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1 求二次函数的函数关系式



二次函数的图象与性质 第 1 课 求二次函数的函数关系式 【要点提示】 一、在求某些与抛物线有关问题的函数关系式时,通常先建立直角坐标系,再依据条件求出二次 函数的关系式,最后利用二次函数的解析式解决有关问题。 二、二次函数解析式有三种形式: (1) 、一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0) (2) 、顶点式:y=a(x-h)2+k (a,h,k 为常数,a≠0) (3) 、两根式:y=a(x-x1)(x-x2) (a,x1,x2 为常数,a≠0) 1、二次函数 y ? ?x2 ? bx ? c 图象的最高点是(-1,-3) ,则 b、c 的值是( A. b=2,c=4 B. b=2,c= -4 C. b= -2,c=4 ) )

D. b= -2,c= -4

2、二次函数 y ? x2 ? x ?1的图象与 x 轴的交点个数是( A.0 B.1 C.2

D.不能确定

3、函数 y ? ax2 ? 4x ?1 的对称轴是 x=2,则 a=___________. 4、已知点(2,5) (4,5)是抛物线 y ? ax2 ? bx ? c( a ? 0) 上的两点,则这条抛物线的对称轴方程为 , _________. 5、已知抛物线经过 A(1,-4) ,B(-1,0) ,C(-2,5)三点,求此抛物线的解析式。

6、直线 y=x-2 与抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 相交于(2,m)(n,3)两点,抛物线的对称轴是 x=3,求抛物 , 线的解析式.

7、求满足下列条件的二次函数的解析式: ⑴图象经过 A(0,3) ,B(1,3) ,C(-1,1); ⑵图象经过 A(-1,0) ,B(3,0) ,函数有最小值-8;⑶图象顶点坐标为(1,-6) ,且经过点(2,-8)

8、已知二次函数的对称轴是 x+3=0,图象过点(1,-6) ,且与 y 轴交于点(0, ? ⑵当 x 为何值时,此函数值为 0?⑶当 x 为何值时,y>0?

5 ).⑴求此函数解析式; 2

9、如图 26-2-3-4,宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥,桥面(视为水平的)与主悬钢索之间用垂 直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是 187.5 米,桥的单孔跨度(即两主塔之间的距离)900 米,这里水面的海拔高度是 74 米. 若过主塔塔顶的主悬钢索(视为抛物线)最低点离桥面(视为直线)的高度为 0.5 米,桥面离水 面的高度为 19 米.请你计算距离桥两端主塔 100 米处垂直钢拉索的长.(结果精确到 0.1 米) y

O
图26-2-3-4

x

(直角坐标系供思考用)

〔探究题〕勤于思考,勇于挑战,才能突破自我! 10、请写出一个开口向上,对称轴为直线 x=2,且与 y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析 式 .


11、已知二次函数y=ax -4a图像的顶点坐标为(0,4)矩形ABCD在抛物线与x轴围成 的图形内,顶点B、C在x轴上,顶点A、D在抛物线上,且A在D点的右侧, (1)求二次函数的解析式; (2)设点A的坐标为(x,y)试求矩形ABCD的周长L与自变 量x的函数关系;(3)周长为10的矩形ABCD是否存在?若存在,请求出顶点A的坐标;若不存 在,请说明理由。

12、阅读材料,解答问题。 当抛物线的解析式中有含字母系数时,随着系数中的字母取值的不同,抛物线的顶点坐标也将发生变 化,例如:由抛物线 y ? x2 ? 2mx ? m2 ? 2m ?1??① 有 y ? ( x ? m)2 ? 2m ?1?? ② ∴抛物线的顶点坐标为(m,2m-1) ,即 ?

? x ? m??③ ? y ? 2m ? 1??④

当 m 的值变化时,x,y 的值也随之变化,因而 y 值也随 x 值的变化而变化。 将③代入④得 y=2x-1 ? ⑤ ? 可见,不论 m 取任何实数,抛物线顶点的纵坐标 y 和横坐标 x 都满足关系式 y=2x-1。 ⑴在上述过程中,由①到②所用的数学方法是__________,其中运用了________公式,由③、④得到

⑤所用的数学方法是__________ ⑵根据阅读材料提供的方法, 确定抛物线 y ? x2 ? 2mx ? 2m2 ? 3m ?1 顶点的纵坐标 y 与横坐标 x 之间 的关系式。

参考答案
A 1、D 2、A 3、-1 B 4、x=3 5、 y ? x2 ? 2x ? 3

6、解析:把(2,m)的坐标代入 y ? x ? 2 得 m=0,把(n,3)的坐标代入 y ? x ? 2 得 n=5,∴两图象 交于(2,0)(5,3)两点。设抛物线为 y ? a( x ? 3)2 ? c ,把(2,0)(5,3)的坐标代入,得 ? , ,

?a ? c ? 0 ? 4a ? c ? 3

解得 ?

?a ? 1 ∴ y ? ( x ? 3)2 ?1 ? x2 ? 6x ? 8 c ? ?1 ?

7、解:⑴设解析式为 y ? ax2 ? bx ? c ,

?c ? 3 ?a ? ?1 ? ? 把 A(0,3) ,B(1,3) ,C(-1,1)各点代入上式得 ? a ? b ? c ? 3 解得 ?b ? 1 ?a ? b ? c ? 1 ?c ? 3 ? ?
所以解析式为 y ? ?x2 ? x ? 3 ⑵因图象过 A(-1,0) ,B(3,0) ,可设解析式为 y ? a( x ?1)( x ? 3) ? ax2 ? 2ax ? 3a 又因函数有最小值-8,所以函数开口向上,所以 因 a≠0,所以 a=2 所以解析式为 y ? 2x2 ? 4x ? 6 ⑶设所求二次函数为 y ? a( x ?1)2 ? 6 因图象经过点(2,-8) ,将 x=2,y=-8 代入上式得 ?8 ? a(2 ?1)2 ? 6 解得 a=-2 所以二次函数解析式为 y ? ?2( x ?1)2 ? 6即y ? ?2x2 ? 4x ? 8 8、⑴ y ? ? ( x ? 3) ? 2 ⑵x= -1 或 -5
2

4ac ? b 2 4a (?3a ) ? (2a ) 2 ? ?8 即 ? ?8 4a 4a

1 2

⑶-5<x<-1

9、解:如图,以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点,以桥面所在的直线为 x 轴建立 平面直角坐标系. 则 A(0,0.5) ,B(-450, 94.5), 由题意,设抛物线为:y=ax +0.5.
A o x
2

y

C(450,94.5).

B

C

将 C(450,94.5)代入求得:

a?

47 94 47 或a ? .∴ y ? x2 ? 0.5 2 101250 450 101250

当 x=350 时,y=57.4;当 x=400 时,y=74.8. ∴离桥两端主塔 100 米处竖直钢拉索的长都约为 57.4 米,离桥两端主塔 50 米处竖直钢拉索的长度约为 74.8 米. 10、解:设抛物线解析式为 y ? ax2 ? bx ? c ∵对称轴为直线 x=2,与 y 轴的交点坐标为(0,3) ∴?

b ? 2 ,即 b=-4a ;c=3 2a

∴所写抛物线解析式只要满足上面两个条件即可。 11、解:⑴由题意得-4a=4 ∴a=-1 ∴二次函数的解析式为y=-x2+4 ?⑵?设点A(x?,y) ∵点A在抛物线y=-x2+4上 ∴y=-x2+4则 2 AD=2x,AB=-x +4 ∴L=2(AD+AB)=2(2x-x2+4)=-2x2+4x+8? 由题意可得 x 得取值范围是:0<x<2? 2 ?⑶?当L=10时 -2x +4x+8=10 x2-2x+1=0 解得 x1=x2=1 ∴当x=1时,y=-12+4=3 ∴存在周长为10的矩形ABCD,且点A的坐标为(1,3) 12、⑴配方法 完全平方 消元法
2 2 2 ⑵ y ? x2 ? 2mx ? 2m2 ? 3m ?1 = x ? 2mx ? m ? m ? 3m ? 1= ( x ? m)2 ? m2 ? 3m ?1∴该抛物线的顶

点坐标为( m, m2 ? 3m ?1 ) 。即 ?

?x ? m ? y ? m ? 3m ? 1
2

将⑴代入⑵,得 y ? x2 ? 3x ?1 。∴所给抛物线顶点

的纵坐标 y 与横坐标 x 的关系式为 y ? x2 ? 3x ?1 .



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