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教师版第一章第三讲方程理论



广东北江中学高一数学校本教材

教师版第一章第 3 节

一元二次方程(3 课时)

3.1 根的判别式
我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变 形为 b b 2 ? 4ac ( x ? )2 ? . ① 2a 4a 2 因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不 相等的实数根

?b ? b2 ? 4ac x1,2= ; 2a (2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数
根 x1=x2=-
b ; 2a b 2 ) 2a

(3) 当 b2-4ac<0 时, 方程①的右端是一个负数, 而方程①的左边 ( x ?

一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定, 我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式, 通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根

?b ? b2 ? 4ac ; 2a (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 b x1=x2=- ; 2a (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 题 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实 数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 解: (1)∵Δ=32-4× 1× 3=-3<0,∴方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式 Δ=a2-4× 1× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有 两个不等的实数根
x1,2=

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? . 2 2 (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4× 1× (a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以, x1 ?
1

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①当 a=2 时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4× 1× a=4-4a=4(1-a), 所以 ①当 Δ>0,即 4(1-a) >0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根 x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a ; ②当 Δ=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ<0,即 a>1 时,方程没有实数根. 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而 变化,于是,在解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类 讨论. 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题 中会经常地运用这一方法来解决问题. 题 2.如果关于 x 的方程 mx2 ? 2?m ? 2?x ? m ? 5 ? 0 没有实数根,试判断关于 x 的方程 ?m ? 5?x 2 ? 2?m ? 1?x ? m ? 0 的根的情况. 解:∵ 方程 mx2 ? 2?m ? 2?x ? m ? 5 ? 0 没有实数根, ∴ ? ? [?2(m ? 2)]2 ? 4m(m ? 5) ? 4(m 2 ? 4m ? 4 ? m 2 ? 5m) ? 4(4 ? m) ? 0. ∴ m?4 对于方程 ?m ? 5?x 2 ? 2?m ? 1?x ? m ? 0 . 当 m=5 时,方程有一个实数根; 当 m≠5 时, ?1 ? [?2(m ? 1)]2 ? 4m(m ? 5) ? 4(3m ? 1) . ∵ m?4 ∴ 3m ? 1 ? 13 .

∴ ?1 ? 4(3m ? 1) ? 0 ,方程有两个不相等的实数根. 综上,当 m=5 时,方程 ?m ? 5?x 2 ? 2?m ? 1?x ? m ? 0 有一个实数根; 当 m ? 4 且 m≠5 时,此方程有两个不相等的实数根.

2

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题 3. 已知 b ? ac ,求证:
2

关于 x 的一元二次方程 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2b(a ? c) x ? b 2 ? c 2 ? 0 有两个相等实数根. 证明:∵ ? ? ? ? ?2b ? a ? c ?? ? ?4 a ?b
2 2

?

2

??b

2

? c 2 ? 且 b 2 ? ac
2

∴ ? ? 4b
2

2

?a ? c?

2

? 4 ? ac ? a 2 ?? ac ? c 2 ? ? 4b 2 ? a ? c ? ? 4a ? a ? c ? ? c ? a ? c ?
2

? 4ac ? a ? c ? ? 4ac ? a ? c ? ? 0

∴原方程有两个相等实数根.

练习: 1 一元二次方程 2kx2+(8k+1)x+8k=0 有两个实数根,确定 k 的取值范围.

? k ?0 k ?0 ? 1 ? ? 解:由题意得:? 解得 ? 2 1 ,即 k ? ? 且k ? 0 , 16 k?? ? ? ?? ? (8k ?1) ? 4 ? 2k ? 8k ? 0 16 ?
所以当 k ? ?

1 且k ? 0 原方程有两个实数根. 16

2.求证:如果关于 x 的方程

没有实数根,那么,关于 y 的方程

一定有两个不相等的实数根. 分析:由已知,可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 方程 设方程 即 的根的判别式为 ,则 的根的判别式为 ,

∵方程 ,即 当 时, ,即 故方程

无实数根, ,解得:

. 有两个不相等的实数根.
3

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3. 已知关于 x 的一元二次方程 求证:(1)方程

有两个相等的实数根. 有两个不相等的实数根;

(2) 设方程

的两个实数根为

, 若

, 则

.

分析:运用根的判别式证之. 证明 ∵方程 有两个相等的实数根,

整理,得 (1)方程

. 的判别式

.

∴方程 (2)解方程

有两个不相等的实数根. ,得

说明:对于(2),也可以利用下节的根与系数关系证明.
4

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4 证明 : 不论 a , b , c 为任何实数 , 关于 x 的方程 x 2 ? (a ? b) x ? (ab ? c 2 ) ? 0 都有实数根.
2 2 2 2 证明:∵ ? ? ? ?? ? a ? b ?? ? ? 4 ?1? ?? ab ? c ? ? a ? b ? 2ab ? 4ab ? 4c 2

?

?

??

? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 4c 2 ? ? a ? b ? ? 4c 2 ? 0
2

∴不论 a , b , c 为任何实数,原方程都有实数根.

3.2 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

x1 ?
则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2? 4ac b 2 ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2 2a 2a 4a 4a a 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: x1 ? x2 ?
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?
b ,x1· x2 a

c = .这一关系也被称为韦达定理. a 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其 两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 2 所以,方程 x +px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一 2 元二次方程 x +px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x +x1· x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0.

题 1 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再 由方程解出另一个根. 但由于我们学习了韦达定理, 又可以利用韦达定理来解题, 即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项, 于是可以利用两根之 积求出方程的另一个根,再由两根之和求出 k 的值. 解法一:∵2 是方程的一个根, ∴5× 22+k× 2-6=0, ∴k=-7.
2

5

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3 所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- . 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5 6 3 解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=- ,∴x1=- . 5 5 3 k 由 (- )+2=- ,得 k=-7. 5 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5

题2 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值. 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到 关于 m 的方程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的 方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1· x2=m2+4. 2 2 ∵x1 +x2 -x1· x2=21, 2 ∴(x1+x2) -3 x1· x2=21, 2 即 [-2(m-2)] -3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4× 1× 293<0,不合题意, 舍去. 综上,m=17. 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对 应的 m 的范围, 然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值, 取满足条件的 m 的值即可. (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的 判别式 Δ 是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实 数根.
题 3 已知: 关于 x 的方程 ?a ? 2?x 2 ? 2ax ? a ? 0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2 , 并且抛物 线 y ? x ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁。
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)当 x1 ? x2 ? 2 2 时,求 a 的值。
(1)解法一:∵关于 x 的方程

?a ? 2?x2 ? 2ax ? a ? 0 有两个不相等的实数根

?a ? 2 ? 0 ?? 2 ?? ? ( ?2a ) ? 4a (a ? 2) ? 0
6

广东北江中学高一数学校本教材 解得: a

? 0,且 a ? ?2

? 1 ? ………………1 分
x 轴的两个交点的坐标分别为

设抛物线 y

? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与

??,0? 、 ??,0? ,且

? ??
∴α 、β 是关于 x 的方程 x
2

2

? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 ? 0 的两个不相等的实数根
2

? ? ' ? ???2a ? 1?? ? 4 ? 1 ? ?2a ? 5? ? ?2a ? 1? ? 20 ? 0
∴a 为任意实数 <2> 由根与系数关系得: ? ∵抛物线 y

? ? ? 2a ? 1,?? ? 2a ? 5

? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁

? ? ? 2 ,? ? 2 ? ?? ? 2??? ? 2? ? 0 ? ?? ? 2?? ? ? ? ? 4 ? 0 ? 2a ? 5 ? 2?2a ? 1? ? 4 ? 0 3 ? 3 ? ………………2 分 解得: a ? ? 2 3 由<1>、<2>、<3>得 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 ………………3 分 2 ? 1 ? ………………1 分 解法二:同解法一,得: a ? 0,且 a ? ?2
∵抛物线 y 口向上 ∴当 x

? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)两旁,且抛物线的开

? 2 时, y ? 0

? 4 ? 2?2a ? 1? ? 2a ? 5 ? 0
解得: a

??

3 2

? 2 ? ………………2 分 3 ? a ? 0 ………………3 分 2

由<1>、<2>得 a 的取值范围是 ?

(2)解:∵ x1 和 x2 是关于 x 的方程

?a ? 2?x 2 ? 2ax ? a ? 0 的两个不相等的实数根

? x1 ? x 2 ? ??

2a a ,x1 x 2 ? a?2 a?2

3 ?a?0 2 ?a ? 2 ? 0
? x1 x 2 ? a ? 0 ………………4 分 a?2
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