9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:3.3.1《函数的单调性与导数》



第3 章

导数及应用

3.3.1 函数的单调性与导数

内容:利用导数研究函数的单调性 函数的 单调性 与导数 应用 从导数的角度解释增减及增 减快慢的情况 有关含参数的函数单调性问题 利用导函数判断原函数大致图象 利用导数求函数的单调区间

本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸



对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题,通过探 究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的 速度v随时间t变化的函数关系,再结合具体函数,探究函数在 某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例 子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调 性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的 情况及含参数的函数单调性问题.重点是利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间. 采用例题与变式练习相结合的方法,通过4个例题探讨利用 导数研究函数的单调性问题。随后是5道课堂检测,通过设置 难易不同的必做和选做试题,对不同的学生进行因材施教。

动画剪纸之对称性

创设情景: 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模 型 , 研究函数时 , 了解函数的增与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常

重要的.
通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的 变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函 数的导数一样都是反映函数变化情况的 ,那么函 数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的

联系呢?

复习引入: 问题1:函数单调性的定义怎样描述的? 一般地,对于给定区间D上的函数f(x),若对于属于

区间D的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,有 (1)若f(x1)<f (x2) ,那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2),那么f(x)在这个区间上是减函数.

2.用定义证明函数的单调性的一般步骤: (1)任取x1、x2∈D,且x1< x2. (2)作差f(x1)-f(x2) (作商) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (4)定号(判断差f(x1)-f(x2)的正负)(与0比较)

(5)结论
3.研究函数的单调区间你有哪些方法? (1)观察法:观察图象的变化趋势; (2)定义法:

4.讨论函数y=x2-4x+3的单调性. 图象法 定义法

单增区间:(2,+∞). 单减区间:(-∞,2).

5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区 间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?

(2)能用单调性的定义吗?
试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了? (产生认知冲突) 发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很 麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时 候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决.

如图(1),它表示跳水运动中高度h随时间t变

化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数 v(t ) ? h?(t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别?
引导:随着时间的变化,运动员离

水面的高度的变化有什么趋势?是 逐渐增大还是逐步减小?

(1)

(2)

通过观察图象,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间 t的增加而增加,

即h(t)是增函数.相应地, v(t ) ? h?(t ) ? 0 . (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间
t的增加而减少, 即h(t)是减函数.相应地,v(t )

? h?(t ) ? 0



函数的单调性可简单的认为是:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 若 ? 0, 则函数f ( x)为增函数 x2 ? x1
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) 可把 看作 ? x2 ? x1 ?x x2 ? x1
说明函数的变化率可以反映函数的单调性, 即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.

上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意

义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象
上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么

函数的单调性与导数有什么关系呢?

观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数

正负的关系

(1)函数y ? x 的定义域为R, 并且在定义域上是增函数, 其导数 y? ? 1 ? 0
(2)函数y ? x 2 的定义域为R, 并且在(?? , 0)上单调递减 , 在(0, ?? )上单调递增,其导数 y ? ? 2 x

当x ? 0时, y? ? 0;当x ? 0时, y? ? 0;当x ? 0时, y? ? 0.

(3)函数y ? x 的定义域为R, 并且在定义域上是增函数,
3

2 ? 其导数 y ? 3x

若x ? 0, 则其导数3x2 ? 0;当x ? 0, 则其导数3x2 ? 0. 1 (4)函数y ? 的定义域为(??, 0) ? (0, ??), 并且 x 在(??, 0)上单调递减, 在(0, ??)上单调递减.
1 而y? ? ? 2 ,因为x ? 0, 所以y? ? 0. x

再观察函数y=x2-4x+3的图象:

y

0

. . . . . ..
2

该函数在区间(-∞,2) 上单减,切线斜率小于0, 即其导数为负; 在区间(2,+∞)上单 增,切线斜率大于0,即 x 其导数为正. 而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.

结论:在某个区间(a,b)内, 如果 ,

那么函数
如果 ,

在这个区间内单调递增;

那么函数

在这个区间内单调递减.

如果在某个区间内恒有f?(x)=0,则f(x)为常数函数.

函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调

性的关系是:

y ? f ( x)
( x0 , f ( x0 ))
( x1 , f ( x1 ))

在x ? x0 处, f ?( x0 ) ? 0, 切线是左下右上, 函数f ( x)在x0附近单调递增
在x ? x1处, f ?( x1 ) ? 0, 切线是左上右下, 函数f ( x)在x1附近单调递减

函数的单调性与导数的关系:

一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
则函数在该区间

如果f?(x)>0,则f(x)在这个区间为增函数; 如果f?(x)<0,则f(x)在这个区间为减函数.
如果在某个区间内恒有f?(x)=0,则f(x)为常数函数 .

若f(x)在区间(a,b)上是增函数, 则转化为 f '( x) ? 0 在(a,b)上恒成立; 若f(x)在区间(a,b)上是减函数, 则转化为 f '( x) ? 0 在(a,b)上恒成立.

利用导函数判断原函数大致图象 例1、已知导函数的下列信息:

试画出函数f(x)图象的大致形状。
解:大体图象为
1

4

已知导函数的下列信息:

试画出函数f(x)图象的大致形状。

y A
B

o

2

3

x

利用导数求函数的单调区间 例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间.

(1) f ( x) ? x ? 3x
3

(2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2 3 2

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ?) (4) f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1

解 : (1) ? f ( x) ? x3 ? 3x ? f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x2 ?1) ? 0 因此, f ( x) ? x ? 3x在R上单调递增如图 . 1所示.
3

解 : (2)? f ( x) ? x2 ? 2x ? 3? f ?( x) ? 2x ? 2 ? 2 ? x ?1?
当f ?( x) ? 0,即x ? 1时,函数f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3单调递增 当f ?( x) ? 0,即x ? 1时,函数f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3单调递减

函数f ( x) ? x ? 2x ? 3的图象如图所示
2

1

(2 )

解 : (3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ?) ? f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0
因此,函数f ( x) ? sin x ? x 在(0, ?)单调递减, 如图

解 : (4) ? f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1? 当f ?( x) ? 0,即 时,函数f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24x ? 1

当f ?( x) ? 0,即

时,函数f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24x ? 1
3 2

函数f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1 的图象如图所示

根据导数确定函数的单调性步骤: 1.确定函数f(x)的定义域.

2.求出函数的导数f?(x)
3.解不等式f?(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f?(x)<0,得函数单减区间.

利用导数判断函数单调性及求单调区间应注意的问题:

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数 的定义域 , 解决问题的过程中 , 只能在定义域内 , 通过讨论 导数的符号,来判断函数的单调区间. (2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于 零的点外,还有注意在定义域内不连续点和不可导点. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个, 这些单调区间中间不能用“ ? ”连接 , 而只能用“逗号 ”或“和”字隔开.

1 已知函数y ? x ? , 试讨论出此函数的单调区间 x 2
1 1 x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) 解 : y? ? ( x ? )? ? 1 ? 2 ? ? 2 x x x x2
( x ? 1)( x ? 1) 令 ? 0, 解得x ? 1或x ? ?1 2 x

1 ? y ? x ? 的单调区间是(??, -1)和(1, ??) x
( x ? 1)( x ? 1) 令 ? 0解得 ? 1 ? x ? 0或0 ? x ? 1 2 x 1 ? y ? x ? 的单调区间是(?1, 0)和(0,1). x

从导数的角度解释增减及增减快慢的情况
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下 面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的 高度h与时间t的函数关系图象.

h

h

h

h

O

(A)

t

O

t (B)

O

t (C)

O

t (D)

解: (1)→(B),(2) →(A),(3)→(D),(4) →(C)

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对 值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时,

函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之,
函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图 象“陡峭”,在


.

内的图象平缓

有关含参数的函数单调性问题
例4. 已知函数f ( x) ? x3 ? ax ?1, 讨论f ( x)的单调性. 解 : f ?( x) ? 3x2 ? a
(1)当a ? 0时, f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在( ??, ??)上为增函数
3a (2)当a ? 0时, 令3x ? a ? 0得x ? ? 3
2

当a ?

3a 3a 3a 或a ? ? 时, f ?( x) ? 0; 当?a? 3 3 3

3a 时, f ?( x) ? 0; 3

因此f ( x)在(??, ?

3a 3a ), ( , ? ?)上位增函数 在(? 3a , 3a )上为减函数 3 3 3 3
3a 3a ), ( , ? ?)上为增函数, 3 3

综上可知,当a ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( ??, ??)上为增函数
当a ? 0时,f ( x)在(??, ?

3a 3a 在(? , )上为减函数. 3 3

1. f ( x)不变, 若f ( x)为增函数, 求实数a 的取值范围. (??, 0] 2. f ( x)不变, 若f ( x)在区间(1, ??)上为增函数,
求实数a 的取值范围.

(??, 3]

3. f ( x)不变, 若f ( x)在区间(?1,1)上为减函数,

+?) 求实数a 的取值范围. [3,
4. f ( x)不变, 若f ( x)在减区间为(?1,1), 求实数a 的值.

5. f ( x)不变, 若f ( x)在区间(?1,1)上不单调,

a?3

3) 求实数a 的取值范围. (0,

m ? f ( x)恒成立 ? m ? f ( x)max m ? f ( x)恒成立 ? m ? f ( x)min

数学知识: (1)函数的单调性与导数的关系; 如何从导数的角度解释增减及增减快慢的情况; (2)求解函数y=f(x)单调区间的步骤: ①确定函数 y=f(x) 的定义域(养成研究函数的性质从定义 域出发的习惯);

②求导数f?(x); ③得结论: f?(x)>且在定义域内的为增区间; f?(x)<0且在 定义域内的为减区间.

(3)由函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围:
若f(x)在区间(a,b)上是增函数, 则转化为f?(x)≥0在(a,b)上恒成立;

若f(x)在区间(a,b)上是减函数,
则转化为f?(x)≤0在(a,b)上恒成立. 然后检验参数的取值能否使f?(x)恒等于0. 数学思想:数形结合和转化思想.

必做题
1.求下列函数的单调区间:

(1) y ? x ? 2 x ? 4
2

(2) y ? ex ? x

(3) y ? 3x ? x

3

(4) y ? x ? x ? x
3 2

解 : (1) y ? x2 ? 2x ? 4的增区间是(1, ??), 减区间是(??,1) (2) y ? ex ? x的增区间是(0, ??), 减区间是(??,0) (3) y ? 3x ? x3的增区间是(?1,1), 减区间是(??, ?1)和(1, ??) 1 3 2 (4) y ? x ? x ? x的增区间是(1, ??)和(??, ? ), 3 1 减区间是(? ,1) 3

2.求证 : 函数f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7在(0, 2)内是减函数
2 ? 只需证明在(0, 2)内f ( x) ? 3x ? 2x ?1 ? 0

b 3.求函数f ( x) ? x ? (b ? 0)的单调区间. x b f ( x) ? x ? (b ? 0)的增区间是(??, ? b )和( b , ??), x 减区间是(? b , 0)和(0, b )

选做题

1 3 1.求函数f ( x) ? ? ax ? x 2 ? 1(a ? 0)的单调区间. 3
1 3 2 2 f ( x) ? ? ax ? x ? 1(a ? 0)的增区间是(??, )和(0, ??), 3 a 2 减区间是( , 0) a
3 2

2.已知f ( x) ? x ? 3ax ? 3bx的图象与 直线12 x ? y ? 1 ? 0相切于点(1, ?11) 求(1)a, b的值.

a ? 1, b ? ?3

(2)讨论函数y ? f ( x)的单调性.

函数y ? f ( x)在区间(??, ?1)和(3, ??)上递增, 在(?1,3)上递减

2 3 3.函数f ( x) ? 4 x ? ax ? x ( x ? R)在区间[?1,1]上是增函数, 3 求实数a 的取值范围.
2

2 3 解: ? f ( x) ? 4 x ? ax ? x ( x ? R)在[?1,1]上是增函数 3
2

? f ?( x) ? 4 ? 2ax ? 2x2 ? ?2( x2 ? ax ? 2) ? 0在区间 [?1,1]恒成立

令g ( x) ? x ? ax ? 2, 则问题 ? g ( x) ? 0在区间 [?1,1]上恒成立
2

? g (1) ? 0, ?1 ? a ? 2 ? 0, 只需证 ? 即? 解得 : ?1 ? a ? 1 ? g (?1) ? 0 ?1 ? a ? 2 ? 0



更多相关文章:
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图