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高三一轮复习 第15讲 导数 学案



云南衡水实验学校补习班学案

NO:15

编制:刘帅材

审核:

王恺明

使用时间:2015. 8.

班级:

学号:

姓名:

教师评价:

[高频考点]

r />学案 15
[考纲要求]

导数的应用(二)
考点一 函数单调性的进一步讨论 已知实数 a>0,函数 f(x)=a(x-2)2+2lnx. (1)当 a=1 时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在区间[1,4]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多 项式函数不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项 式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). [知识梳理] 1.当 f′(x)在某个区间内个别点处为零,在其余点处均为正(或负)时,f(x)在这个区间上仍旧是单调递 增(或递减)的,例如:在(-∞,+∞)上,f(x)=x3,当 x=0 时,f′(x)=_________,当 x≠0 时,f′(x)> 0,而 f(x)=x3 显然在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 2.可导函数求最值的方法 f′(x)=0?x=x1,x2,…,xn,x∈[a,b]. 直接比较 f(a),f(b),f(x1),…,f(xn),找出__________和____________即可.在此基础上还应注意: (1)结合____________可减少比较次数. (2)含参数的函数求最值可用: ①按____________分类; ②按____________分类. 3.实际问题中的导数,常见的有以下几种情形: (1)加速度是速度关于________的导数; (2)线密度是质量关于________的导数; (3)功率是功关于________的导数; (4)瞬时电流是电荷量关于________的导数; (5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数; (6)边际成本是成本关于________的导数. 4.N 型曲线与直线 y=k 的位置关系问题

考点二

极值与最值的进一步讨论

福建)已知函数 f(x)=x-alnx(a∈R). (2013· (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

考点三 如图,方程 f(x)=0 有三个根 x1,x2,x3 时,极大值 f(a)>0 且极小值 f(b)<0. 曲线 y=f(x)与直线 y=k(k 是常数)有一个交点时,见图中的直线①或直线②,极大值 f(a)______k 或 极小值 f(b)______k; 曲线 y=f(x)与直线 y=k(k 是常数)有两个交点时,见图中的直线③或直线④,极大值 f(a)______k 或 极小值 f(b)______k; 曲线 y=f(x)与直线 y=k(k 是常数)有三个交点时,见图中的直线⑤. 以上这些问题,常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目. 自查自纠: 1.0 2.最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点 3.(1)时间 (2)长度 (3)时间 (4)时间(5)时间 (6)产量 4.< > = =
努力可能不成功,但不努力一定失败。

方程根的讨论

已知函数 f(x)=ex,x∈R. (1)求 f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; (2)证明:曲线 y=f(x)与直线 y=ex 有唯一公共点.

既然选择了前方,便只顾风雨兼程

云南衡水实验学校补习班学案

NO:15

编制:刘帅材

审核:

王恺明

使用时间:2015. 8.

班级:

学号:

姓名:

教师评价:

考点四

导数法证明不等式

围是(

已知函数 f(x)=ex,当 x∈[0,1]时,求证: (1)f(x)≥1+x; (2)(1-x)f(x)≤1+x.

) 3 A. [1, ) 2

3 B. ( ,?? ) 2

1 C. [0, ) 2

1 D. ( ,?? ) 2

6.(2014·湖南)若 0<x1<x2<1,则( ) A.ex2-ex1>lnx2-lnx1 B.ex2-ex1<lnx2-lnx1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2 7.已知函数 f(x)=mx2+lnx-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为____________. 8.定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)满足 f′(x)>1,且 f(2)=3,则关于 x 的不等式 f(x)<x+1 的解集为_____________. a(x-1) ,a∈R. x+1 (1)若 x=2 是函数 f(x)的极值点,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求 a 的取值范围. 9.已知函数 f(x)=lnx-

1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数,然后用导数证明. 2.求参数范围问题的常用方法:(1)分离变量;(2)运用最值. 3.方程根的问题:可化为研究相应函数的图象,而图象又归结为极值点和单调区间的讨论. 4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数,转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而 证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. 5 10.已知函数 f(x)=x3+2x2+ax+b(a,b 为常数),其图象是曲线 C.
1 D. (0, ) 2

4 1.函数 f(x)=3x3-x2 的单调减区间是(
1 A. ( ,?? ) 2

)

1 B.(-∞,0) C.(-∞,0), ( ,?? ) 2

(1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调递减区间; (2)设函数 f(x)的导函数为 f′(x),若存在唯一的实数 x0,使得 f(x0)=x0 与 f′(x0)=0 同时成立,求实数 b 的取值范围. )

1 2.函数 f(x)=x(1-x)n 的部分图象如图所示,f(x)在 x=3处取极值,则 n 的值为(

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a,b 的值为( ) A.a=3,b=-3,或 a=-4,b=11 B.a=-4,b=1,或 a=-4,b=11 C.a=-1,b=5 D.以上都不正确 4.(2014·河北模拟)若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( 1 A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D. (0, ) 2 )

5.若函数 f(x)=2x2-lnx 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范
努力可能不成功,但不努力一定失败。

课堂小结与学情分析:
既然选择了前方,便只顾风雨兼程



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