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河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(四)



河北定州中学 2015—2016 学年度第二学期数学周练(四)
评卷人 得分 一、选择题:共 12 题 每题 5 分 共 60 分

1 .抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 2 x ? y ? a ? 0 交于 A, B 两点,其中 A(1, 2) ,设抛物线焦点为 F ,则

| FA | ? | FB |的值为(

>A. 3 5 B. 5

) C.6 D. 7

2.设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F2 的直线交椭圆于 P , Q 两点, a 2 b2


若 ?F1 PQ ? 60? , PF1 ? PQ ,则椭圆的离心率为( A.

3 3

B.

2 3

C.

2 3 3

D.

1 3
)

3.已知圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2a ? 0 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦长为 4,则实数 a 的值是( A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 ).

4.设 ? , ? , ? 为不同的平面, m, n, l 为不同的直线,则 m ? ? 的一个充分条件为( A. ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l B. ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ? 5.已知函数 y ? 法错误的是(

f ?( x) 的图像如图所示(其中 f ?( x) 是定义域为 R 函数 f ( x) 的导函数),则以下说 x


A. f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 B.当 x ? ?1 时, 函数 f ( x) 取得极大值

1

C.方程 xf '( x) ? 0 与 f ( x) ? 0 均有三个实数根 D.当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极小值 6.下列命题错误的是( ) A . “ 若 x ? a 且 x ? b , 则 x2 ? (a ? b) x ? ab ? 0 ” 的 否 命 题 是 “ 若 x ? a 或 x ? b , 则

x2 ? (a ? b) x ? ab ? 0 ”
B.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 C.命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是“ ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 ” D.“ x ? 2 ”是“

1 1 ? ”的充分不必要条件 x 2


7. f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是( A. ? 2 B.0 C.2 D.4

8.已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 的倾斜角为 A. 1 B.﹣1 C.2

3 ? ,则该直线的纵截距等于( 4
D.﹣2



9.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1、F2 是一对 相关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心 率是( ) A. 3 B. 2 B.

2 3 3

D. 2

10.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆 心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 A. ?

4 3

B. ?

5 3

C. ?

3 5

D. ?

5 4

11.已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点, | AF | ? | BF | =3 ,则线段 AB 的中 点到 y 轴的距离为 A.

3 4

B.1

C.

5 4

D.

7 4

12.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则 A.若 m // ? , n // ? ,则 m // n

2

B.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? C.若 m // n , n ? ? ,则 m ? ? D.若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ?

评卷人

得分 二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分

13.给出下列命题: ①函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? ax ? a 既有极大值又有极小值,则 a ? 0或a ? 3 ; ②若 f ( x) ? ( x 2 ? 8)e x ,则 f ( x) 的单调递减区间为 (?4,2) ; ③ 过 点 A( a, a ) 可 作 圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? a2 ? 2a ? 3 ? 0 的 两 条 切 线 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为

a ? ?3或a ? 1 ;
④双曲线

x2 y2 x2 y2 ( a ? 0 , b ? 0 ) e 的离心率为 ,双曲线 ? ? 1 ? ? 1 的离心率为 e 2 ,则 e1 ? e2 1 a2 b2 b2 a2
.

的最小值为 2 2 .其中为真命题的序号是

14.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 225相切,双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

的 一 条 渐 近 线 方 程 是 y ? 3x , 它 的 一 个 焦 点 是 该 抛 物 线 的 焦 点 , 则 双 曲 线 实 轴 长 . . .

15.已知函数 f ( x) ? x3 ? bx( x ? R) 在 ?- 1,1? 上是减函数,则 b 的取值范围是 16.若曲线 y ?

x 2 ? 9 与直线 x ? y ? m ? 0 有一个交点,则实数 m 的取值范围是

评卷人

得分 三、解答题:共 8 题 共 70 分

17.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 在 x ? 2 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行. (Ⅰ)求实数 a 的值;

3

(Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2 x ? x 2 在 [ ,2] 上恰有两个不相等的实数根,求实数 m 的取 值范围 ; (Ⅲ)记函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 2

1 2 x ? bx ,设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 2

b?

3 ,且 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? k 恒成立,求实数 k 的最大值. 2
18.给定椭圆 C :

x2 y 2 2 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,称圆 x ? y ? a ? b 为椭圆 C 的“伴随圆”,已知椭 2 a b


圆 C 的短轴长为 2,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,与其“伴随圆”交于 C , D 两点,当 CD ? 13 时,求△

AOB 面积的最大值.
19.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx( x ? R) , g ( x) ? f ( x) ? 3x ? x 2 ? 3 , t ( x ) ?

c ? ln x x2

(Ⅰ) 若函数 f ( x) 的图象在点 x ? 3 处的切线与直线 24x ? y ? 1 ? 0 平行, 且函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求函数 f ( x) 的解析式,并确定 f ( x) 的单调递减区间;

1 , 2 ? ,都有 x ? t ( x ) ? g ( x ) 成立,试求 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,如果对于任意的 x1 , x2 ? ? 1 1 2 ? ?3 ? ?
实数 c 的取值范围. 20 . 在 如 图 所 示 的 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 已 知 PA ? 平 面 ABCD, AD ∥

BC , ?BAD ? 90? , PA ? AB ? BC ? 1,AD ? 2, E 为 PD 的中点.

(Ⅰ )求证: CE // 面PAB ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 PDC ; (Ⅲ)求直线 EC 与平面 PAC 所成角的余弦值. 21.已知圆 N 经过点 A(3,1) , B(?1,3) ,且它的圆心在直线 3x ? y ? 2 ? 0 上.

4

(Ⅰ)求圆 N 的方程; (Ⅱ)求圆 N 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程。 (Ⅲ)若点 D 为圆 N 上任意一点,且点 C (3,0) ,求线段 CD 的中点 M 的轨迹方程. 22.巳知椭圆 M : 心率. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; ( Ⅱ ) 是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与 M 有两个交点 A 、 B ,且

x2 y 2 x2 y2 的长轴长为 ,且与椭圆 ? ? 1(a ? b ? 0) ? ? 1 有相同的离 4 2 a 2 b2 2 4

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求 | AB | 的取值范围,若不存在,说明理由.
23.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 直线 l 过点 M (4,0) . (Ⅰ)若点 F 到直线 l 的距离为 3 , 求直线 l 的斜率; (Ⅱ)设 A, B 为抛物线上两点, 且 AB 不与 x 轴垂直, 若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M , 求 证: 线段 AB 中点的横坐标为定值. 24.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 ,圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心在第二象限, 半径为 2 . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、 y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程.

5

参考答案 1.D 【解析】 试题分析:把点 A(1,2)代入直线 2x+y+a=0,可得 2+2+a=0,解得 a=-4.把点 A(1,2)代入 抛
2 物线 y ? 2 px 可得 4=2p,解得 p=2.联立直线与抛物线,化为: x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,解得 x=1 或 4,∴

|FA|+|FB|=1+4+2=7. 考点:抛物线的简单性质 2.A 【解析】 试题分析:∵过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,若 ?F1 PQ ? 60? , PF1 ? PQ , ∴直线 PQ 过右焦点 F2 且垂直于 x 轴,即 ?F1 PQ 为等边三角形, ?F 1PF 2 为直角三角形, ∵F 1P ? FQ 1 ? PQ ? 4 ? F 1P ? PF 2 ? 2a ,又 F 1P ? 2PF 2, F 1F 2 ? 2c , F 1P ? 由勾股定理,得 ?

4 2 a, PF2 ? a , 3 3

c 3 2 ?4 ? ?2 ? a ? ? ? a ? ? ? 2c ? ,即 a 2 ? 3c 2 ,∴ e ? ? a 3 ?3 ? ?3 ?

2

2

考点:椭圆的简单性质 3.B 【解析】 试题分析:圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2a ? 0 即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ? 2a
2 2

故弦心距 d ?

?1 ? 1 ? 2 2

? 2 .再由弦长公式可得 2-2a=2+4,∴a=-2

考点:直线与圆的位置关系 4.D 【解析】 试题分析:A.n⊥α ,n⊥β ,∴α ∥β ,又 m⊥α ,∴m⊥β ;∴n⊥α ,n⊥β ,m⊥α 是 m⊥β 的 一个充分条件,∴该选项正确;B.α ∩γ =m,∴m? α ,m? γ ,而β ⊥γ ,β 并不垂直于γ 内所有 直线,∴β 和 m 可能不垂直,即得不出 m⊥β ,∴该选项错误;C.α ⊥γ ,β ⊥γ 得不出α ∥β , ∴由 m⊥α 得不到 m⊥β ,∴该选项错误;D.m 只垂直于β 上一条直线,得不到 m⊥β ,只有 m 垂直 于β 内两相交直线时,才可得到 m⊥β ,∴该选项错误.
6

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断 5.C 【解析】 试题分析:A.由图象可知 x ? 1 或-1 时, f ?1? ? f
' '

? ?1? ? 0 成立.

B.当 x<-1 时,

f ' ? x? f ' ? x? ' ' f x ? 0 ,此时 ,当 -1 < x < 0 时, ? ? ?0 ? 0 ,此时 f ? x ? ? 0 ,故 x x

当 x=-1 时,函数 f(x)取得极大值,成立. C.方程 xf
'
' ? x ? ? 0 等价为 x 2 ? f ? x ? ? 0 ,故 xf ' ? x ? ? 0 有两个,故 C 错误.

x

f ' ? x? f ' ? x? ' ' f x ? 0 D.当 0<x<1 时, ,当 x>1 时, ? 0 ,此时 ? ? ? 0 ,此时 f ? x ? ? 0 ,故当 x x
x=1 时,函数 f(x)取得极小值,成立 考点:利用导数研究函数的单调性;函数的图象;导数的运算 6.B 【解析】 试题分析:若 p ? q 为假命题,则有 p, q 至少有一个为假命题,所以 p, q 均为假 命题是错误的,A 中否命题需将条件和结论分别否定; C 中特称命题的否定为全称命题; D 中由 “x ? 2” 可得 “ 成立,反之不成立,因此是充分不必要条件 考点:命题真假的判定 7.C 【解析】 试 题 分 析 :

1 1 ? ” x 2

? f ' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 3x ? x ? 2?





f ' ? x? ? 0



x ? 0 ? f ? 0? ? 2, f ? ?1? ? ?2, f ?1? ? 0 ,所以最大值为 2
考点:函数导数与最值 8.D 【解析】 试题分析: 由直线方程可知斜率为 ? a ?? a ? tan 于 ?2
7

3 ? ? ?1? a ? 1? x ? y ? 2 ? 0 ?直线的纵截距等 4

考点:直线方程 9.A 【解析】
2 2 ? 试题分析:设 F 1P ? m, F 2 P ? n, F 1F 2 ? 2c ,由余弦定理得 ? 2c ? ? m ? n ? 2mn cos 60 , 2

即 4c 2 ? m2 ? n2 ? mn ,设 a1 是椭圆的长半轴, a2 是双曲线的实半轴,由椭圆及双曲线定义,得

m ? n ? 2a1 , m ? n ? 2 a2 ? m ? a1 ? a2 , n ? a 1 ?a 2 ,将它们及离心率互为倒数关系代入前式得
? c ? 2 2 2 ? ? 3a2 ? 4c ? a1 ? 0 , ,解得 e2 ? 3 a c c a1 ? 3a2 , e1e2 ? ? ? ? 2 ? ? 1 a1 a2 3
考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质 10.A 【解析】
2 试题分析::∵圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,∴整理得:? x ? 4 ? ? y ? 1 ,∴圆 心为 C(4, 2

2

0),半径 r=1.又∵直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有 公共点, ∴点 C 到直线 y=kx+2 的距离小于或等于 2, ∴ k≤0,∴k 的最小值是 ?

4k ?0 ? 2 k ?1
2

? 2 化简得:3k 2 ? 4k ? 0 , 解之得 ?

4 ≤ 3

4 3

考点:直线与圆相交的性质 11.C 【解析】

1 1 ,0)准线方程 x=- ,设 A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? 4 4 1 1 5 5 ∴|AF|+|BF|= x1 ? ? x2 ? ? 3 ,解得 x1 ? x2 ? ∴线段 AB 的中点横坐标为 4 4 2 4 5 ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 4
试题分析::∵F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,F( 考点:抛物线方程及性质 12.C 【解析】
8

试题分析:A 中两直线可能平行,相交或异面;B 中两平面平行或相交;C 中由线面垂直的判定定理 可知结论正确;D 中直线 m ,平面 ? 间的位置关系可以是平行,相交或直线在面内 考点:空间线面平行垂直的判定与性质 13.①②④ 【解析】 试 题 分 析 : : ① ∵ f ( x) ? x3 ? ax2 ? ax ? a , ∴ f
2

'

? x? ? 3x2 ? 2ax ? a

, 若 函 数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? ax ? a 既有极大值又有极小值,?? ? ? 2a ? ? 4 ? 3 ? a ? 0 ,∴a>3 或 a<0,故
①正确,
' 2 x ②若 f ( x) ? ( x 2 ? 8)e x ,则 f ? x ? ? x ? 2 x ? 8 e ,由 f′(x)<0,得 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 .即-4

?

?

<x<2,即 f(x)的单调递减区间为(-4,2);故②正确, ③过点 A(a,a)可作圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? a2 ? 2a ? 3 ? 0 的两条切线,则点 A 在圆的外部,圆的标
2 准方程为 ? x ? a ? ? y ? 3 ? 2a ,可得圆心 P 坐标为(a,0),半径 r ? 3 ? 2a ,且 3-2a>0,即 2

a?

3 ,∵点 A 在圆外,是 AP ? 2

? a ? a ? ? ? a ? 0?
2

2

? r ? 3 ? 2a ,即有 a2 ? 3 ? 2a ,整理得:
3 3 ,可得 a<-3 或 1 ? a ? , 2 2

a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ,即(a+3)(a-1)>0,解得:a<-3 或 a>1,又 a ?
故③错误; ④双曲线

x2 y2 x2 y2 e 的离心率为 ,双曲线 ? ? 1 ? ? 1 的离心率为 e2 , 1 a2 b2 b2 a2



e1 ? e2 ? 1 ?

b2 a2 c c ? 1 ? ? ? ? a2 b2 a b

2 a 2 ? b2 2

?c ? 2 2

,当且仅当 a=b 时取等号.其最小值

为2 2 考点:命题的真假判断与应用 14.12 【解析】 试题分析:抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线方程为 x ? ?

p ,∵抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 2

( x ? 3) 2 ? y 2 ? 225相切,∴ 3 ?

p x2 y2 ? 15 ,∴p=24,∵双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方 2 a b
9

程是 y ? 3x , 它的一个焦点是该抛物线的焦点, ∴ ∴双曲线实轴长为 12 考点:双曲线抛物线的简单性质 15. b ? ?3 【解析】 试题分析: f
'

b ? 3, a 2 ? b 2 ? 144 ∴a=6, b= 6 3 , ∴2a=12, a

? x ? ? 3x2 ? b ? 0 在 x ???1,1? 恒成立? b ? ?3x2

? b ? ?3

考点:函数导数与单调性 16. ?? 3?? ?0,3? ? 3 2,?? 【解析】 试 题 分 析 : x2 ? 9 ? 0 , 曲 线 y ?
2 2 x 2 ? 9 , 可 化 为 x ? y ? 9 ? y ? 0? , x 2 ? 9 ? 0 , 曲 线

?

?

y?

2 2 x 2 ? 9 ,可化为 x ? y ? 9 ? y ? 0? ,图象如图所示,

直线与半圆相切时, m ? 3 2 ,双曲线的渐近线为 y=±x ∴实数 m 的取值范围是 ?? 3?? ?0,3? ? 3 2,?? 考点:曲线与方程 17.(Ⅰ) a ? 1 (Ⅱ) 【解析】 试题分析:(1)求函数的导数,根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数 a 的值;(2)将

?

?

15 5 ? ln 2 ? m ? 2 (Ⅲ) ? 2 ln 2 8 4

?1 ? f ? x? ? m ? 2 x ? x2 在 ? , 2 ? 上恰有两个不相等的实数根,进行转化,利用参数分离法,构造函数 ?2 ?
的导数,利用导数求出函数的极值即可,求实数 m 的取值范围;(3)求函数的导数,根据函数极值 之间的关系即可证明不等式 试题解析:(1) f '( x) ?

1 ?a x

10

∵函数在 x ? 2 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行 ∴k ?

1 1 ? a ? ? ,解得: a ? 1 ; 2 2

(2)由(1)得 f ( x) ? ln x ? x ,∴ f ( x) ? m ? 2 x ? x 2 ,即 x 2 ? 3 x ? ln x ? m ? 0 设 h( x) ? x 2 ? 3 x ? ln x ? m( x ? 0) , 则 h '( x) ? 2 x ? 3 ?

1 2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ? x x x
1 , x 2 ? 1 , 列表得: 2

令 h '( x) ? 0 ,得 x1 ?

∴当 x ? 1 时, h( x) 的极小值为 h(1) ? m ? 2 ,

5 ? ln 2, h(2) ? m ? 2 ? ln 2 4 1 ∵方程 f ( x) ? m ? 2 x ? x 2 在 [ ,2] 上恰有 两个不相等的实数根, 2
又 h( ) ? m ?

1 2

?h( 1 ) ? 0, ?m ? 5 ? ln 2 ? 0, ? 2 ? 4 ? ? 5 ∴ ? h(1) ? 0, 即 ? m ? 2 ? 0, 解得: ? ln 2 ? m ? 2 ; 4 ?h(2) ? 0, ?m ? 2 ? ln 2 ? 0, ? ? ? ?
(3)解法(一) ∵ g ( x) ? ln x ?

1 2 1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 x ? (b ? 1) x ,∴ g '( x) ? ? x ? (b ? 1) ? 2 x x

∴ x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 , ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln

x1 1 2 ? ( x1 ? x2 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) x2 2

? ln

x1 1 x x x 1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 1 x ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) x2 2 x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1

11

? 0 ? x1 ? x2

设t ?

x1 1 1 ,则 0 ? t ? 1 ,令 G (t ) ? ln t ? (t ? ) , 0 ? t ? 1 x2 2 t

则 G '(t ) ? ∵b ?

1 1 1 (t ? 1) 2 ? (1 ? 2 ) ? ? ? 0 ,∴ G (t ) 在 (0,1) 上单调递减; t 2 t 2t 2

3 25 2 ,∴ (b ? 1) ? 2 4
2 2

∵ (b ? 1) ? ( x1 ? x2 ) ? ∴t ?

x12 ? 2 x1 x2 ? x2 2 x x 1 ? 1 ?2? 2 ?t? ?2 x1 x2 x2 x1 t

1 25 1 ?2? ∴ 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0 ∴ 0 ? t ? t 4 4 1 1 15 15 ? 2 ln 2 ∴ k ? ? 2 ln 2 ∴当 t ? 时, G (t ) min ? G ( ) ? 4 4 8 8 15 ? kmax ? ? 2 ln 2 . 8
解法 (二) ∵ g ( x) ? ln x ?

1 2 1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 x ? (b ? 1) x ,∴ g '( x) ? ? x ? (b ? 1) ? 2 x x

∴ x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 , ∴ x2 ?

1 x1

∵b ?

3 2

?x ? 1 ? 5 1 ? x1 2 ? ∴ ? ?0 ? x ? 1 1 ? x1 ?

解得: 0 ? x1 ?

1 2

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln 设 F ( x) ? 2 ln x ? 则 F '( x) ?

x1 1 2 1 1 ? ( x1 ? x2 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2 ln x1 ? ( x12 ? 2 ) x2 2 2 x1

1 2 1 1 ( x ? 2 )(0 ? x ? ) , 2 x 2

2 1 ?( x 2 ? 1) 2 ?x? 3 ? ?0 x x x3
1 2

∴ F ( x) 在 (0, ] 上单调递减; ∴当 x1 ?

? kmax

1 1 15 ? 2 ln 2 时, F ( x) min ? F ( ) ? 2 2 8 15 ? ? 2 ln 2 8

∴k ?

15 ? 2 ln 2 8

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值

12

18.(Ⅰ) 【解析】

x2 3 ? y 2 ? 1(Ⅱ) 3 2

试题分析: (Ⅰ)由题意得,根据离心率公式以及 b=1,知 a 2 ? 3 ,由此能求出椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 分类讨论,当 CD⊥x 轴时,当 CD 与 x 轴不垂直时,设直线 CD 的方程为 y=kx+m,则韦达定理以及弦 长公式和基本不等式求出弦长的最大值,由此能求出△AOB 的面积取最大值 试题解析:(Ⅰ)由题意得,e2= =1﹣ = ,

又∵b=1,∴a =3,∴椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)“伴随圆”的方程为 x2+y2=4, ①当 CD⊥x 轴时,由|CD|=

2

x2 ? y 2 ? 1. 3

,得|AB |=

. .

②当 CD 与 x 轴不垂直时,由|CD|=

,得圆心 O 到 CD 的距离为

设直线 CD 的方程为 y=kx+m,则由

=

,得 m2= (k2+1),

设 A(x1,y1),B(x2,y2),由

,得(3k +1)x +6kmx+3m ﹣3=0

2

2

2

∴x1+x2=

,x1x2=
2 2


2

当 k≠0 时,|AB| =(1+k )(x1﹣x2) , =(1+k2)[ ﹣ ],

=



=3+



=3+



13

≤3+
2

=4, ,即 k=± 时等号成立,此时|AB|=2.

当且仅当 9k =

当 k=0 时,|AB|=

,综上所述:|AB|max=2,

此时△AOB 的面积取最大值 S=

1 |AB|max× 2

=



考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质 19.(Ⅰ) f ( x) ? x3 -3x 递减区间为 ?- 1,1? (Ⅱ) ?1, ?? ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 求得函数的导数, 求得切线的斜率和两直线平行的条件, 可得 f
' '

?3? ? 27a ? b ? 24 ,

且 f ?1? ? 3a ? b ? 0 ,解方程可得 a,b,令导数小于 0,可得减区间;(Ⅱ)求出 g(x)的导数, 求得单调区间和极值、最值,依题意,只需当 x ? ? , 2 ? 时,xt(x)≥1 恒成立,即 ? x ln x ? 1 恒 x ?3 ? 成立,亦即 c ? x ? x 2 ln x ;令 h ? x ? ? x ? x ln x, x ? ? , 2? ,求出导数,求得单调区间和最大值, 3
2

?1

?

c

?1 ?

? ?

即可得到所求范围 试题解析:(1) f ( x) ? ax3 ? bx( x ? R) ,∴ f ?( x) ? 3ax2 ? b 又函数 f ( x) 的图象在点 x ? 3 处的切线与直线 24x ? y ? 1 ? 0 平行 且函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,∴ f ?(3) ? 27a ? b ? 24 , 且 f ?(1) ? 3a ? b ? 0 , 解得 a ? 1, b ? ?3 ∴ f ( x) ? x3 - 3x( x ? R) 令 f ?( x) ? 3x 2 - 3 ? 0 得: - 1 ? x ? 1 ,所以函数的单调递减区间为 ?- 1,1?

2 1 ? (Ⅱ) g ?( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? ) , x ? ? ? , 2? , 3
?3 ? 2 , 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 2 , 2 ? 单调递增, 可见,当 x ? ? ? ? ?3 ? ? ?3 ? ? 1 , 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 1 , 2 ? 单调递减, 当 x?? ? ? ?3 3? ? ?3 3? ?

83 ? g (2) ? 1 ,所以, g ( x) 在区间 ? 1 , 2 ? 1 而 g( ) ? ? ? ? 3 27
?3 ?
14

上的最大值是 1,

1 , 2 ? 时,xt(x) ≥1 恒成立, 依题意,只需当 x ? ? ? ?3 ? ?
c ? x ln x ? 1 恒成立,亦即 c ? x ? x 2 ln x ; x 1 ?) , 令 h( x) ? x ? x 2 ln x ( x ? ? ? 3 , 2? ? ?
即 则 h?( x) ? 1 ? x ? 2 x ln x ,显然 h?(1) ? 0 ,

1 ? 当 x?? ? ,1 时, 1 ? x ? 0 , x ln x? 0 , h ( x) ? 0 , ?3 1 即 h( x) 在区间 ? ? ,1 上单调递增; ?3
当 x ? ?1, 2? 时, 1 ? x ? 0 , x ln x ? 0 , h?( x) ? 0 ,

?

?

?1, 2? 上单调递减;
所以,当 x=1 时,函数 h( x) 取得最大值 h(1) ? 1 , 故 c ? 1 ,即实数 C 的取值范围是 ?1, ?? ? 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性 20.(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据中位线定理求证出四边形 MEBC 为平行四边形,再根据线面平行的判定定理即 可证明; (Ⅱ)先证明线面垂直,再到面面垂直;(Ⅲ)找到∠ECF 为直线 EC 与平面 PAC 所成的角,再解三 角形即可 试题解析:(Ⅰ)解:取 PA 的中点 M,连接 BM,ME // AD 且 ME ? BC // AD 且 BC ?

6 3

1 AD 2

1 AD 2

∴ME // BC 且 ME=BC ∴四边形 MEBC 为平行四边形, ∴BME // CE,CE ? 面 PAB,BM ? 面 PAB, ∴CE // 面 PAB

15

(Ⅱ)证明:∵ PA ⊥平面 ABCD, , ∴ PA ⊥ DC , 又 AC 2 ? CD 2 ? 2 ? 2 ? AD 2 ∴ DC ? AC , ∵ AC ? PA ? A ∴ DC ⊥平面 PAC 又 DC ? 平面 PDC 所以平面 PAC ⊥平面 PDC (Ⅲ)解:取 PC 中点 F ,则 EF ∥ DC , 由(Ⅱ)知 DC ⊥平面 PAC 则 EF ⊥平面 PAC 所以 ?ECF 为直线 EC 与平面 PAC 所成的角

CF =

1 3 1 2 , EF = CD ? PC = 2 2 2 2

∴ tan ?ECF ?

EF 6 ? FC 3 6 3

即直线 EC 与平面 PAC 所成角的正切值为

考点:直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定
2 2 21.(Ⅰ) ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10 (Ⅱ) ( x -1) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 10 (Ⅲ) ( x ? ) ? ( y ? 2) ?

5 2

5 2

【解析】 试题分析:(Ⅰ)首先设出方程,将点坐标代入得到关于参数的方程组,通过解方程组得到参数值, 从而确定其方程;(Ⅱ)求出 N(2,4)关于 x-y+3=0 的对称点为(1,5),即可得到圆 N 关于直 线 x-y+3=0 对称的圆的方程;(Ⅲ)首先设出点 M 的坐标,利用中点得到点 D 坐标,代入圆的方程 整理化简得到的中点 M 的轨迹方程 试题解析:(1)法一:由已知可设圆心 N (a,3a ? 2) ,又由已知得 | NA |?| NB | ,从而有

(a ? 3) 2 ? (3a ? 2 ? 1) 2 ? (a ? 1)2 ? (3a ? 2 ? 3)2 ,解得: a ? 2 .
于是圆 N 的圆心 N (2, 4) ,半径 r ?

(a ? 3) 2 ? (3a ? 2 ? 1) 2 ? 10 .
16

所以,圆 N 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10 . 法二:∵ A(3,1) , B(?1,3) ,∴ k AB ?

3 ?1 1 ? ? ,线段 AB 的中点坐标为 (1, 2) ?1 ? 3 2

从而线段 AB 的垂直平分线的斜率为 2 ,方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 0 由方程组 ?

?x ? 2 ?2 x ? y ? 0 解得 ? , ?y ? 4 ?3x ? y ? 2 ? 0
(2 ? 3) 2 ? (4 ? 1) 2 ? 10 ,

所以圆心 N (2, 4) ,半径 r ?| NA |?

故所求圆 N 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10 . (2)N(2,4)关于 x ? y ? 3 ? 0 的对称点为(1,5), 所以圆 N 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆 的方程为 ( x -1) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 10 (3)设 M ( x, y) , D( x1 , y1 ) ,则由 C (3, 0) 及 M 为线段 CD 的中点得:

x ?3 ? x? 1 ? ? x1 ? 2 x ? 3 ? 2 解得: ? . ? ? y1 ? 2 y ? y ? y1 ? 0 ? ? 2
又 点 D 在 圆 N : ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10 上 , 所 以 有 (2 x ? 3 ? 2)2 ? (2 y ? 4)2 ? 10 , 化 简 得 :

5 5 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 2 2
2 2 故所求的轨迹方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2) ?

5 2

5 . 2

考点:轨迹方程;直线与圆的位置关系 22.(Ⅰ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由已知条件推导出 2a ? 4 2, e ?

?4 6 ? 8 x2 y 2 2 2 , 2 3? ? ? 1 (Ⅱ) x ? y ? , AB ? ? 3 8 4 ? 3 ?

c 2 ,由此能求出椭圆 M 的方程;(Ⅱ)假 ? a 2
8 4 6 , AB ? ; 3 3

2 2 设存在圆 C:x2 ? y 2 ? r 2(r>0) , 若 l 的斜率不存在, 设 l: x=r, 求出 x ? y ?

2 2 2 若 l 的斜率存在,设 l:y=kx+m,代入椭圆 M 的方程,得 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 ,由此

?

?

17

2 2 能求出圆 C: x ? y ?

8 3

和|AB|的取值范围 试题解析:(I )椭圆的长轴长为 4 2 ,故 a ? 2 2 ,又与椭圆

x2 y 2 2 , ? ? 1 有相同的离心率 e ? 2 4 2

故 c ? 2, b ? 2. 所以椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

(II)若 l 的斜率存在,设 l : y ? kx ? m, 因 l 与 C 相切,故 r ?
2 2 2 即 m ? r 1 ? k .①

m 1? k 2



?

?

2 2 2 又将直线 l 方程代入椭圆 M 的方程得 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0,

?

?

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由韦达定理得 x1 + x2 = 由 OA ? OB ? 0 得到

?4km 2m 2 ? 8 x x ? , , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ? ??? ?

?4 km 2m 2 ? 8 x1 x2 + y1 y2 ? ?1 ? k 2 ? + km + m 2 =0 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k
化简得 3m2 ? 8 ? 8k 2 ,②
2 联立①②得 r ?

8 。 3 8 . 3

2 2 综上所述,存在圆 C : x ? y ?
2 由r ?

8 2 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 得 AB ? 1 ? k ? ? ? 3

?

?

? 32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 ? k2 ? ? 1 ? = ? 2 4 2 4 ? 3 1 ? 4k ? 4k 3 ? 1 ? 4k ? 4k ?
? ? ? 32 ? 1 ? 32 ? ? ?1 ? k ? 0? ? ? ,12 ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 1 ? 4 ? ? 3 ? 2 k ? ?
当 k ? 0 时, AB ?
2

?4 6 ? 32 ,? AB ? ? , 2 3 ?, ? 3 3 ? ?
18

又当 k 不存在时, AB ?

?4 6 ? 4 6 , 2 3 ? 为所求. , 故 AB ? ? 3 ? 3 ?

考点:1.椭圆方程;2.直线与椭圆相交的综合问题 23.(Ⅰ) ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)设直线 l 的方程为 y=k(x-4),由已知,抛物线 C 的焦点坐标为(1,0),因为 点 F 到直线 l 的距离为 3 ,所以

2 (Ⅱ)详见解析 2

3k 1? k 2

? 3 ,由此能求出直线 l 的斜率;(Ⅱ)设线段 AB 中点
y0 , x0 ? 4

的坐标为 N ? x0 , y0 ? ,A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,因为 AB 不垂直于 x 轴,所以直线 MN 的斜率为

直线 AB 的斜率为 横坐标为定值

4 ? x0 4 ? x0 ? x ? x0 ? ,由此能够证明线段 AB 中点的 ,直线 AB 的方程为 y ? y0 ? y0 y0

试题解析:(Ⅰ)由已知,x=4 不合题意.设直线 l 的方程为 y=k(x-4), 由已知,抛物线 C 的焦点坐标为(1,0), 因为点 F 到直线 l 的距离为 3 , 所以

3k 1? k 2

? 3,

解得 k ? ?

2 2 ,所以直线 l 的斜率为 ? . 2 2

(Ⅱ) 设线段 AB 中点的坐标为 N ( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 因为 AB 不垂直于 x 轴, 则直线 MN 的斜率为

y0 4 ? x0 , 直线 AB 的斜率为 , x0 ? 4 y0 4 ? x0 ( x ? x0 ) , y0

直线 AB 的方程为 y ? y0 ?

4 ? x0 ? ? y ? y0 ? y ( x ? x0 ), 联立方程 ? 0 ? y 2 ? 4 x, ?

消去 x 得 (1 ?

x0 2 2 ) y ? y0 y ? y0 ? x0 ( x0 ? 4) ? 0 , 4
19

所以 y1 ? y2 ?

4 y0 , 4 ? x0 2 y0 y1 ? y2 ? y0 , ? y0 , 即 4 ? x0 2

因为 N 为 AB 中点, 所以

所以 x0 ? 2 .即线段 AB 中点的横坐标为定值 2 . 考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;点到直线的距离公式 24.(Ⅰ) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 (Ⅱ) x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由圆的方程写出圆心坐 标,因为圆 C 关于直线 x+y-1=0 对称,得到圆心在直线上 代入得到①,把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于 2 得到②,①②联立求出 D 和 E,即可 写出圆的方程; (Ⅱ)设 l:x+y=a,根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出 a 即可 试题解析:(Ⅰ)由 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 知圆心 C 的坐标为 (?

D E ,? ) 2 2

? D E? ? 圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称? 点 ? ? , ? ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,即 D ? E ? ?2 ① 2? ? 2


D 2 ? E 2 ? 12 ? 2② 4
∴ D ? 0, E ? 0

又∵圆心 C 在第二象限 由①②解得 D=2,E=-4

∴所求圆 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 (Ⅱ)? 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零, 设l : x ? y ? a

? 圆 C: (x ? 1) 2 ? (y ? 2) 2 ? 2
圆心 C (?1,2) 到切线的距离等于半径 2 ,即

?1? 2 ? a 2

? 2,

? a ? ?1, 或 a ? 3
所求切线方程 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 考点:圆的标准方程;直线与圆的位置关系
20



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