一步完成后,看右边的常数,如果右边的常数为负数,说明原方程没有实数根; (指准例 1) 如果右边的常数为非负数,则继续第二步第三步,第二步开平方,第三步解一元一次方程 得到两个实数根. (四)试探练习,回授调节 2.完成下面的解题过程: 用配方法解方程:(2x-1)2=4x+9. 解:整理,得 . 移项,得 . 二次项系数化为 1,得 . 配方 , . 开平方,得 , x1= ,x2= . 3.用配方法解方程:(2x+1)(x-3)=x-9. (五)归纳小结,布置作业 师:本节课我们用配方法解了几个一元二次方程,通过做题,同桌之间互相说一说, 怎么用配方法解一元二次方程?(同桌之间互相说) (作业:P34 练习 2(5)(6)) 四、板书设计(略) 反思:对中考的研究不够,对中考的考试范围、要求、形式、出题的特点及规律的了解 不够明确,在课堂教学中依赖于复习资料,缺乏对资料的精选与整合,忽视教师自身对知识 框架的主动构建,从而课堂教学缺乏对学生英语知识体系的方法指导和能力培养。

课题:21.2.2 公式法(第 4 课时)
一、教学目标 1.经历一元二次方程求根的推导过程,会用公式法解一元二次方程. 2.发展符号感. 二、教学重点和难点 1.重点:一元二次方程求根公式的推导和运用. 2.难点:一元二次方程求根公式的推导. 三、教学过程 (一)尝试指导,讲授新课 师: (板书:ax2+bx+c=0,并指准)这是一个一元二次方程,x 是未知数,a,b,c 都 是常数,而且 a≠0(板书:(a≠0)).怎么用配方法来解这个一元二次方程?大家自己先试 一试. (生尝试,师巡视,要给学生充足的尝试时间) 师:我们一起来解这个一元二次方程.首先我们要把这个方程化成什么 2=常数这种样 子,怎么化呢? 师:先把常数项 c 移到右边(板书:移项,得 ax2+bx=-c). b c b c 师: 再把二次项系数化为 1, 得 x2 + x=- (板书: 二次项系数化为 1, 得 x2 + x=- ) . a a a a 师:然后配方(板书:配方) ,怎么配方? (稍停)在方程两边加上一次项系数一半

b ? b? c ? b? b ? b ? ? ? 的平方(板书: x + x+ ? ? =- + ? ? ) ,左边是 ? x+ ? (板书: ? x+ ? = ) ,右边 a ? 2a ? a ? 2a ? ? 2a ? ? 2a ?
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2

2

c b2 b2 c b2 4ac b2 -4ac = - + 2= 2- = 2- 2= (边讲边在黑板的其它地方板演) ,所以 a 4a 4a a 4a 4a 4a 2
b2 -4ac b ? b2 -4ac ? = (边讲边板书: ). x+ ? ? 4a 2 4a 2 ? 2a ?
2

2

师: (指准板书)通过移项、二次项系数化为 1、配方,现在我们把原方程化成了什么 =常数这种形式,接下来怎么做呢? 师: (指准方程)接下来开平方(板书:开平方,得) , x+

b b2 -4ac (边讲边板 =? 2a 4a 2

书: x+

b b2 -4ac b2 -4ac ) ,这个二次根式还可以化简,化简结果是 (边讲边将上面 =? 2a 2a 4a 2
b2 -4ac ). 2a
b -b ? b2 -4ac 移到方程右边去,可以解出 x, x= (边讲边板书: 2a 2a

的二次根式改写成

师: (指准方程)把

x=

-b ? b2 -4ac ).[来源:学+科+网] 2a

师: x1 =

-b+ b2 -4ac -b- b2 -4ac (边讲边板书) , x2 = (边讲边板书). 2a 2a

师: (指准板书) 这个方程解完了, 通过解这个方程我们得出, 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x=
-b ? b2 -4ac (在这个式子外加框). 2a

师: (指 ax2+bx+c=0)忙乎了半天,有的同学可能会问:这个方程尽是字 母,很难解, 解它有什么用?是啊,大家想一想,解这个方程有什么用啊?(让生思考一会儿,再叫学 生) 生:??(让几名同学发表看法) 师:以前我们解一元二次方程用的是配方法,要一步一步来解,过程比较麻烦.现在好 了,通过解这个方程, (指准求根公式)有了这个式子,只需要把二次项系数 a、一次项系 数 b、常数项 c 代入这个式子,就可以求出根.因为利用这个式子可直接求根,所以我们把 这个式子叫做一元二次方程的求根公式(板书:求根公式). 师: (指求根公式)求根公式挺复杂,大家把求根公式写一写,记一记,熟悉熟悉.(生 熟悉公式) 师:下面我们利用求根公式来解几个一元二次方程.[来源:Z+xx+k.Com] (师出示例题) 例 利用求根公式解下列方程: (1 )x2-4x-7=0; (2)5x2-3x=x+1;

(3)2x2-2 2 x+1=0;

(4)x2+17=8x.

师: (指(1)题)怎么利用求根公式解这个一元二次方程?(板书:解:(1)) 师: (指(1)题)首先要找出这个方程的二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c,这个 方程的 a,b,c 等于什么? 生:a=1,b=-4,c=-7(生答师板书:a=1,b=-4,c=-7). 师:找出了 a,b,c,接下来干什么?接下来要计算 b2-4ac 的值(板书:b2-4ac=). 2 b -4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44(边讲边板书:(-4)2-4×1×(-7)=44) 师:大家可能觉得有点奇怪,找出了 a,b,c,为什么不把 a,b,c 直接代入求根公 式,而是先计算 b2-4ac 的值?(稍停后指准求根公式 )大家看求根公式,公式中这个二次 根式的被开方数是 b2-4ac, 可见 b2-4ac 必须大于等于 0.计算 b2-4ac 的目的是什么?目的是 看一看 b2-4ac 的值是大于等于 0 还是小于 0.如果 b2-4ac 的值大于等于 0, 下一步才把 a, b, c 代入求根公式;如果 b2-4ac 的值小于 0,这个二次根式没有意义,说明方程没有实数根. 2 总之,要根据 b -4ac 值的符号来决定下一步怎么做,所以不能直接把 a,b,c 代入求根公 式,先要求 b2-4ac 的值. 师: (指准板书)这个方程的 b2-4ac 等于 44,大于 0(边讲边板书:>0) ,所以下一 步可以把 a,b,c 代入求根公式. 师: x=
-b ? b2 -4ac -(-4)? 44 4 ? 2 11 (边讲边板书). = = 2a 2 ?1 2

师: x1 =2+ 11 , x1 =2- 11 (边讲边板书). (以下师边讲解边板书其它各题,解题过程如下) (2)整理,得 5x2-4x-1=0. a=5,b=-4,c=-1, b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0.
x= -b ? b2 -4ac -(-4)? 36 4 ? 6 , = = 2a 2?5 10
4+6 4-6 1 =1 , x1 = =- . 10 10 5

x1 =

(3)a=2,b=-2 2 ,c=1, b2-4ac=(-2 2 )2-4×2×1=0.
x= -b ? b2 -4ac -(-2 2)? 0 2 2 ? 0 = = , 2a 2? 2 4
2 . 2

x1 =x 2 =

(4)整理,得 x2-8x+17=0. a=1,b=-8,c=17, b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0. 方程没有实数根. (二)试探练习,回 授调节

1.完成下面的解题过程: 利用求根公式解方程:x2+x-6=0. 解:a= ,b= ,c= 2 b -4ac=
x=

. =

>0.

-b ? b2 -4ac =___________________=_________ , 2a

x1 =_________ , x1 =__________ .
2.利用求根公式解下列方程: 1 (1) x 2 - 3x- =0 ; 4 (2) 4x2 +4 5x+5=0 ; (3)3x2-4x+2=0; (三)归纳小结,布置作业 师: 本节课我们学习了利用求根公式解一元二次方程, 利用求根公式解一元二次方程, 这种方法叫公式法(板书课题:22.2.2 公式法). 师:和配方法相比,用公式法解一元二次方程要简单得多,不过我们还要看到,公式 法所用的求根公式是用配方法推导出来的,所以我们说,公式法更简单,配方法更基本. (作业:P42 习题 5(1)(2)(5)(6)) 四、板书设计(略) 22.2.2 公式法 ax2+bx+c=0(a≠0) 例 移项,得?? 二次项系数化为 1,得?? 配方?? ?? 开平方,得?? x1=??x2=?? 课后反思:学生对数学学习缺乏兴趣、自信心和学习动力;在数学课堂上不积极参与, 缺少主动发言的热情或根本不愿意发言。

课题:22.2.2 公式法(第 5 课时)
一、教学目标 1.会较熟练地用公式法解一元二次方程. 2.知道什么是判别式,会根据判别式的值确定解的情况. 二、教学 重点和难点 1.重点:根据判别式的值确定解的情况. 2.难点:根据判别式的值确定解的情况. 三、教学过程 (一)基本训练,巩固旧知 1.完成下面的解题过程: 用公式法解下列方程: (1)2x2-3x-2=0. 解:a= ,b= ,c= .

b2-4ac=
x=

=

>0.

-b ? b2 -4ac =___________________=_________ , 2a

x1 =_________ , x1 =__________ .
(2)x(2x- 6 )= 6 x-3. 解:整理,得 a= ,b= 2 b -4ac=
x=

. ,c= = . .

-b ? b2 -4ac =__________________=_________ , 2a

x1 =x2 =_________ .
(3)(x-2)2=x-3. 解:整理,得 . a= ,b= ,c= . 2 b -4ac= = <0. 方程 实数根. (二)尝试指导,讲授新课 (师出示下面的板书) 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (1)当 b2-4ac 时,方程有两个不相等的实数根; 2 (2)当 b -4ac 时,方程有两个相等的实数根; 2 (3)当 b -4ac 时,方程 没有实数根. 师:刚才我们解了个一元二次方程,我们是怎么解方程的?(稍停) 师: (指准板书)首先我们把方程化成一元二次方程的一般形式,也就是 ax2+bx+c=0 这样的形式. 师:然后计算 b2-4ac 的值, (指准板书)当 b2-4ac 的值怎么样时,方程有两个不相等 的实数根? 生:当 b2-4ac>0 时(多让几名同学回答,然后师填入:>0). 师: (指准板书)当 b2-4ac 的值怎么样时,方程有两个相等的实数根? 生:当 b2-4ac=0 时(多让几名同学回答,然后师填入:=0). 师: (指准板书)当 b2-4ac 的值怎么样时,方程没有实数根? 生:当 b2-4ac<0 时(生答师填入:<0). 师: (指板书)通过解一元二次方程,我们得到了这个的结论,请大家一起来把这个结 论读两遍.(生读) 师: (指板书)这是一个很重要的结论,这个结论告诉我们,一元二次方程根的情况由 2 式子 b -4ac 决定,所以我们把式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式(板书:b2-4ac 叫 做根的判别式) ,记作△(板书:记作△). 师:下面我们就利用这个结论来做一个题目. (师出示下面的例题) 例 利用判别式判断下列方程的根的情况: (1)2x2+3x-4=0;

(2)4y2+9=12y; (3)5(x2+1)-7x=0. (师边讲解边板书,解题过程如下) 解:(1)a=2,b=3,c=-4. △=b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32>0, 方程有两个不相等的实数根. (2)整理,得 4y2-12y+9=0 a=4,b=-12,c=9. △=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=144-144=0, 方程有两个相等的实数根. (3)整理,得 5x2-7x+5=0 a=5,b=-7,c=5.[来源:学。科。网 Z。X。X。K] △=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=49-100<0, 方程没有实数根. (三)试探练习,回授调节 2.利用判别式判断下列方程的根的情况: (1)x2-5x=-7; (2)(x-1)(2x+3)=x; (3)x2+5=2 5 x. (四)归纳小结,布置作业 师:本节课我们学习了什么?(稍停)我们学习了利用判别式判断方程根的情况.请大 家再把这个结论读一遍.(生读) (作业:P42 习题 4.5(3)(4)) 四、板书设计(略) 课后反思:学生对数学学习缺乏兴趣、自信心和学习动力;在数学课堂上不积极参与, 一元二次方程 ax2+bx+c=0 例 2 (1)当 b -4ac>0 时?? (2)当 b2-4ac=0 时?? (3)当 b2-4ac<0 时?? 缺少主动发言的热情或根本不愿意发言

课题:21.2.3 因式分解法(第 6 课时)
一、教学目标 1.会用因式分解法解一元二次方程,领会因式分解法的实质是降次. 2.培养式的变形能力,发展符号感. 二、教学重点和难点 1.重点:用因式分解法解一元二次方程. 2.难点:式的变形. 三、教学过程[来源:学科网 ZXXK] (一)基本训练,巩固旧知 1.完成下面的解题过程: 用公式法解方程:2x(x-1)+6=2(0.5x+3) 解:整理,得 . a= ,b= ,c= . 2 b -4ac= = >0.

x=__________________=______ ,
x1 =_________ , x2 =__________ .
(二)尝试指导,讲授新课 师: 刚才我们解了一个方程, 我们是怎么解的? (稍停) 我们先整理得到了方程 2x2-3x=0 (边讲边板书:2x2-3x=0) ,然后用公式法求出两个根. 2 师: (指 2x -3x=0) 除了用公式法, 大家想一想, 还有别的更简单的方法解这个方程吗? (让生思考一会儿) 师: (指 2x2-3x=0)我们把这个方程的左边分解因式(板书:因式分解,得) , 得到 x(2x-3)=0(边讲边板书:x(2x-3)=0). 师: (指准 x(2x-3)=0)x 乘以 2x-3 等于 0,这说明什么? 生:??(多让几名同学发表看法) 师: (指准 x(2x-3)=0)x 乘以 2x-3 等于 0,说明 x=0 或者 2x-3=0(板书:于是得 x=0 或 2x-3=0). 师: (指准板书)这样我们通过因式分解把一元二次方程转化成了两个一元一次方程. 3 接下来解这两个一元一次方程,由 x=0 得到 x1=0(板书:x1=0) ,由 2x-3=0,得到 x 2 = (板 2 3 书: x 2 = ). 2 师: (指板书)用这种方法解出的结果与用公式法解出的结果是一样的,但显然用这种 方法解更简单.大家再看一看,用这种方法解方程,哪一步是关键? 生:因式分解.(多让几名同学回答) 师:因式分解是这种方法的关键,那么这种方法应该叫做什么法? 生: (齐答)因式分解法.(师板书课题:22.2.3 因式分解法) 师: 通过因式分解来解一元二次方程, 这种方法叫做因式分解法.下面我们用因式分解 法再来解几个一元二次方程. (师出示例题) 例 用因式分解法解下列方程: (1)x(x-2)+x-2=0; 1 3 (2)5x2-2x- =x2-2x+ ; 4 4 (3)(2y+3)2=( y-1)2. (师边讲解边板书,(1)(2)题解题过程如课本第 39 页所示,(3)题解题过程如下) (3)移项,得 (2y+3)2-(y-1)2=0. 因式分解,得(3y+2)(y+4)=0. 于是得 3y+2=0 或 y+4=0, 2 y1 =- ,y2=-4. 3 师:我们用因式分解法做了几个题,通过做题,哪位同学会归纳用因式分解法解一元 二次方程的步骤?(让生思考一会儿再叫学生) 生:??(让两名学生归纳) 师: (指准例(3)题)用因式分解法解一元二次方程,先把方程右边移到左边,再把左 边分解因式,化为两个一次式的乘积等于 0 的形式,然后得到两个一元一次方程,最后分 别解这两个一元一次方程,得到两个根. 师:按这样的步骤,下面同学们自己做几个练习.

(三)试探练习,回授调 节 2.完成下面的解题过程: 用因式分解法解方程:x2=2 3 x. 解:移项,得 . 因式分解,得 . 于是得 或 , x1= ,x2= . 3.用因式分解法解下列方程: (1)x2+x=0; (2)4x2-121=0; (3)3x(2x+1)=4x+2; (4)(x-4)2=(5-2x)2. (四)归纳小结,布置作业 师:本节课我们学习了用因式分解法解一元二次方程,因式分解法是一种比较简单的 解方程的方法,它是通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程,从而达到降次的 目的(边讲边板书:降次).解一元二次方程的基本思路是什么?(稍停)基本思路是降次. 配方法是通过配方来降次, 因式分解法是通过因式分解来降次.降次是解一元二次方程的基 本思路,这一点还希望同学们能好好理解,好好体会. (作业:P43 习题 6) 22.2.3 因式分解法 2x -3x=0 因式分解,得 x(2x-3)=0 于是得 x=0 或 2x-3=0, x1=0,x2=
3 2
2



四、板书设计(略) 课后反思:相当一部分学生在听新课时跟不上老师的节奏或不能理解教师相对较快的指 示语。

课题:21.2.3 因式分解法(第 7 课时)
一、教学目标 1.通过基本训练,复习巩固解一元二次方程的四种方法(直接开平方法、配方法、公式 法、因式分解法). 2.会选择适当的方法解一元二次方程. 二、教学重点和难点 1.重点:复习巩固四种方法. 2.难点:选择适当的方法解一元二次方程. 三、教学过程 (一)基本训练,巩固旧知 1.填空:解一元二次方程的方法有四种,它们是直接开平方法、 、 、 . 2.完成下面的解题过程: (1)用直接开平方法解方程:2 (x-3)2-6=0; 解:原方程化成 .

开平方,得 x1= ,x2= . (2)用配方法解方程:3x2-x-4=0; 解:移项,得 二次项系数化为 1,得 配方 .



. . ,

开平方,得 , x1= ,x2= . (3)用公式法解方程:x(2x-4)=2.5-8x. 解:整理,得 . a= ,b= ,c= . b2-4ac= =
x=

>0.

-b ? b2 -4ac =__________________=_________ , 2a

x1= ,x2= .[来源:学#科#网 Z#X#X#K] (4)用因式分解法解方程:x(x+2)=3x+6. 解:移项,得 . 因式分解,得 . 于是得 或 , x1= ,x2= . (二)尝试指导,讲授新课 (师出示下表) 因 直 配 公 式分 接开平 解 方法 式法 方法 法 过 简 复 较 简 程 单 杂 简单 单 适 某 所 所 某 用 些 有 有 些 师:前面我们学习了解一元二次方程的四种方法,哪四种方法?(指准表)直接开平 方法、配方法、公式法、因式分解法.这四种方法各有各的特点,这个表反映了它们各自的 特点. 师: (指准表格)直接开平方法解方程的过程简单,但这种方法只能用于解某些一元二 次方程.譬如,3x2-5=0,2(x+1)2=7(边讲边板书) ,这样的方程可以用直接开平方法来解. 师: (指准表格)配方法解方程过程最复杂,但这种方法适用于所有的一元二次方程, 也就是说,任何一元二次方程都可以用配方法来解. 师: (指准表格)公式法解方程的过程比较简单,而且这种方法适用于所有的一元二次 方程. 师: (指准表格)因式分解法解方程的过程简单,但这种方法和直接开平方法一 样只 能用于解某些一元二次方程.譬如,x2+6x=0,x2=(2x+1)2(边讲边板书方程) ,这样的方程可 以用因式分解法来解. 师:知道了四种方法各自的特点,下面我们来看一道例题. (师出示例题)

例 指出下列方程用哪种方法来解比较适当: (1)3x(x+2)=5(x+2); (2)x2+3x-6=0; (3)2(x-4)2-5=0. 师: 解一元二次方程有四种方法, 现在要你指出这几个方程用哪种方法来解比较适当, 请大家自己先考虑考虑.(让生思考一会儿) 师:谁来说说你的想法? 生:??(多让几名同学发表看法,最好要说出理由) 师: (指准表格)在四种方法中,用直接开平方法、因式分解法解方程最简单,所以先 要看能不能用这两种方法来解.如果不能用直接开平方法来解,也不能用因式分解法来解, 就要用公式法来解.因为公式法能解所有的一元二次方程,它是“万能”的,而且比较简单. 师:根据这样的思路,我们来看这道例题. 师: (指例(1)题)这个方程能用直接开平方法解吗?(稍停)不能.能用因式分解法解 吗?(稍停)能(板书:解:(1)因式分解法). 师: (指例(2)题)这个方程能用直接开平方法解吗?(稍停)不能.能用因式分解法解 吗?(稍停)不能.所以要用公式法解(板书:(2)公式法). 师: (指例( 3)题)这个方程用什么方法解合适? 生: (齐答)直接开平方法(生答师板书:(3)直接开平方法). 师:这个例题做完了,做完了例题有的同学可能会提出一个问题,什么时候用配方法 解方程?(稍停)老师要告诉大家,因为用配方法解方程最复杂,所以我们一般不用配方 法解方程. 师:有的同学可能会接着问:既然不用配方法解方程,为什么要学配方法?(稍停) 在四种方法中,公式法最有用,什么方程都可以用公式法来解,而且比较简单,但求根公 式是怎么推导出来的? (稍停) 求根公式是用配方法推导出来的, 不学配方法哪有公式法? 所以我们说,公式法最有用,配方法最基本,而直接开平方法、因式分解法最简单,但这 两种方法只适用于某些特殊的一元二次方程. (三)试探练习,回授调节 2.指出下列方程用哪种方法来解比较适当: (1)(2x+3)2=-2x; (2)(2x+3)2=4(2x+3); (3)(2x+3)2=6. (四)归纳小结,布置作业 师:本节课我们复习了解一元二次方程的四种方法,这四种方法各有各的特点,但它 们的基本思路是相同的.相同的思路是什么?(稍停)相同的思路是把一元二次方程化为一 元一次方程,也就是降次(板书:降次).不管用什么方 法,降次是解一元二次方程的基本 思路. 课外补充作业: 3.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适, 然后再按这种方法解: [来源:学.科.网] 2 (1)(2x-3) =25; (2)(2x-3)2=5(2x-3); (3)(2x-3)=x(3x-2). 4.用配方法解方程:x2+2x-1=0. 四、板书设计 表 格 例 3x2-5=0 2(x+1)2=7 x2+6x=0 x2=(2x+1)2

课后反思:相当一部分学生在听新课时跟不上老师的节奏或不能理解教师相对较快的指 示语。学生对数学课堂知识的掌握不实在、理解不全面,课外花的冤枉时间多;而大部分学 生对书本知识不够重视,找不到数学学科复习的有效载体,不能有效的利用课本,适时地回 归课本,数学复习缺乏系统性,数学学习缺乏主动性。



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