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求函数的解析式



求函数的解析式
知识目标:掌握求函数解析式的几种方法 技能目标:能根据不同的类型,方法解决不同问题 情感目标:培养学生观察问题、解决问题的能力 重难点:掌握求函数解析式的几种方法 一、 直接代入法 例 1、若函数 f ( x)=x2 +3x ? 5, 则f ( x+2)= ______ 解: f ( x+2) = (x+2)2 +3(x+2) ? 5

/>? x 2 ? 7 x ? 15
二、待定系数法 例 2、 (1) f ( x ) 是一次函数,如果 f ? f ( x)? ? 2x ?1, 求 f ( x ) 得解析式 解:

f ( x)是一次函数,设 f ( x) = kx ? b(k ? 0)

? f ? f ( x)? ? k ? f ( x)? ? b ? k (kx ? b) ? b ? k2 x ? kb ? b ? 2x ?1
?k 2 ? 2 ?? ? kb ? b ? ?1

? ? ?k ? 2 , ?k ? ? 2 , ?? 或? ? 2 ? ?b ? 1 ? 2 ? ?b ? 1

? f ( x) ? 2x ? 1 ? 2或f ( x) ? ? 2x ?1 ? 2
(2)若 f ( x ) 是二次函数,且 f (0) =0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,求 f ( x ) 解:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

f (0) =0, ? c=0


f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1

? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? a x2 ? bx ? 1 ? x
整理得: a x ? (2a ? b) x ? (a ? b) ? a x ? (b? 1) x ? 1
2 2

?2a ? b ? b? 1 ? ?a ? b ? 1

? a? ? ? ?? ?b ? ? ?

1 2 1 2

? f ( x) ?

1 2 1 x ? x 2 2

三、 换元法 例 3、已知 f ( x) ? 3x ?1, 求f ( x) , f (1-x)
1 解:○ f ( x ? 1) ? 3x ? 2 =3(x ? 1)-3+2 =3(x ? 1)-1

? f ( x) ? 3x ? 1 (拼凑法)
2 设 x ? 1=t ,则 x =t -1 ○

? f (t) ? 3(t ? 1) ? 2 ? 3t -1

? f ( x) ? 3x ?1
f (1-x) =3( 1-x )-1= -3x +2
四、 消去法 例 4、 (1)已知 f ( x)-2f ( )=3x +2 ,求 f ( x ) 解:

1 x

1 f ( x)-2f ( )=3x +2 x 1 1 ? f ( )-2f ( x)=3 +2 x x
1 ○ 2 ,得 联立○

1 ○

2 (用 ○

1 1 中的 x ) 代替○ x

2 f ( x) = x - -2 x 2 ? 所求的函数为 f ( x)=-x- -2 x 1 (2)已知 f ( x)+2 f (- x)= ,求 f ( x ) 1+x 1 1 解: f ( x)+2f (- x)= ○ 1+x 1 2 f 2x ( ) = ○ ? f ( -x ) + 1-x 2 1 3x ? 2 1 ○ 2 得, 3f ( x )= = 由○ 1-x 1+x 1-x 2 3x ? 2 ? f ( x) ? 1-x 2 1 注:※ 当 x ,- x x , 成对出现时,常用消去法 x
五、 消元法 例 5、已知 f (2 ?1) ? x, 求f ( x)的解析式
x

解?:令 t= 2 ? 1 ,则 2 =t-1
x x

(换元法)

x ? log 2 (t ? 1)

f (t ) ? log2 (t ?1)

f ( x)? l o2 g x ? (

1)

作业: 1、 已知函数 f ( x)=x2 +x+1,求f ( x+1)

2、 已知函数 f ( x ) 为二次函数,且 f (-2)=-7,f (2)=-3 ,求 f ( x )

3、 已知 f ( x ) 是一次函数,且 f ? f ( x)? ? 4x+3, 求 f ( x )

4、 已知 f ( x ) 是一次函数,且 f ?g( x)? ? 6x+3, g( x) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x )

5、 已知函数 f ( x ) 满足 2f ( x)-f (- x)=3x ? 1,求f ( x)

6、 已知 f ( x+2)=6x ? 2,求f ( x),f (3.5)

7、 已知 f ( x+1)=2x 2 -1,求 f (1-x) 的解析式

8、 已知 f ( )=

1 x

1 ,则 f (2) =( x +1



9、 如果 f ( )=

1 x

x ,求 f ( x ) 的解析式 1-x 2



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