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北师大版高中数学必修4模拟试题(含解析)



高中数学必修 4 期末模拟试题
一.选择题(共 12 小题) 1. (2015?湖北模拟)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 又是以 π 为周期的偶函数?( ) 2 A.y=x (x∈R) B.y=|sinx|(x∈R) 上的增函数

C.y=cos2x(x∈R) D.y=e

sin2x

(x∈R) 的



2. (2015?丽水一模)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 最小正周期为 π,且 f(﹣x)=f(x) ,则( A. f(x)在 单调递减 C. f(x)在(0, )单调递增 ) B. f(x)在( D. f(x)在(

, ,

)单调递减 )单调递增

3. (2012?天津)将函数 y=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 过点 A. ,则 ω 的最小值是( B.1 ) C.

个单位长度,所得图象经

D.2

4. (2011?天津)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R,其中 ω>0,﹣π<φ≤π.若函数 f (x)的最小正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( )

A.f(x)在区间[﹣2π,0]上是增函数 C. f(x)在区间[3π,5π]上是减函数

B. f(x)在区间[﹣3π,﹣π]上是增函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数

5. (2015?秦安县一模)已知向量 =(2,1) , A. B. C.5

=10,| + |=

,则| |=( D.25



6. (2015?广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形, ﹣2) , A.5 =(2,1)则 ? B.4 =( ) C.3 D.2

=(1,

7. (2013?湖南)已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的最大 值为( )
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A.

B.

C.

D. =2 , = ,

8. (2012?台州校级模拟) 在△ ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 则 λ=( A. ) B. C. ﹣

D.



9. (2015?四川)下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是( A. B. y=cos(2x+ ) y=sin(2x+ ) C. y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx



10. (2014 春?龙港区校级月考)如果函数 y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是 4π,那么 常数 ω 为( ) A.4 B.2 C. D.

11. (2012?重庆)设 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则 tan(α+β)的值为( A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3

2



12. (2012?陕西)设向量 =(1,cosθ)与 =(﹣1,2cosθ)垂直,则 cos2θ 等于 ( A. B. C.0 D.﹣1



二.填空题(共 6 小题) 13. (2014?上海)设常数 a 使方程 sinx+ x3,则 x1+x2+x3= .

cosx=a 在闭区间[0,2π]上恰有三个解 x1,x2,

14. (2014?重庆)将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 标缩短为原来的一半, 纵坐标不变, 再向右平移 = .

≤φ<

)图象上每一点的横坐 )

个单位长度得到 y=sinx 的图象, 则f (

15. (2015?安徽) △ ABC 是边长为 2 的等边三角形, 已知向量 则下列结论中正确的是

满足

=2 , =2 + ,

. (写出所有正确结论得序号) ;④ ∥ ;⑤ (4 + )⊥ .

① 为单位向量;② 为单位向量;③

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16. (2015?山东)过点 P(1, = .

)作圆 x +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则

2

2

17. (2015?浙江)函数 f(x)=sin x+sinxcosx+1 的最小正周期是 区间是 .

2

,单调递减

18. (2015?江苏)已知 tanα=﹣2,tan(α+β)= ,则 tanβ 的值为



三.解答题(共 3 小题) 19. (2015?北京)已知函数 f(x)=sinx﹣2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最小值. sin
2

20. (2014?山东)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x) 的图象过点( , )和点( ,﹣2) .

(Ⅰ )求 m,n 的值; (Ⅱ )将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g (x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 21. (2015?浙江)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan( =2. (Ⅰ )求 (Ⅱ )若 B= 的值; ,a=3,求△ ABC 的面积. +A)

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高中数学必修 4 期末模拟试题
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1. (2015?湖北模拟)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 又是以 π 为周期的偶函数?( ) 2 A.y=x (x∈R) B.y=|sinx|(x∈R) 上的增函数

C.y=cos2x(x∈R) D.y=esin2x(x∈R)

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 压轴题. 分析: 根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可. 2 解答: 解:y=x (x∈R)不是周期函数,故排除 A.
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∵ y=|sinx|(x∈R)周期为 π,且根据正弦图象知在区间 故选 B.

上是增函数.

点评: 本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象.

2. (2015?丽水一模)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 最小正周期为 π,且 f(﹣x)=f(x) ,则( A. f(x)在 单调递减 C. f(x)在(0, )单调递增 ) B. f(x)在( D. f(x)在(



, ,

)单调递减 )单调递增

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用辅助角公式将函数表达式进行化简,根据周期与 ω 的关系确定出 ω 的值,根据 函数的偶函数性质确定出 φ 的值,再对各个选项进行考查筛选. 解答: 解:由于 f(x)=sin(ωx+?)+cos(ωx+? )= ,
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由于该函数的最小正周期为 π= 又根据 f(﹣x)=f(x) ,得 φ+

,得出 ω=2, = +kπ(k∈Z) ,以及|φ|< ,得出 φ= .

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因此,f(x)= 若 x∈ 若 x∈( ,

cos2x, ,则 2x∈(0,π) ,从而 f(x)在 ) ,则 2x∈( , ) , 单调递减,

该区间不为余弦函数的单调区间,故 B,C,D 都错,A 正确. 故选 A. 点评: 本题考查三角函数解析式的确定问题,考查辅助角公式的运用,考查三角恒等变换公 式的逆用等问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考查学生的整体思想和 余弦曲线的认识和把握.属于三角中的基本题型.

3. (2012?天津)将函数 y=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 过点 A. ,则 ω 的最小值是( B.1 ) C.

个单位长度,所得图象经

D.2

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 图象变换后所得图象对应的函数为 y=sinω(x﹣ ) ,再由所得图象经过点 可得 sinω( ﹣ )=sin(ω )=0,故 ω?

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=kπ,由此求得 ω 的

最小值. 解答: 解:将函数 y=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 函数为 y=sinω(x﹣ 再由所得图象经过点 ) . 可得 sinω ( ﹣

个单位长度,所得图象对应的

) =sin (ω

) =0, ∴ ω?

=kπ,

k∈z. 故 ω 的最小值是 2, 故选 D. 点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+?)的图象变换,以及由 y=Asin(ωx+?)的部分图象求函 数解析式,属于中档题. 4. (2011?天津)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R,其中 ω>0,﹣π<φ≤π.若函数 f (x)的最小正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( )

A.f(x)在区间[﹣2π,0]上是增函数 C. f(x)在区间[3π,5π]上是减函数

B. f(x)在区间[﹣3π,﹣π]上是增函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数

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考点: 正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数 f(x)的最小正周期为 6π,根据周期公式可得 ω= ,且当 x=
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时,f 可

(x)取得最大值,代入可得,2sin( 得

φ)=2,结合已知﹣π<φ≤π 可得 φ=

,分别求出函数的单调增区间和减区间,结合选项验证

即可 解答: 解:∵ 函数 f(x)的最小正周期为 6π,根据周期公式可得 ω= ∴ f(x)=2sin( ∵ 当 x= φ) , φ)=2,φ= , 可得函数的单调增区间: , 由 , 可得函数的单调减区间: +2kπ,



时,f(x)取得最大值,∴ 2sin( ,∴

∵ ﹣π<φ≤π,∴ φ= 由

结合选项可知 A 正确, 故选 A. 点评: 本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式,还考查了函数 y=Asin (ωx+φ) (A>0,ω>0)的单调区间的求解,属于对基础知识的考查.

5. (2015?秦安县一模)已知向量 =(2,1) , A. B. C.5

=10,| + |=

,则| |=( D.25



考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据所给的向量的数量积和模长,对|a+b|= 两边平方,变化为有模长和数量积的 形式,代入所给的条件,等式变为关于要求向量的模长的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ | + |= ,| |=
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∴ ( + )= 得| |=5

2

2

+

2

+2

=50,

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故选 C. 点评: 本题考查平面向量数量积运算和性质,根据所给的向量表示出要求模的向量,用求模 长的公式写出关于变量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用.

6. (2015?广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形, ﹣2) , A.5 =(2,1)则 ? B.4 =( ) C.3 D.2

=(1,

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由向量加法的平行四边形法则可求
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=

的坐标, 然后代入向量数量积的坐标表

示可求 解答: 解:由向量加法的平行四边形法则可得, ∴ =3×2+(﹣1)×1=5. = =(3,﹣1) .

故选:A. 点评: 本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示,属于基础试 题.

7. (2013?湖南)已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的最大 值为( A. ) B. C. D.

考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 通过建立直角坐标系,利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出. 解答: 解:∵ | |=| |=1,且 ,
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∴ 可设 ∴ ∵ ∴ ∴ 的最大值=

, . ,





,即(x﹣1) +(y﹣1) =1. = .
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2

2

故选 C.

点评: 熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键. 8. (2012?台州校级模拟) 在△ ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 则 λ=( A. ) B. C. ﹣ D. ﹣

=2

, =



考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 分析: 本题要求字母系数,办法是把 表示出来,表示时所用的基底要和题目中所给的一
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致,即用



表示,画图观察,从要求向量的起点出发,沿着三角形的边走到终

点,把求出的结果和给的条件比较,写出 λ. 解答: 解:在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点 ∵ =2 ∴ ∴ λ= , 故选 A. 点评: 经历平面向量分解定理的探求过程,培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想, 基底给定时,分解形式唯一,字母系数是被基底唯一确定的数量. 9. (2015?四川)下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是( A. B. y=cos(2x+ ) y=sin(2x+ ) C. y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx ) , = , = ,

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可. 解答: 解:
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y=cos(2x+ y=sin(2x+

)=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意,所以 A 正确 )=cos2x,函数是偶函数,周期为:π,不满足题意,所以 B 不正确; sin(2x+ sin(x+ ) ,函数是非奇非偶函数,周期为 π,所以 C 不正确;

y=sin2x+cos2x= y=sinx+cosx=

) ,函数是非奇非偶函数,周期为 2π,所以 D 不正确;

故选:A. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的求法,考查计算能 力. 10. (2014 春?龙港区校级月考)如果函数 y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是 4π,那么 常数 ω 为( ) A.4 B.2 C. D.

考点: 二倍角的正弦. 分析: 逆用二倍角正弦公式,得到 y=Asin(ωx+φ)+b 的形式,再利用正弦周期公式和周期 是求出 ω 的值 解答: 解:∵ y=sin(ωx)cos(ωx)= sin(2ωx) ,
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∴ T=2π÷2ω=4π ∴ ω= , 故选 D 点评: 二倍角公式是高考中常考到的知识点,特别是余弦角的二倍角公式,对它们正用、逆 用、变形用都要熟悉,本题还考的周期的公式求法,记住公式,是解题的关键,注意 ω 的正负,要加绝对值. 11. (2012?重庆)设 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则 tan(α+β)的值为( A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
2



考点: 两角和与差的正切函数;根与系数的关系. 专题: 计算题. 2 分析: 由 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,利用根与系数的关系分别求出 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值,然后将 tan(α+β)利用两角和与差的正切函数公式化简后,将 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值代入即可求出值. 2 解答: 解:∵ tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根, ∴ tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2,
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则 tan(α+β)=

=

=﹣3.

故选 A 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,以及根与系数的关系,利用了整体代入的思
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想,熟练掌握公式是解本题的关键.

12. (2012?陕西)设向量 =(1,cosθ)与 =(﹣1,2cosθ)垂直,则 cos2θ 等于 ( A. B. C.0 D.﹣1



考点: 二倍角的余弦;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 由两向量的坐标,以及两向量垂直,根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为
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0,得出 2cos θ﹣1 的值,然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后,将 2 2cos θ﹣1 的值代入即可求出值. 解答: 解:∵ =(1,cosθ) , =(﹣1,2cosθ) ,且两向量垂直, ∴ ? =0,即﹣1+2cos θ=0, 则 cos2θ=2cos θ﹣1=0. 故选 C 点评: 此题考查了平面向量的数量积运算法则,以及二倍角的余弦函数公式,熟练掌握公式 及法则是解本题的关键. 二.填空题(共 6 小题) 13. (2014?上海)设常数 a 使方程 sinx+ x3,则 x1+x2+x3= . cosx=a 在闭区间[0,2π]上恰有三个解 x1,x2,
2 2

2

考点: 正弦函数的图象;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先利用两角和公式对函数解析式化简,画出函数 y=2sin(x+
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)的图象,方程的解

即为直线与三角函数图象的交点,在[0,2π]上,当 a= 时,直线与三角函数图象恰 有三个交点,进而求得此时 x1,x2,x3 最后相加即可. 解答: 解:sinx+ cosx=2( sinx+ cosx)=2sin(x+ )=a, 如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在[0,2π]上,当 a= 角函数图象恰有三个交点, 令 sin(x+ )= ,x+ =2kπ+ ,即 x=2kπ,或 x+ =2kπ+ 时,直线与三

,即 x=2kπ+



∴ 此时 x1=0,x2= ∴ x1+x2+x3=0+ 故答案为:

,x3=2π, +2π= .

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点评: 本题主要考查了三角函数图象与性质. 运用了数形结合的思想, 较为直观的解决问题.

14. (2014?重庆)将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 标缩短为原来的一半, 纵坐标不变, 再向右平移 = .

≤φ<

)图象上每一点的横坐 )

个单位长度得到 y=sinx 的图象, 则f (

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 哟条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得 sin(2ωx+φ﹣
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ω)=sinx,

可得 2ω=1,且 φ﹣ 而求得 f( )的值.

ω=2kπ,k∈z,由此求得 ω、φ 的值,可得 f(x)的解析式,从

解答: 解:函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣

≤φ<

)图象上每一点的横坐标缩短为

原来的一半,纵坐标不变,可得函数 y=sin(2ωx+φ)的图象. 再把所得图象再向右平移 =sin(2ωx+φ﹣ ∴ 2ω=1,且 φ﹣ ∴ ω= ,φ= ∴ f( 个单位长度得到函数 y=sin[2ω(x﹣ )+φ)]

ω)=sinx 的图象, ω=2kπ,k∈Z, ) ,

+2kπ,∴ f(x)=sin( x+ + )=sin = .

)=sin( .

故答案为:

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.
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15. (2015?安徽) △ ABC 是边长为 2 的等边三角形, 已知向量 则下列结论中正确的是 ① ④ ⑤ . (写出所有正确结论得序号) ① 为单位向量;② 为单位向量;③

满足

=2 , =2 + ,

;④ ∥ ;⑤ (4 + )⊥ .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 开放型;平面向量及应用. 分析: 利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择. 解答: 解:△ ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 满足 =2 , =2 + ,
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则 = 因为

,AB=2,所以| |=1,即 是单位向量;① 正确; =2 ,所以 ,故| |=2;故② 错误;④ 正确;

夹角为 120°,故③ 错误; ⑤ (4 + )? =4 =4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0;故⑤ 正确.

故答案为:① ④ ⑤ . 点评: 本题考查了向量的数量积运用;注意三角形的内角与向量的夹角的关系.
2 2

16. (2015?山东) 过点 P(1, .

)作圆 x +y =1 的两条切线,切点分别为 A, B, 则

=

考点: 平面向量数量积的运算;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据直线与圆相切的性质可求 PA=PB,及∠ ∠ APB,然后代入向量数量积的定义可求
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. 解答: 解:连接 OA,OB,PO 则 OA=OB=1,PO=,2,OA⊥ PA,OB⊥ PB, Rt△ PAO 中,OA=1,PO=2,PA= ∴ ∠ OPA=30°,∠ BPA=2∠ OPA=60° ∴ = = =

故答案为:

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点评: 本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用, 属于基础试 题. 17. (2015?浙江)函数 f(x)=sin x+sinxcosx+1 的最小正周期是 π ,单调递减区间是 [kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) .
2

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由三角函数公式化简可得 f(x)= sin(2x﹣ )+ ,易得最小正周期,解不等式
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2kπ+

≤2x﹣

≤2kπ+
2

可得函数的单调递减区间.

解答: 解:化简可得 f(x)=sin x+sinxcosx+1 = (1﹣cos2x)+ sin2x+1 = sin(2x﹣ )+ , = π, 可得 kπ+ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ](k∈Z) ,

∴ 原函数的最小正周期为 T= 由 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+

∴ 函数的单调递减区间为[kπ+ 故答案为:π;[kπ+ ,kπ+

](k∈Z)

点评: 本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.

18. (2015?江苏)已知 tanα=﹣2,tan(α+β)= ,则 tanβ 的值为
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3 .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用两角和的正切函数,求解即可. 解答: 解:tanα=﹣2,tan(α+β)= ,
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可知 tan(α+β)= 即 = ,

= ,

解得 tanβ=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查. 三.解答题(共 3 小题) 19. (2015?北京)已知函数 f(x)=sinx﹣2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最小值. sin
2

考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f(x)=2sin(x+ )﹣ ,由三角
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函数的周期性及其求法即可得解; (2)由 x∈[0, ],可求范围 x+ ∈[ ,π],即可求得 f(x)的取值范围,即可

得解. 解答: 解: (1)∵ f(x)=sinx﹣2 =sinx﹣2 =sinx+ × cosx﹣ )﹣

sin

2

=2sin(x+

∴ f(x)的最小正周期 T= (2)∵ x∈[0, ∴ x+ ∈[ ],

=2π;

,π], )∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x+
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∴ sin(x+

)﹣

∈[﹣

,2﹣

],

∴ 可解得 f(x)在区间[0,

]上的最小值为:﹣



点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的 最值的应用,属于基本知识的考查.

20. (2014?山东)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x) 的图象过点( , )和点( ,﹣2) .

(Ⅰ )求 m,n 的值; (Ⅱ )将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g (x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 考点: 平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )由题意可得 函数 f(x)=msin2x+ncos2x,再由 y=f(x)的图象过点( , )
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和点(

,﹣2) ,解方程组求得 m、n 的值. ) ,根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规

(Ⅱ )由(Ⅰ )可得 f(x)=2sin(2x+ 律求得 g(x)=2sin(2x+2φ+ 求得 φ=

)的图象,再由函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上,

,可得 g(x)=2cos2x.令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得 x 的范围,可得 g

(x)的增区间. 解答: 解: (Ⅰ )由题意可得 函数 f(x)= ? =msin2x+ncos2x,

再由 y=f(x)的图象过点(



)和点(

,﹣2) ,可得



解得 m=

,n=1. sin2x+cos2x=2( sin2x+ cos2x)=2sin(2x+ ) .

(Ⅱ )由(Ⅰ )可得 f(x)=

将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后, 得到函数 g(x)=2sin[2(x+φ)+ ]=2sin(2x+2φ+ )的图象,显然函数 g(x)最

高点的纵坐标为 2. y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 故函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上, ∴ 2φ+ =2kπ+ ,k∈Z,结合 0<φ<π,可得 φ= ,

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故 g(x)=2sin(2x+

)=2cos2x. ≤x≤kπ, ,kπ],k∈Z.

令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得 kπ﹣ 故 y=g(x)的单调递增区间是[kπ﹣

点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,三角恒等变换,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 变换规律,余弦函数的单调性,体现了转化的数学思想,属于中档题. 21. (2015?浙江)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan( =2. (Ⅰ )求 (Ⅱ )若 B= 的值; ,a=3,求△ ABC 的面积.

+A)

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正切函数. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )由两角和与差的正切函数公式及已知可得 tanA,由倍角公式及同角三角函数关 系式即可得解.
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(Ⅱ )由 tanA= ,A∈(0,π) ,可得 sinA,cosA.又由正弦定理可得 b,由 sinC=sin (A+B)=sin(A+ 解答: 解: (Ⅰ )由 tan( 所以 ) ,可得 sinC,利用三角形面积公式即可得解. +A)=2.可得 tanA= , = = . ,cosA= , .

(Ⅱ )由 tanA= ,A∈(0,π) ,可得 sinA= 又由 a=3,B= 及正弦定理

,可得 b=3 ) ,可得 sinC= .

由 sinC=sin(A+B)=sin(A+

设△ ABC 的面积为 S,则 S= absinC=9. 点评: 本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用,同时考 查了运算求解能力,属于中档题.

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