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赢在高考2014一轮复习用书函数专题2.8



第8讲

函数与方程

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考 纲 展 示

了解函数零点的概念, 能 判断函数在某个区间上是 否存在零点.

考 纲 解 读 1. 函数的零点、方程根的个数是历年高 考的重要考点. 2. 利用函数的图形及性质判断函数的 零点, 及利用它们求参数取

值范围问题 是重点, 也是难点. 3. 题型以选择题和填空题为主, 常与函 数的图象与性质交汇命题.

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1.函数的零点 ( 1) 函数零点的定义 对于函数 y=f( x) , 把使 f( x) =0 成立的实数 x 叫做函数 y=f( x) 的零 点. ( 2) 几个等价关系 方程 f( x) =0 有实数根?函数 y=f( x) 的图象与 x 轴有交点?函数 y=f( x) 有零点. ( 3) 函数零点的判定( 零点存在性定理) 如果函数 y=f( x) 在区间[ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并 且有 f( a) · f( b) <0, 那么, 函数 y=f( x) 在区间( a, b) 内有零点, 即存在 c∈( a, b) , 使得方程 f( c) =0, 这个 c 也就是方程 f( x) =0 的根.
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2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的 图象 与 x 轴的交点 零点个数 ( x1, 0) , ( x2, 0) 两个 ( x1, 0) 或 ( x2, 0) 一个

Δ<0

无交点 无

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3.找零点的近似值 用二分法求函数零点的近似值关键有两点: 一是初始区间的选 取, 既要符合条件( 包含零点) , 又要使其长度尽量小; 二是随时进行精 确度的判断, 以决定是停止计算还是继续计算. 4.判断函数 y=f(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法 ( 1) 解方程: 当对应方程易解时, 可通过解方程, 看方程是否有根落 在给定区间上; ( 2) 利用函数零点的存在性定理进行判断; ( 3) 通过画函数图象, 观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点 来判断.

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1.若函数 f( x) =x2+2x+a 没有零点, 则实数 a 的取值范围是( ) A.( -∞, 1) B.( 1, +∞) C.( -∞, 1] D.[ 1, +∞) 【答案】 B 【解析】 ∵ 函数 f( x) 无零点?函数 f( x) 的图象与 x 轴无公共点, ∴ Δ<0, 即 4-4a<0.故 a>1. 2.函数 f( x) =3ax-2a+1 在区间[ -1, 1] 上存在一个零点, 则 a 的取值范围 是( ) A.a≥
1 5

B.a≤1
1

C.-1≤a≤5

D.a≥5或 a≤-1

1

【答案】 D 【解析】 函数 f( x) =3ax-2a+1 在区间[ -1, 1] 上存在一个零点, 则 f(-1) ·f( 1) ≤0, 即 a≥5或 a≤-1.
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1

3.函数 f( x) =ex+x-2 的零点所在的一个区间是( ) A.( -2, -1) B.( -1, 0) C.( 0, 1) D.( 1, 2) 【答案】 C 【解析】 由于 f( 0) =-1<0, f( 1) =e-1>0, 根据函数的零点存在性定理, 知 函数 f( x) 有零点在区间( 0, 1) 内. 4.若函数 f( x) =ax+b 有一个零点是 2, 那么函数 g( x) =bx2-ax 的零点是 ( ) A.0, 2 C.0, 1 2

B.0, 2 D.2, -

1 1 2

【答案】 C 【解析】 ∵ 2a+b=0, ∴ g( x) =-2ax2-ax=-ax( 2x+1) .故函数 g( x) 的零点为 0 和- .
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1 2

5.函数 f( x) =x-x 的零点个数为 【答案】 2
4

4

.

【解析】 方法一: 由 x-x =0( x≠0) , 得 x2-4=0( x≠0) , 解得 x=± 2.故函数 f( x) =x-x 有两个零点. 观察其交点的个数, 显然有 2 个.
4

方法二: 在同一直角坐标系中画出函数 y=x 与 y= x 的图象( 图略) ,

4

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T 题型一零点存在性的判断
例 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. ( 1) f( x) =x2-3x-18, x∈[ 1, 8] ; ( 2) f( x) =log2( x+2) -x, x∈[ 1, 3] . 第( 1) 问利用零点的存在性定理或直接求出零点, 第( 2) 问利用零点的存在性定理或利用两函数图象的交点来求解.

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【解】 ( 1) 方法一: ∵ f( 1) =12-3× 1-18=-20<0, f( 8) =82-3× 8-18=22>0, ∴ f( 1) ·f( 8) <0. 故函数 f( x) =x2-3x-18, 在 x∈[ 1, 8] 上存在零点. 方法二: 令 f( x) =0, 得 x2-3x-18=0, x∈[ 1, 8] . 于是( x-6) ( x+3) =0. 解得 x=6∈[ 1, 8] , x=-3?[ 1, 8] . 故函数 f( x) =x2-3x-18, 在 x∈[ 1, 8] 上存在零点.

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( 2) 方法一: ∵ f( 1) =log23-1>log22-1=0, f( 3) =log25-3<log28-3=0, ∴ f( 1) ·f( 3) <0. 故函数 f( x) =log2( x+2) -x, 在 x∈[ 1, 3] 上存在零点. 方法二: 设函数 y=log2( x+2) , y=x, 在同一直角坐标系中画出它们 的图象,

从图象中可以看出当 1≤x≤3 时, 两函数图象有一个交点, 因此函数 f( x) =log2( x+2) -x, 在 x ∈[ 1, 3] 上存在零点.
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函数的零点存在性问题常用的处理方法有三种: 一 是用定理, 二是解方程, 三是用图象.值得说明的是, 零点存在性定理 是充分条件, 而并非是必要条件.

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1.在下列区间中, 函数 f( x) =ex+4x-3 的零点所在的区间为( A. - 4 ,0 1 1 C. 4 , 2 【答案】 C 【解析】 ∵ 函数 f( x) 是 R 上的增函数且其图象是连续的, 且 f
1 4 1

)

B. 0, 4 1 3 D. 2 , 4

1

=

1 1 1 4 +4× -3= 4 -2<0, f

4

1 2

=

1 1 1 2 +4× -3= 2 -1>0,

2

∴ 函数 f( x) 在区间

1 1 , 4 2

内存在唯一零点.

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T 题型二零点个数的判断
例 2 若定义在 R 上的偶函数 f( x) 满足 f( x+2) =f( x) , 且当 x ∈[ 0, 1] 时, f( x) =x, 则函数 y=f( x) -log3|x|的零点个数是 .
函数零点的个数?方程解的个数?函数 y=f( x) 与 y=log3|x|图象的交点的个数. 【答案】 4 【解析】 由题意知, 函数 f( x) 是周期为 2 的偶函数. 在同一坐标系内作出函数 y=f( x) 及 y=log3|x|的图象, 如下:

观察图象可以发现它们有 4 个交点, 即函数 y=f( x)-log3|x|有 4 个零点.
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函数的零点问题要注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数, 当函数的自变量取这个实数时, 其函 数值等于零. (2)函数的零点也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标. (3)一般我们只讨论函数的实数零点. (4)函数的零点不是点, 是方程 f(x)=0 的根.

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x

2

故函数 f( x) 在区间[ 0, 4] 上的零点个数为 6.

=kπ+2, k∈Z.又

2.函数 f( x) =xcos x2 在区间[ 0, 4] 上的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】 C 【解析】 令 f( x) =xcos x2=0, 可得 x=0 或 cos x2=0, 故 x=0 或 x∈[ 0, 4] , 则 x2∈[ 0, 16] .因此 k=0, 1, 2, 3, 4 符合题意,

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T 题型三利用零点求参数范围
2 例 3 若函数 g( x) =x+ x ( x>0) , g( x) =m 有零点, 求 m 的取值范

围. 【解】
2 方法一: ∵ g( x) =x+ x ≥2

2 =2e,

等号成立的条件是 x=e, 故函数 g( x) 的值域是[ 2e, +∞) , 因而只需 m≥2e, 则 g( x) =m 就有零点.

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方法二: 作出函数

g( x) =m 有零点, 则只需 m≥2e. 方法三: 由 g( x) =m, 得 x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根且 e2>0, 故根据根与系数的关系得 m>0, m > 0, m > 0, 即 该式等价于 故 m≥2e. 2 2 m ≥ 2 或 m ≤ -2 . Δ = -4 ≥ 0,
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2 g( x) =x+ ( x>0) 的大致图象如图, 可知若使 x

此类利用零点求参数的范围的问题, 可利用方程, 但有时不易甚 至不可能解出, 而转化为构造两函数图象求解, 使得问题简单明了, 这 也体现了当不是求零点, 而是利用零点的个数, 或有零点求参数的范 围时, 一般采用数形结合法求解.

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2x -1,x > 0, 3.已知函数 f( x) = 2 若函数 g( x) =f( x) -m 有 3 个零点, -x -2x,x ≤ 0, 则实数 m 的取值范围是 . 【答案】 ( 0, 1)

2x -1,x > 0, 【解析】 画出函数 f( x) = 2 的图象, 如图. -x -2x,x ≤ 0 由函数 g( x) =f( x) -m 有 3 个零点, 结合图象得 0<m<1, 即 m∈( 0, 1) .
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T 题型四二次函数的零点分布
例 4 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. ( 1) 若方程有两根, 其中一根在区间( -1, 0) 内, 另一根在区间( 1, 2) 内, 求 m 的范围; ( 2) 若方程两根均在区间( 0, 1) 内, 求 m 的范围. 设出二次方程对应的函数, 可画出相应的示意图, 然后 用函数性质加以限制.

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【解】 ( 1) 由条件可知函数 f( x) =x2+2mx+2m+1 的图象与 x 轴的 交点分别在区间( -1, 0) 和( 1, 2) 内, 如图①所示, 得

图①

f(0) = 2m + 1 < 0 m∈, f(-1) = 2 > 0 ? 1 f(1) = 4m + 2 < 0 m<- , 2 f(2) = 6m + 5 > 0
5 1

1 m<- , 2

5 m>- . 6
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故-6<m<-2.

图② ( 2) 若函数 f( x) =x2+2mx+2m+1 的图象与 x 轴的交点均落在区间 f(0) > 0 f(1) > 0 ( 0, 1) 内, 如图②所示, 则可得不等式组 Δ≥0 0 < -m < 1 1 m > -2, ? 故- <m≤1- 2. 2 m ≥ 1 + 2或 m ≤ 1- 2, -1 < m < 0.
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m>

1 -2,

1

二次函数零点分布问题, 即一元二次方程根的分布问题, 解题的 关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程.

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4.若关于 x 的二次方程 x2+( m-1) x+1=0 在区间[ 0, 2] 上有零点, 求 实数 m 的取值范围. 【解】 设 f( x) =x2+( m-1) x+1, x∈[ 0, 2] . ( 1) f( x) =0 在区间[ 0, 2] 上有一解. 3 ∵ f( 0) =1>0, ∴ f( 2) ≤0, 即 4+2( m-1) +1≤0? m≤-2. ( 2) f( x) =0 在区间[ 0, 2] 上有两解, 则 Δ ≥ 0? (m-1)2 -4 ≥ 0? m ≥ 3 或 m ≤ -1,

3 因此-2≤m≤-1.

3 f(2) ≥ 0? 4 + (m-1) × 2 + 1 ≥ 0? m ≥ - , 2

m-1 0<< 2? -3 < m < 1, 2

由( 1) ( 2) 可知 m≤-1.
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1.下列函数图象与 x 轴均有公共点, 其中能用二分法求零点的是 ( )

【答案】 C 【解析】 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[ a, b] 上连续不 断, 并且有 f( a) ·f( b) <0, A, B 选项中不存在 f( x) <0, D 选项中零点两侧 函数值同号, 故选 C.

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2.若方程 2ax2-x-1=0 在区间( 0, 1) 内恰有一个解, 则 a 的取值范围是 ( ) A.a<-1 B.a>1 C.-1<a<1 D.0≤a<1 【答案】 B 【解析】 当 a=0 时, x=-1, 不合题意, 故排除 C, D.当 a=-2 时, 方程可化 为 4x2+x+1=0, 而 Δ=1-16<0, 无实根, 故 a=-2 不适合, 排除 A. 3.函数 f( x) =ln( x+1) - 的零点所在的大致区间是( A.( 0, 1) B.( 1, 2) C.( 2, e) D.( 3, 4) 【答案】 B 【解析】 ∵ f( 1) ·f( 2) =( ln 2-2) ·( ln 3-1) <0, ∴ 函数 f( x) 的零点在区间( 1, 2) 内.
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2 x

)

4.若二次函数 y=ax2+bx+c 中, ac<0, 则函数的零点个数是( A.1 B.2 C.0 D.无法确定 【答案】 B 【解析】 ∵ ac<0, ∴ Δ=b2-4ac>0. 故二次函数与 x 轴有两个交点, 应选 B.

)

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5.已知函数 f( x) =2mx+4, 若在区间[ -2, 1] 上存在 x0, 使 f( x0) =0, 则实数 m 的取值范围是 . 【答案】 m≤-2 或 m≥1 【解析】 ∵ 由题意知 m≠0, ∴ f( x) =2mx+4 是单调函数. 又在区间[ -2, 1] 上存在 x0, 使 f( x0) =0, ∴ f( -2) ·f( 1) ≤0, 即( -4m+4) ( 2m+4) ≤0, 解得 m≤-2 或 m≥1.

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