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湖南省永州市第四中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


2016 年上期永州四中高一年级期中综合水平检测 数学(试题卷)
一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知角α 终边上一点 P 的坐标是 (2sin2,﹣2cos2), 则 sinα 等于 ( ) A.sin2 B.﹣sin2 C.cos2 D.﹣cos2 2.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数: ①f(x)=sinxcosx; ②f(x)=2sin(x+ ③f(x)=sinx+ );

cosx;

④f(x)= sin2x+1. 其中“同簇函数”的是( ) A.①② B.①④

C.②③

D.③④

3.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,cosA= ,b=2,面积 S=3,则 a 为( ) A. B. C. , D, E 是线段 BC 上的点, 且 D. , 则 的取值范围是 ( )

4.如图, 在等腰直角三角形 ABC 中,

A.

B.

C. , ,则向量

D. =( )

5.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,记

A. 6.函数 A.

B.

C. 的最小正周期为( )

D.

B.

C.

D.

7.两个等差数列{an}和{bn},其前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 A. B. C. ,a3a5=4(a4﹣1),则 a2=( C. )

,则 D.

等于(



8.已知等比数列{an}满足 A.2 B.1

D.
1

9.在数列 A.

中, B.

,若 C.

,则

等于(

) D.

10.已知 A.

,且 B.

,则 C.

的值为( D.

)

11.函数 f1(x)=x ,f2(x)= ,f3(x)= ,f4(x)= |sin(2π x)|,等 差数列{an}中,a1=0,a2015=1,bn=|fk(an+1)-fk(an)|(k=1,2,3,4),用 Pk 表示数列{bn}的前 2014 项的 和,则( ) A.P4<1=P1=P2<P3=2 B.P4<1=P1=P2<P3<2 C.P4=1=P1=P2<P3=2 D.P4<1=P1<P2<P3=2 12.C 为线段 AB 上一点, P 为直线 AB 外一点, 满足| = +m( + ),m>0,则λ =( B. ) C. 4 D. 2 |=| |=4 , | ﹣ |=2 , = , =λ ,

3

A. 1

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)= ①函数 f(x)在区间[﹣ ②点( , ,有下列四个结论: ]上是增函数:

,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心; sin2x 的图象向左平移 ]. 得到;

③函数 f(x)的图象可以由函数 y= ④若 x∈[0,

],则函数 f(x)的值域为[0, .

则所有正确结论的序号是

14.已知非零向量 , 满足| |=| |=| ﹣ |,则向量 , 夹角的余弦值为 15.△ABC 中, ,BC=3, ,则∠C= .



16.已知数列{an}满足 最小值为 .

, Sn 是其前 n 项和, 若 S2015=﹣1007﹣b, 且 a1b>0, 则



三.解答题(第 17 题 10 分,第 18-22 题每题 12 分,共 70 分)
2

17.已知向量 =(1,sinα ), =(2,cosα ),且 ∥ ,计算:



18.已知函数 f(x)=2sin (

2

+x)﹣

cos2x﹣1.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若不等式 f(x)﹣m+1<0 在[ , ]上恒成立,求实数 m 的取值范围.

19.在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,且(2a﹣c)cosB﹣bcosC=0. (1)求∠B; (2)设函数 f(x)=﹣2cos(2x+B),将 f(x)的图象向左平移 单调递增区间. 后得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)的

20.已知 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 (1)若 (2)若 与 ,求 m 的值; 共线,求 k 的值.





3

21.设数列{an},{bn},{cn}满足 a1=a,b1=1,c1=3,对于任意 n∈N ,有 bn+1= (1)求数列{cn﹣bn}的通项公式; (2)若数列{an}和{bn+cn}都是常数项,求实数 a 的值;

*

,cn+1=



(3)若数列{an}是公比为 a 的等比数列,记数列{bn}和{cn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,记 Mn=2Sn+1﹣Tn,求 Mn< 对 任意 n∈N 恒成立的 a 的取值范围.
*

22.已知向量

(I)若 (II)记 的取值范围。 ,在

的值; 中,角 A、B、C 的对边分别是 ,且满足 ,求

4

2016 年永州市第四中学高一年级期中考试数学答案 题号 答案 题号 答案 13.①② 14. 15. 16. 17.∵ ∥ ,∴2sinα ﹣cosα =0,即 cosα =2sinα , 1 D 7 D 2 C 8 C 3 A 9 C 4 A 10 B 5 B 11 A 6 B 12 C



=

=

=﹣5

18.(1)f(x)=﹣ =sin2x﹣ cos2x



cos2x

=2 由 解得: ≤

. ≤2kπ + ≤x≤ +kπ , , +kπ ],k∈Z. ,k∈Z,

∴函数 f(x)的单调递增区间是[ (2)由 x∈[ 则 ∴ , ∈ ], . ∈[0,1].

∴f(x)∈[0,1]. ∵不等式 f(x)﹣m+1<0 在[ ∴m>[f(x)+1]max=2. ∴实数 m 的取值范围是(2,+∞). 19.(1)由(2a﹣c)cosB﹣bcosC=0 及正弦定理得, (2sinA﹣sinC)cosB﹣sinBcosC=0, 即 2sinAcosB﹣sin(B+C)=0, 因为 A+B+C=π ,所以 sin(B+C)=sinA, , ]上恒成立,

5

因为 sinA≠0,所以 cosB= , 由 B 是三角形内角得,B= (2)由(1)得,B= , ), ,

则 f(x)=﹣2cos(2x+B)=﹣2cos(2x+ 所以 g(x)=﹣2cos[2(x+ =﹣2cos(2x+ 由 故函数 g(x)的单调递增区间是: 20.(1) , ∵ ∴ 解得 m=﹣1. (2)由已知: ∵ ∴:k﹣2=4(2k+3), ∴k=﹣2. , , , , )=2sin2x, )+ ],

得, .







21.(1)由于 bn+1=

,cn+1=



cn+1﹣bn+1= (bn﹣cn)=﹣ (cn﹣bn), 即数列{cn﹣bn}是首项为 2,公比为﹣ 的等比数列, 所以 cn﹣bn=2(﹣ )
n﹣1



(2)bn+1+cn+1= (bn+cn)+an, 因为 b1+c1=4,数列{an}和{bn+cn}都是常数项, 即有 an=a,bn+cn=4, 即 4= ×4+a,解得 a=2;
6

(3)数列{an}是公比为 a 的等比数列,即有 an=a , 由 Mn=2Sn+1﹣Tn=2(b1+b2+?+bn)﹣(c1+c2+?+cn) =2b1+(2b2﹣c1)+(2b3﹣c2)+?+(2bn+1﹣cn) =2+a+a +?+a , 由题意可得 a≠0 且 a≠1,0<|a|<1.
2 n

n

由 2+

< 对任意 n∈N 恒成立,

*

即有 2+

≤ ,

解得﹣1<a<0 或 0<a≤ . 故 a 的取值范围是(﹣1,0)∪(0, ].

22.(1)m?n=

=

=2



∵m?n=2,∴



= (2)∵(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得 ∴ ∴ .∵



, , ,



,且

,∴

,



.∴

又∵f(x)=m?n=2 故 f(A)的取值范围是(2,3)

,∴f(A)=2

7


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