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专题 平面向量经典精讲 课后练习二详解



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学科:数学 轮次:高考总复习课程数学第一轮复习 专题:平面向量经典精讲 主讲教师:王春辉 北京市数学高级教师

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高考总复习课程数学第一轮复习 专题 平面向量经典精讲 主讲教师:王春辉
1 1 题 1:已知向量 a=(1,2),b=(-2,1),k,t 为正实数,x=a+(t2+1)b,y=- a+ b,问是 k t 否存在 k、t,使 x∥y,若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由. 题 2:已知△ABC 的 BC 边上的中点为 M,则
AM 2 ? BM 2 =______. AB2 ? AC2

题 3:如图,已知点 G 是 ?ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点, 且 AM ? xAB , AN ? yAC ,则

???? ?

??? ?

????

??? ?

1 1 ? ?3。 x y

题 4: 已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点, 满足 OA 2+ BC 2= OB 2+ CA 2= OC 2+ AB 2, 那么点 O 是△ABC 的什么样的特殊点呢? 题 5:如图所示,已知正比例函数 y ? x 的图象 l 与直线 g 平行, A(0, ?

2 ), B( x, y) 是直 2

线 g 上的两点.问: (l) x, y 为何值时, AB ? 0 ?(2) x, y 为何值时, AB 为单位向量? 答案:当 x ? 0, y ? ?

??? ?

??? ?

??? ? 2 2 2 , y ? 0或 x ? ? , y ? ? 2 时,向 时, AB ? 0 ;当 x ? 2 2 2

量 AB 是单位向量.

??? ?

以上课后练习答案及详解如下:
题 1:答案:不存在这样的正实数 k,t,使 x∥y. 详解: x=a+(t2+1)b=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3) 1 1 1 1 1 2 2 1 y=- a+ b=- (1,2)+ (-2,1)=(- - ,- + ), k t k t k t k t 2 1 1 2 假设存在正实数 k,t,使 x∥y,则(-2t2-1)(- + )-(t2+3)(- - )=0, k t k t

1

t2+1 1 化简得 + =0,即 t3+t+k=0, k t ∵k,t 是正实数,故满足上式的 k,t 不存在. ∴不存在这样的正实数 k,t,使 x∥y. 题 2:答案:

1 2

详解:如图所示,易知 AB=AM ? MB , AC =AM ? MC , ∴

AB2 ? AC2=AB ? AC =( AM ? MB)2 ? ( AM ? MC)2 ,

2

2

又∵ M B 与 MC 互为相反向量, ∴ AB2 ? AC2 = 2 AM
2 2

2

? 2MB ? 2 AM ? (MB ? MC) = 2 AM ? 2BM
AM ? BM AM 2 ? BM 2 1 = = . 2 2 2 AB ? AC AB2 ? AC2
2 2

2

2

2

= 2( AM ? BM ) ,∴

题 3: 证明:点 G 是 ?ABC 的重心,知 GA ? GB ? GC ? O, 得 ? AG ? ( AB ? AG) ? ( AC ? AG) ? O,有 AG ? 又 M,N,G 三点共线(A 不在直线 MN 上) , 于是存在 ? , ? ,使得 AG ? ? AM ? ? AN (且? ? ? ? 1) , 有 AG ? ? xAB ? ? y AC = ( AB ? AC ) ,

??? ??? ??? ? ? ?
????

????

??? ???? ?

??? ???? ?

? 1 ??? ???? ( AB ? AC ) 。 3

????

???? ?

????

????

??? ?

? ??? 1 ??? ???? ? 3

?? ? ? ? 1 1 1 ? 得? 1 ,于是得 ? ? 3 。 x y ?? x ? ? y ? 3 ?
题 4:答案:点 O 是△ABC 的的垂心. 详解: 由已知得 OA 2+ BC 2= OB 2+ CA 2,即 OA 2+( BO + OC )2=

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? OB 2+( CO + OA )2,整理得 AO · = BO · ,即 OC · BO + OA )=0, ( OC OC
AB 故 OC · =0.所以 AB ⊥ OC .
同理在条件 OB 2+ CA 2= OC 2+ AB 2 下,可推出 AO⊥BC,在条件

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

OA 2+ BC 2= OC 2+ AB 2 下,可推出 BO⊥AC,由此可得,点 O 是△ABC 的的垂心.
题 5:详解: AB ? 0 ?| AB |? 0 ,必要且只要 A 与 B 两点重合; AB 为单位向量,当且仅当

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? | AB |? 1 .
2

(l)如图所示,由已知,点 B( x, y) 是直线 g 一上的动点,要使得 AB ? 0 ,必须且只需点

??? ?

?x ? 0 ??? ? 2 2 ? ,即当 x ? 0, y ? ? 时, AB ? 0 ; B( x, y) 与点 A(0, ? ) 重合,于是 ? 2 2 2 ?y ? ? ? 2

(2)如图所示,要使得 AB 是单位向量,必须且只需 | AB |? 1 . 由已知 l // g ,且 A(0, ?

??? ?

??? ?

2 2 ) ,所以, B( , 0) . 2 2
2

在 Rt ?AOB1 中,有 | AB1 | ?| OA | ? | OB1 | ? (
2 2

????

??? ?

????

???? 2 2 2 ) ? ( ) 2 ? 1 ,即 | AB1 | ?1 ,表明向 2 2 ???? ? 2 向量 AB2 也是单位向量; , ? 2) 时, 2

量 AB1 是单位向量; 同理可得: B2 点的坐标是 (? 当

????

综上,有当 x ?

??? ? 2 2 , y ? 0或 x ? ? , y ? ? 2 时,向量 AB 是单位向量. 2 2

3



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