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教师用书·课堂过关1



最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习

课堂过关
第一章 集合与常用逻辑用语 第 1 课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1~2 页)

集合与集合之间的 了解集合的含义;体会元素与集合的“属于” ① 学会区分集合与元素, 关系. 关系; 能用自然语言、 图形语言、 集合语言(列 ② 学会自然语言、图形语

言、集合语言之间 举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问 的互化. 题;了解集合之间包含与相等的含义;能识 ③ 集合含义中掌握集合的三要素. 别给定集合的子集;了解全集与空集的含义. ④ 不要求证明集合相等关系和包含关系.

1. (必修 1P10 第 5 题改编)已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m=________. 3 答案:- 2 解析:因为 3∈A,所以 m+2=3 或 2m2+m=3.当 m+2=3,即 m=1 时,2m2+m=3, 3 此时集合 A 中有重复元素 3,所以 m=1 不合题意,舍去;当 2m2+m=3 时,解得 m=- 或 2 3 1 3 m=1(舍去),此时当 m=- 时,m+2= ≠3 满足题意.所以 m=- . 2 2 2 2. (必修 1P7 第 4 题改编)已知集合 A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y<2,x、y∈Z},用列举 法可以表示集合 A 为________. 答案:{(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} ? ?-1≤x≤1,x∈Z, 解析:集合 A 表示不等式组? 确定的平面区域上的格点集合,所以用 ?0≤y<2,y∈Z ? 列举法表示集合 A 为{(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. 3. (必修 1P17 第 6 题改编)已知集合 A=[1, 4), B=(-∞, a), A ? ? B, 则 a∈________. 答案:[4,+∞) 解析:在数轴上画出 A、B 集合,根据图象可知. 4. (原创)若集合 A={x|y= x+1,x∈R},B={y|y=x2-1,x∈R},则集合 A、B 的关 系是________. 答案:A=B 解析:由集合 A、B 的意义得 A={x|x≥-1},B={y|y≥-1},所以 A=B. 5. (必修 1P9 练习 1 改编)设 M 为非空的数集,M ?{0,1,2,3},且 M 中至少含有一个 偶数元素,则这样的集合 M 共有________个. 答案:12 解析:集合{0,1,2,3}的所有子集共有 24=16(个),只含有奇数的集合{1,3}的所有 子集共有 22=4(个),故满足要求的集合 M 共有 16-4=12(个).

1. 集合的含义及其表示 (1) 集合的定义:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.其

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 中集合中的每一个对象称为该集合的元素. (2) 集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性. (3) 集合的常用表示方法:列举法、描述法、Venn 图法. (4) 集合的分类:若按元素的个数分类,可分为有限集、无限集、空集;若按元素的属 性分类可分为点集、数集等.应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合,解题时切勿忽 视空集的情形. ? (5) 常用数集及其记法:自然数集记作 N;正整数集记作 N 或 N+;整数集记作 Z;有 理数集记作 Q;实数集记作 R;复数集记作 C. 2. 两类关系 (1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系,反映了个体与整体之间的从属关系. (2) 集合与集合之间的关系 ① 包含关系:如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 称为集合 B 的子集, 记为 A ? ? B 或 B ? ? A, 读作“集合 A 包含于集合 B”或“集合 B 包含集合 A”. ② 真包含关系:如果 A ? ? B,并且 A≠B,那么集合 A 称为集合 B 的真子集,记为 AB 或 BA,读作“集合 A 真包含于集合 B”或“集合 B 真包含集合 A”. ③ 相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,即 A 中的元素都是 B 中的元素且 B 中的元素都是 A 中的元素,则称这两个集合相等. (3) 含有 n 个元素的集合的子集共有 2n 个,真子集共有 2n-1 个,非空子集共有 2n-1 个,非空真子集有 2n-2 个.

题型 1 集合的基本概念 例 1 已知集合 A={x|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1) 若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2) 若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并将这个元素写出来; (3) 若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围. 9 解: (1) 若 A 是空集,则Δ=9-8a<0,解得 a> . 8 9 9 (2) 若 A 中只有一个元素,则Δ=9-8a=0 或 a=0,解得 a= 或 a=0;当 a= 时,这 8 8 4 2 个元素是 ;当 a=0 时,这个元素是 . 3 3 9 (3) 由(1)(2)知,当 A 中至多有一个元素时,a 的取值范围是 a≥ 或 a=0. 8 备选变式(教师专享) 已知 a≤1 时,集合[a,2-a]中有且只有 3 个整数,则 a 的取值范围是________. 答案:-1<a≤0 解析:因为 a≤1,所以 2-a≥1,所以 1 必在集合中.若区间端点均为整数,则 a=0, 集合中有 0,1,2 三个整数,所以 a=0 适合题意;若区间端点不为整数,则区间长度 2<2 -2a<4,解得-1<a<0,此时,集合中有 0,1,2 三个整数,-1<a<0 适合题意.综上,a 的 取值范围是-1<a≤0. 变式训练 k 1 ? ? k 1 x= + ,k∈Z?,N={x|x= + ,k∈Z},则 M________N. 设集合 M=?x? 2 4 4 2 ? ? ? 答案:真属于 题型 2 集合间的基本关系 例 2 (2014· 兴化期中)已知集合 A={x|4-2k<x<2k-8}, B={x|-k<x<k}, 若 A ? B, 则 实数 k 的取值范围是____________. 答案:(0, 4]

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 解析:由 A 真属于 B 知,B≠ ?,-k<k,即 k>0.若 A= ?,则还需 4-2k≥2k-8,∴ ?4-2k<2k-8, 0<k≤3.若 A≠ ?,则?-k≤4-2k,

?

? ?2k-8≤k,

∴ 3<k≤4.综上,实数 k 的取值范围是(0, 4] . 备选变式(教师专享) (2014· 启东中学期中)已知集合 M={x|5-|2x-3|∈N*},则 M 的所有非空真子集的个数 是________. 答案:254 1 1 5 7 解析:∵ 5-|2x-3|∈N*,∴ |2x-3|=1,2,3,4,∴ x=- ,0, ,1,2, ,3, , 2 2 2 2 1 1 5 7 即 M={- ,0, ,1,2, ,3, },故 M 中共有 8 个元素,因此 M 的所有非空真子集的 2 2 2 2 8 个数是 2 -2=254. 变式训练 b ? ? 集合 A=?a,a ,1?,集合 B={a2,a+b,0},若 A=B,求 a2 014+b2 015 的值. ? ? b 解:由于 a≠0,由 =0,得 b=0,则 A={a,0,1},B={a2,a,0}.由 A=B,可得 a a2=1.又 a2≠a,则 a≠1,则 a=-1.所以 a2 014+b2 015=1. 题型 3 根据集合的关系求参数的取值范围 例 3 集合 A={x|-2≤x≤5},集合 B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1) 若 B ? A,求实数 m 的取值范围; (2) 当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1) 当 m+1>2m-1 即 m<2 时,B= ?满足 B ? A; ? ?m+1≥-2, 当 m+1≤2m-1 即 m≥2 时,要使 B ? A 成立,则? 解得 2≤m≤3. ?2m-1≤5, ? 综上所述,当 m≤3 时有 B ? A. (2) 因为 x∈R, 且 A={x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1}, 又没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,则 ① 若 B= ?,即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件; ?m+1≤2m-1, ?m+1≤2m-1, ? ? ② 若 B≠ ?,则要满足条件? 解得 m>4;或? 无解. ? ? ?m+1>5, ?2m-1<-2, 综上所述,实数 m 的取值范围为 m<2 或 m>4. 备选变式(教师专享) 已知集合 A={y|y=-2x,x∈[2,3]},B={x|x2+3x-a2-3a>0}.若 A ? B,求实数 a 的取值范围. 解:由题意有 A=[-8,-4],B={x|(x-a)(x+a+3)>0}. 3? 3 ? x∈R,x≠- ?,所以 A ? B 恒成立; ① 当 a=- 时,B=?x? 2? 2 ? ? 3 ② 当 a<- 时,B={x|x<a 或 x>-a-3}.因为 A ? B,所以 a>-4 或-a-3<-8,解得 2 3 a>-4 或 a>5(舍去),所以-4<a<- ; 2 3 ③ 当 a>- 时,B={x|x<-a-3 或 x>a}.因为 A ? B,所以-a-3>-4 或 a<-8(舍去), 2 3 解得- <a<1. 2 综上,当 A ? B 时,实数 a 的取值范围是(-4,1).

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 1. 已知全集 S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},?SA={3},则实数 a 等于________. 答案:2 ?a=2, ? 解析:由题意,知? 2 则 a=2. ? ?a -2a+3=3, 2. (2014· 潍坊模拟改)设集合 A={1,2,3},B={4,5},C={x|x=b-a,a∈A,b∈B}, 则 C 中元素的个数是________. 答案:4 解析:∵ A={1,2,3},B={4,5},∴ C={x|x=b-a,a∈A,b∈B}={1,2,3, 4},∴ C 中共有 4 个元素. 1 1 ? ? 3. 若 x∈A,则 ∈A,就称 A 是“伙伴关系集合”,集合 M=?-1,0,2,2,3?的所 x ? ? 有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________. 答案:3 1 解析:具有伙伴关系的元素组是-1; ,2,所以具有伙伴关系的集合有 3 个:{-1}, 2 1 ? ?1 ? ? ? ,2?,?-1, ,2?. 2 ? ?2 ? ? 4. 已知全集 U=R,集合 M={x|-2≤x-1≤2}和 N={x|x=2k-1,k=1,2,?}的韦 恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有________个.

答案:2 解析: 由题图示可以看出阴影部分表示集合 M 和 N 的交集, 所以由 M={x|-1≤x≤3}, 得 M∩N={1,3},有 2 个. 5. (2014· 全国交流卷改)已知集合 A={a1,a2,?,an},其中 ak>0(k=1,2,?,n,n∈ * N ),集合 B={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A},则集合 B 的元素至多有________个. (n-1)n 答案: 2 (1+n-1)(n-1) n(n-1) 解析:集合 B 的元素至多有 1+2+3+?+(n-1)= = 2 2 个.

1. (2014· 郑州质检改)已知集合 A={x|x>2},B={x|x<2m},且 A ? (?RB),则 m 的值 可以是________. 答案:1 解析:易知?RB={x|x≥2m},要使 A ? (?RB),则 2m≤2,∴ m≤1. 2. (2014· 宁波模拟)已知集合 M={1,m},N={n,log2n}.若 M=N,则(m-n)2 015= ________. 答案:-1 或 0 ? ? ? ?n=1, ?n=m, ?n=1, ? ?n=2, 解析:因为 M=N,所以? 或? 即? 或? 故(m-n)2 015=-1 ?log2n=m ? ?log2n=1, ? ?m=0 ?m=2. ? ? 或 0. ? ?ax-1 ? <0?,且 2∈A,3 ? A,则实数 a 的取值范围是________. 3. 已知集合 A=?x? ? ? x-a ? 1 1 ? 答案:? ?3,2?∪(2,3]

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 2a-1 1 解析:因为 2∈A,所以 <0,即(2a-1)(a-2)>0,解得 a>2 或 a< .① 2 2-a 3a-1 1 1 若 3∈A,则 <0,即(3a-1)(a-3)>0,解得 a>3 或 a< ,所以 3 ? A 时, ≤a≤ 3 3 3-a 3.② 1 1? 由①②可知,实数 a 的取值范围为? ?3,2?∪(2,3]. 4. (2014· 福建)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:① a≠2;② b=2;③ c≠0 有且只有一个正确,则 100a+10b+c=________. 答案:201 解析: 若①正确,则②③不正确,由③不正确得 c=0,由①正确得 a=1,所以 b=2, 与②不正确矛盾,故①不正确;若②正确,则①③不正确,由①不正确得 a=2,与②正确矛 盾,故②不正确;若③正确,则①②不正确,由①不正确得 a=2,由②不正确及③正确得 b =0,c=1,故③正确.故 100a+10b+c=100?2+10?0+1=201. 1. 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描 述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分{x|y=f(x)}、{y|y=f(x)}、{(x, y)|y=f(x)}三者的不同.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素 是否满足互异性. 2. 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合 非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A ? B,则需考虑 A= ?和 A≠ ?两种可能 的情况. 3. 判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系; 二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. 4. 已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而 转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析. 请使用课时训练(A)第 1 课时(见活页).

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 第 2 课时 集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3~4 页)

① 在给定集合中会求一个子集的补集,补集 理解两个集合的交集与并集的含义;会求两 的含义在数学中就是对立面. 个简单集合的交集与并集,理解给定集合的 ② 会求两个简单集合的交集与并集;交集的 关键词是“且”,并集的关键词是“或”. 一个子集的补集的含义;会求给定子集的补 ③ 会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运 集,会用韦恩图表示集合的关系及运算. 算;对于数集有时也可以用数轴表示.

1. (必修 1P14 习题 10 改编)已知全集 U={x|x<4,且 x∈N},集合 A={0,1},B={1,2, 3},则(?UA)∩B=________. 答案:{2,3} 解析: 全集 U={0, 1, 2, 3}, A={0, 1}, ∴ ?UA={2, 3}. 又 B={1, 2, 3}, ∴ (?UA)∩B ={2,3}. 2. (必修 1P17 第 13 题改编)A、 B 是非空集合, 定义 A?B={x|x∈A∪B, 且 x ? A∩B}. 若 2 x A={x|y= x -3x},B={y|y=3 },则 A?B=________. 答案:(-∞,3) 解析:A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(0,+∞).A∪B=R,A∩B=[3,+∞).所以 A ?B=(-∞,3). 3. (必修 1P14 习题 10 改编)已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B=[3,+∞), 则图中阴影部分所表示的集合为________.

答案:{1,2} 解析:由题意,阴影部分表示 A∩(?UB).因为?UB={x|x<3},所以 A∩(?UB)={1,2}. 4. (必修 1P12 例 2 改编)某班有 50 名学生报名参加 A、 B 两项比赛, 参加 A 项的有 30 人, 参加 B 项的有 33 人,且 A、B 都不参加的同学比 A、B 都参加的同学的三分之一多一人,则 只参加 A 项、没有参加 B 项的学生有________人. 答案:9 解析:设 A、B 都参加的有 x 人,都不参加的有 y 人,如图所示.

30-x+x+33-x+y=50, ? ? 则? 1 解得 x=21. y= x+1, ? ? 3 故只参加 A 项,没有参加 B 项的同学有 30-21=9(人). 5. (必修 1P17 第 6 题改编)已知 A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则 A∩B
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 =B 时,a=________. 答案:1 或 2 解析:验证 a=1 时 B=?满足条件;验证 a=2 时 B={1}也满足条件.

1. 集合的运算 (1) 交集: 由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集, 记作 A∩B, 即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. (2) 并集: 由属于 A 或属于 B 的所有元素组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的并集, 记作 A∪B, 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. (3) 全集:如果集合 S 含有我们所研究的各个集合的全部元素,那么这个集合就可以看 作一个全集,通常用 U 来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集. (4) 补集:集合 A 是集合 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做 A 的补集(或余集),记作?SA,即?SA={x|x∈S,但 x ? A}. 2. 常用运算性质及一些重要结论 (1) A∩A=A,A∩ ?= ?,A∩B=B∩A; (2) A∪A=A,A∪ ?=A,A∪B=B∪A; (3) A∩(?UA)= ?,A∪(?UA)=U; (4) A∩B=A ? ? A ? ? B,A∪B=A ? ? B ? A; (5) ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

题型 1

集合的运算
? ? ? ?

? ? ?6 ? ?9-1?,x∈Z? ?, ?x ∈Z, x∈N?, 例 1 已知 U=?x? y = ln M = {x||x - 4| ≤ 1, x ∈ Z } , N = ? ?x ? ?x

则 M∩(?UN)=________. 答案:{4,5} 9 ? 9-x 9 解析: 集合 U 为函数 y=ln? 由 -1>0, 即 >0, 解得 0<x<9, ?x-1?的定义域内的整数集, x x 又 x∈Z,所以 x 可取 1,2,3,4,5,6,7,8,故 U={1,2,3,4,5,6,7,8}. 集合 M 为满足不等式|x-4|≤1 的整数集,解|x-4|≤1,得 3≤x≤5,又 x∈Z,所以 x 可取 3,4,5,故 M={3,4,5}. 6 6 6 集合 N 是使 为整数的自然数集合,显然当 x=1 时, =6;当 x=2 时, =3;当 x=3 x x x 6 6 时, =2;当 x=6 时, =1.所以 N={1,2,3,6}.所以 M∩(?UN)={4,5}. x x 变式训练 设集合 A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若 A∩B={9},求 A∪B. 解:由 9∈A,可得 x2=9 或 2x-1=9,解得 x=± 3 或 x=5. 当 x=3 时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B 中元素重复,故舍去; 当 x=-3 时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,故 A∪B= {-8,-7,-4,4,9}; 当 x=5 时,A={25,9,-4},B={0,-4,9}, 此时 A∩B={-4,9}与 A∩B={9}矛盾,故舍去. 综上所述,A∪B={-8,-7,-4,4,9}. 题型 2 根据集合的运算求参数的取值范围 例 2 (2014· 启东检测)已知集合 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2-4x+a=0,a∈R}. (1) 存在 x∈B,使得 A∩B≠ ?,求 a 的取值范围;

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 (2) 若 A∩B=B,求 a 的取值范围. 解:(1) 由题意得 B≠ ?,故Δ=16-4a≥0,解得 a≤4.① 令 f(x)=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,对称轴为 x=2, ∵ A∩B≠?,又 A=(-∞,-1)∪(3,+∞), ∴ f(3)<0,解得 a<3. ② 由①②得 a 的取值范围为(-∞,3). (2) ∵ A∩B=B,∴ B ? ? A. 当Δ=16-4a<0,即 a>4 时,B 是空集,这时满足 A∩B=B; 当Δ=16-4a≥0,即 a≤4. ③ 令 f(x)=x2-4x+a,对称轴为 x=2, ∵ A=(-∞,-1)∪(3,+∞)≠ ?, ∴ f(-1)<0,解得 a<-5.④ 由③④得 a<-5. 综上得 a 的取值范围为(-∞,-5)∪(4,+∞). 备选变式(教师专享) (2014· 兴化期中)已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|0≤ax+1≤3}.若 A∪B=B, 求实数 a 的取值组成的集合. ? ?0≤a+1≤3, 解:∵ A∪B=B,∴ A ? B,∴ ? ?0≤2a+1≤3, ? - 1 ≤ a ≤ 2 , ? ? 1 ∴ ? 1 ∴ - ≤a≤1. 2 ? ?-2≤a≤1. 1 ? ∴ 实数 a 的取值组成的集合为? ?-2,1?. 变式训练 已知 A={x|ax-1>0},B={x|x2-3x+2>0}. (1) 若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围; (2) 若 A∩?RB≠ ?,求实数 a 的取值范围. 1 解:(1) 由于 A∩B=A 得 A ? B,由题意知 B={x|x>2 或 x<1}.若 a>0,则 x> ≥2, a 1 1 得 0<a≤ ;若 a=0,则 A= ?,成立;若 a<0,则 x< <1,根据数轴可知均成立.综上 2 a 1 所述,a≤ . 2 1 (2) ?RB={x|1≤x≤2},若 a=0,则 A= ?,不成立;若 a<0,则 x< <1,不成立; a 1 1 1 1 若 a>0,则 x> ,由 <2 得 a> .综上所述,a> . a a 2 2 题型 3 集合的综合应用 例 3 (2014· 南通期中)已知集合 M={(x, y)|x-3≤y≤x-1}, N={P|PA≥ 2PB, A(-1, 0),B(1,0)},则表示 M∩N 的图形面积等于________. 8 答案:2 3+ π 3 解析:设 P(x,y),由 PA2≥2PB2,知(x+1)2+y2≥2(x-1)2+2y2.整理得(x-3)2+y2≤8, 则集合 M∩N 示意图如下:

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∴ SM∩N=S△HGN+2S 扇 GNF. 又 N(3,0)到 HG 距离 d= 2,从而△HGN 为等边三角形, 3 ∴ S△HGN= ?(2 2)2=2 3, 4 π 8 1 2S 扇 GNF=2? lr=lr=r2θ=8? = π. 2 3 3 8 综上知 M∩N 的图形面积为 S△HGN+ 2S 扇 GNF =2 3+ π. 3 备选变式(教师专享) ? ?y-3=3? ?,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且 (2014· 湖北八市联考)已知集合 M=?(x,y)? ?x-2 ? ? M∩N= ?,则 a=________. 答案:-6 或-2 解析:易知集合 M 中的元素表示的是过点(2,3)且斜率为 3 的直线上除点(2,3)外的所 有点.要使 M∩N= ?,则 N 中的元素表示的是斜率为 3 且不过点(2,3)的直线,或过点(2, a 3)且斜率不为 3 的直线,∴ - =3 或 2a+6+a=0,∴ a=-6 或 a=-2. 2 题型 4 集合运算有关的新定义问题 例 4(2014· 青 岛 模 拟 改 ) 用 C(A) 表 示 非 空 集 合 A 中 的 元 素 个 数 , 定 义 A*B = ?C(A)-C(B),C(A)≥C(B), ? ? 若 A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且 ?C(B)-C(A),C(A)<C(B), ? A*B=1,设实数 a 的所有可能取值构成的集合是 S,则 C(S)=________. 答案:3 解析:由 A={1,2},得 C(A)=2. 由 A*B=1,得 C(B)=1 或 C(B)=3. 由(x2+ax)(x2+ax+2)=0,得 x2+ax=0 或 x2+ax+2=0. 当 C(B)=1 时,方程(x2+ax)· (x2+ax+2)=0 只有实根 x=0,这时 a=0. 当 C(B)=3 时,必有 a≠0,这时 x2+ax=0 有两个不相等的实根 x1=0,x2=-a,方程 x2+ax+2=0 必有两个相等的实根,且异于 x1=0,x2=-a,由Δ=a2-8=0,得 a=± 2 2, 可验证均满足题意.故 S={-2 2,0,2 2},C(S)=3. 备选变式(教师专享) (必修 1P14 习题 13 改编)对任意两个集合 M、N,定义:M-N={x|x∈M 且 x ? N},M*N =(M-N)∪(N-M), 设 M={y|y=x2, x∈R}, N={y|y=3sinx, x∈R}, 则 M*N=________. 答案:{y|y>3 或-3≤y<0} 解析:∵ M={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},N={y|y=3sinx,x∈R}={y|-3≤y≤3},∴ M-N={y|y>3}, N-M={y|-3≤y<0}, ∴ M*N=(M-N)∪(N-M)={y|y>3}∪{y|-3≤y<0} ={y|y>3 或-3≤y<0}. 1. (2014· 盐城中学期中)若集合 A={-1,0,1},B={y|y=cos(π x),x∈A},则 A∩B =________. 答案:{-1,1} 解析:由题意,B={-1,1},所以 A∩B={-1,1}. 2. (2014· 山东卷改)设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则?R(A∪B)=
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 ________. 答案:(-∞,-1]∪(4,+∞) 解析:由题意,集合 A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以 A∪B={x|-1<x≤4}, ?R(A∪B)=(-∞,-1]∪(4,+∞). 3. 如图,已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 A={2,3,4,5,6,8}, B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ________.

答案:{2,8} 解析:阴影部分表示的集合为 A∩C∩(?UB)={2,8}. 4. (2014· 日照模拟)设集合 A={x|x2+2x-3>0}, B={x|x2-2ax-1≤0, a>0}. 若 A∩B 中恰含有一个整数,则实数 a 的取值范围是________. 3 4? 答案:? ?4,3? 解析:A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3},因为函数 y=f(x)=x2-2ax-1 的对 称轴为 x=a>0,f(-3)=6a+8>0,根据对称性可知,要使 A∩B 中恰含有一个整数,则这 3 a≥ , ? 4 4 - 4a - 1 ≤ 0 , ? 3 4 个整数解为 2,所以有 f(2)≤0 且 f(3)>0,即? 所以 即 ≤a< . 4 3 4 ?9-6a-1>0, ? a< , 3 5. 设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P-Q={x|x∈P,且 x ? Q},如果 P={x|log2x<1}, Q={x||x-2|<1},那么 P-Q=________. 答案:{x|0<x≤1} 解析:由 log2x<1,得 0<x<2,所以 P={x|0<x<2};由|x-2|<1,得 1<x<3,所以 Q= {x|1<x<3}.由题意,得 P-Q={x|0<x≤1}.

? ? ?

1. (2014· 通州中学期中)已知集合 A={x|x>2,或 x<-1},B={x|a≤x≤b}.若 A∪B= b R,A∩B={x|2<x≤4},则 =________. a 答案:-4 b 解析:由题意得 B={x|-1≤x≤4},∴ a=-1,b=4,故 =-4. a ? ??1?x ? 2 2. 设全集 U=R,集合 A=?x 2 ≥2?,B={y|y=lg(x +1)},则(?UA)∩B=________. ? ?? ? ? 答案:{x|x≥0} ? 1 x ? 解析: 由于 A=?x??2? ≥2?={x|x≤-1}, B={y|y=lg(x2+1)}={y|y≥0}, 所以(?UA)∩B ? ?? ? ? ={x|x>-1}∩{y|y≥0}={x|x≥0}. 2 3. 设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3) ≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1) 求(?IM)∩N; (2) 记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A=A,求实 数 a 的取值范围. 解:(1) ∵ M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴ ?IM={x|x∈R 且 x≠-3},

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 ∴ (?IM)∩N={2}. (2) A=(?IM)∩N={2}, ∵ A∪B=A, ∴ B ? A, ∴ B= ?或 B={2}, 当 B= ?时,a-1>5-a, ∴ a>3; ?a-1=2, ? 当 B={2}时,? 解得 a=3. ? ?5-a=2, 综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}. 4. 已知 A、B 均为集合 U={1,2,3,4,5,6}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={1}, (?UA)∩(?UB)={2,4},则 B∩(?UA)=________. 答案:{5,6} 解析:依题意及韦恩图得 B∩(?UA)={5,6}.

1. 集合的运算结果仍然是集合.进行集合运算时应当注意: (1) 勿忘对空集情形的讨论; (2) 勿忘集合中元素的互异性; (3) 对于集合 A 的补集运算,勿忘 A 必须是全集的子集; (4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围问题时,关键是将两集合间的关系转化为元 素或区间端点间的关系, 进而转化为参数满足的关系. 解决这类问题常常合理利用数轴、 Venn 图化抽象为直观.还要注意“回代检验”,从而对所求数值进行合理取舍. 2. 在集合运算过程中应力求做到“三化” (1) 意义化: 首先明确集合的元素的意义, 它是怎样的类型的对象(数集、 点集, 图形等)? 是表示函数的定义域、值域,还是表示方程或不等式的解集? (2) 具体化:具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等;不能 具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式. (3) 直观化:借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来,从而借 助数形结合思想解决问题. 请使用课时训练(B)第 2 课时(见活页). [备课札记]

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 第 3 课时 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5~6 页)

① 会分析四种命题的相互关系. ② 会判断必要条件、充分条件与充要条 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义; 件. 理解必要条件、充分条件、充要条件的意义;了 ③ 能用“或”“且”“非”表述相关的 数学内容(真值表不做要求). 解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义; 了解 全称量词与存在量词的意义; 了解含有一个量词 ④ 能用全称量词与存在量词叙述简单的 数学内容. 的命题的否定的意义. ⑤ 能正确地对含有一个量词的命题进行 否定.

1. 命题“ $ x∈R,|x|≤0”的否定是“________________”. 答案: " x∈R,|x|>0 解析:根据“ $ x∈M,p(x)”的否定为“ " x∈M, ? p(x)”可直接写出答案. 2. 若命题 p 的否命题为 q,命题 q 的逆否命题为 r,则 p 与 r 的关系是__________. 答案:互为逆命题 3. 已知 p、q 是 r 的充分条件,r 是 s 的充分条件,则 s 是 p 的__________条件. 答案:必要不充分 4. (原创)写出命题“若 x+y=5,则 x=3 且 y=2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判 断它们的真假. 答案:逆命题:若 x=3 且 y=2,则 x+y=5.是真命题. 否命题:若 x+y≠5,则 x≠3 或 y≠2.是真命题. 逆否命题:若 x≠3 或 y≠2,则 x+y≠5.是假命题. 5. 设函数 f(x)=log2x, 则“a>b”是“f(a)>f(b)”的________(填“充分不必要”“必要 不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件. 答案:必要不充分 解析:因为 f(x)=log2x 在区间(0,+∞)上是增函数,所以当 a>b>0 时,f(a)>f(b);反之, 当 f(a)>f(b)时,a>b.故“a>b”是“f(a)>f(b)”的必要不充分条件. 1 6. (课本习题综合改编)已知命题 p: " a∈R,且 a>0,a+ ≥2,命题 q: $ x0∈R,sinx0 a +cosx0= 3. 给出下列判断: ① p 是假命题;② q 是真命题;③ p 且( ? q)是真命题;④ ( ? p)且 q 是真命题. 其中正确的判断有________.(填序号) 答案:③ 解析:依题意可知,命题 p 为真,命题 q 为假,由真值表知,正确的命题只有③.

1. 四种命题及其关系 (1) 四种命题

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命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 (2) 四种命题间的逆否关系

表述形式 若 p,则 q 若 q,则 p 若非 p,则非 q 若非 q,则非 p

(3) 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 2. 充分条件与必要条件 (1) 如果 p ? q,那么称 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2) 如果 p ? q,且 q ? p,那么称 p 是 q 的充要条件,记作 p ? q. (3) 如果 p ? q,q?/p,那么称 p 是 q 的充分不必要条件. (4) 如果 q ? p,p?/q,那么称 p 是 q 的必要不充分条件. (5) 如果 p ? / q,且 q ? / p,那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 3. 简单的逻辑联结词 (1) 用联结词“且”联结命题 p 和命题 q,记作 p∧q,读作“p 且 q”. (2) 用联结词“或”联结命题 p 和命题 q,记作 p∨q,读作“p 或 q”. (3) 一个命题 p 的否定记作綈 p,读作“非 p”或“p 的否定”. (4) 命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断 p∧q 中 p、q 有一假为假,p∨q 有一真为真,p 与非 p 必定是一真一假. 4. 全称量词与存在量词 (1) 全称量词与全称命题 短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,并用符号 “? x”表示. 含有全称量词的命题,叫做全称命题. 全称命题“对 M 中任意一个 x, 都有 p(x)成立”可用符号简记为? x∈M, p(x), 读作“对 任意 x 属于 M,有 p(x)成立”. (2) 存在量词与存在性命题 短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,并用 符号“? x”表示. 含有存在量词的命题,叫做存在性命题. 存在性命题“存在 M 中的一个 x, 使 p(x)成立”可用符号简记为? x∈M, p(x), 读作“存 在一个 x 属于 M,使 p(x)成立”. 5. 含有一个量词的命题的否定 命题 ? " x∈M,p(x) 命题的否定

$ x∈M,p(x)
[备课札记]

$ x∈M, ? p(x) ? " x∈M, ? p(x)

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题型 1 充分、必要关系 例1 (2014· 黄冈中学改)下面四个命题: ① “直线 a∥直线 b”的充要条件是“a 平行于 b 所在的平面”; ② “直线 l⊥平面 α 内所有直线”的充要条件是“l⊥平面 α”; ③ “直线 a、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a、b 不相交”; ④ “平面 α∥平面 β”的必要不充分条件是“α 内存在不共线三点到 β 的距离相等”. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案:②④ 解析:由立体几何知识知“直线 a∥直线 b”是“a 平行于 b 所在的平面”的既不充分也 不必要条件, ①错误; “直线 a、 b 为异面直线”是“直线 a、 b 不相交” 的充分不必要条件, ③错误;由线面垂直的定义知,②正确;由 α 内不共线三点可能在 β 的同侧或异侧知,④正 确. 备选变式(教师专享) 把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. (1) 正三角形的三个内角相等; (2) 已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d. 解:(1) 原命题:若一个三角形是正三角形,则它的三个内角相等. 逆命题:若一个三角形的三个内角相等,则这个三角形是正三角形. 否命题:若一个三角形不是正三角形,则它的三个内角不全相等. 逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等,那么这个三角形不是正三角形. (2) 原命题:已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d. 逆命题:已知 a、b、c、d 是实数,若 a+c=b+d,则 a=b 且 c=d. 否命题:已知 a、b、c、d 是实数,若 a 与 b,c 与 d 不都相等,则 a+c≠b+d. 逆否命题:已知 a、b、c、d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a 与 b,c 与 d 不都相等. 题型 2 命题及其关系 例2 (2014· 苏州中学调研)已知命题 p:“若 a=b,则|a|=|b|”,则命题 p 及其逆命 题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是________. 答案:2 解析:由向量知识可知原命题为真,逆命题为假,由互为逆否命题等价知,p 的否命题 为假,逆否命题为真,故正确命题的个数为 2. 变式训练 (2014· 上海考前调研改)下列有关命题的说法正确的是________.(填序号) ① 命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1”; ② 若一个命题是真命题,则其逆命题也是真命题; ③ 命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是“对任意 x∈R,均有 x2+x+1<0”; ④ 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题. 答案:④ 解析:命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”,所以①不正确; 原命题与逆命题不等价, 所以②不正确; 命题“存在 x∈R, 使得 x2+x+1<0”的否定是“对 任意 x∈R,均有 x2+x+1≥0”,所以③不正确;命题“若 x=y ,则 sinx=siny”是真命题, 所以逆否命题为真命题,④正确. 题型 3 逻辑联结词及真假性判断 例 3 (2014· 阜宁中学调研)已知命题 p:指数函数 f(x)=(2a-6)x 在 R 上是单调减函数; 命题 q:关于 x 的方程 x2-3ax+2a2+1=0 的两根均大于 3.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 实数 a 的范围.

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 7 解:由 p 真得 0<2a-6<1,即 3<a< ; 2 9a2-4(2a2+1)≥0,

? ?3a 由 q 真得? 2 >3, ? ?9-9a+2a +1>0,
2

5 解得 a> ; 2

若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则 p、q 一真一假. 7 3<a< , 2 若 p 真 q 假,则 解集为 ?; 5 a≤ . 2 7 a≤3或a≥ , 2 5 7 若 p 假 q 真,则 解得 <a≤3 或 a≥ . 2 2 5 a> , 2 5 7 综上所述 <a≤3 或 a≥ . 2 2 备选变式(教师专享)

? ? ? ? ? ?

2-m 已知命题 p:不等式|x-1|>m 的解集是 R,命题 q:f(x)= 在区间(0,+∞)上是减函 x 数,若命题“p 或 q”为真,命题“p 且 q”为假,求实数 m 的取值范围. 解:当 p 真时,m<0,当 q 真时,2-m>0, 即 m<2; ? ?m≥0, ?m<0, ? 由命题“p 或 q”为真, 命题 “p 且 q”为假可得 p 真 q 假或 p 假 q 真, 故? 或? ?m<2. ?m≥2, ? ? 所以 0≤m<2. 所以实数 m 的取值范围是 0≤m<2. 题型 4 全称命题与存在命题 例 4 若命题“ $ x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ________. 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:∵ $ x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0 是真命题,∴ Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2 >4,∴ a-1>2 或 a-1<-2, ∴ a>3 或 a<-1. 备选变式(教师专享) (2014· 泗阳中学检测)已知实数 a>0,命题 p: $ x∈R,|sinx|>a 有解;命题 q: " ? x∈ π 3 π ? , ?,sin2x+asinx-1≥0. 4 ? ?4 (1) 写出 ? q; (2) 若 p 且 q 为真, 求实数 a 的取值范围. π 3π 解:(1) ? q:? x∈? , ?,sin2x+asinx-1<0; 4 ? ?4 (2) p 且 q 为真,则 p、q 同时为真,由于实数 a>0,则 p:0<a<1; π 3π 1 2 q:x∈? , ?时,sinx∈? ,1?,则由 sin2x+asinx-1≥0 得 a≥ -sinx,令 t= sinx 4 ? ?4 ?2 ? 2 sinx,则 t∈? ,1?, ?2 ? 1 1 2 2 2 函数 f(t)= -t 在区间(0, +∞)上为减函数, 则当 t∈? ,1?时, f(t)= -t≤f? ?= , t t ?2 ? ?2? 2 π 3π 1 2 要使 a≥ -sinx 在 x∈? , ?上恒成立,则 a≥ . sinx 2 4 ? ?4

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 2 ≤a<1. 2

综上可知,

1. 命 题 “ 所 有 能 被 2 整 除 的 数 都 是 偶 数 ” 的 否 定 是 ________________________________________________________________________ ________________________. 答案:存在一个能被 2 整除的数不是偶数 2. (2014· 南京、盐城一模)“p∨q 为真命题”是“ ? p 为假命题”成立的________条件. 答案:必要不充分 解析:“p∨q 为真命题”就是 p、q 中至少有一个为真;“ ? p 为假命题”即得 p 为真 命题,可见“ ? p 为假命题”可推出“p∨q 为真命题”,而“p∨q 为真命题”不能推出“綈 p 为假命题”,故“p∨q 为真命题”是“ ? p 为假命题”成立的必要不充分条件. 3. “ 若 a + b 为 偶 数 , 则 a 、 b 必 定 同 为 奇 数 或 偶 数 ” 的 逆 否 命 题 为 ______________________________. 答案:若 a、b 不同为奇数且不同为偶数,则 a+b 不是偶数 4.已知命题 p1:函数 y=ln(x+ 1+x2)是奇函数,p2:函数 y=x2为偶函数,则下列四 个命题:① p1∨p2;② p1∧p2;③ ( ? p1)∨p2;④ p1∧( ? p2).其中,真命题是________.(填 序号) 答案:①④ 解析:由函数的奇偶性可得命题 p1 为真命题,命题 p2 为假命题,再由命题的真值表可得 ②③为假,①④为真. 5.(2014· 海门调研)给出如下命题: ① 若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命题; ② 命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为“若 a≤b,则 2a≤2b-1”; ③ 命题“ $ x0∈R,2x0≤0”的否定是“ " x∈R,2x>0” ; ④ “a≥5” 是 “ " x∈[1,2],x2-a≤0 恒成立”的充要条件. 其中所有正确的命题是________. (填序号) 答案:②③
1

1. (2014· 启东检测)已知命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”,命题 q:“若 a 不是正数, 则它的平方等于 0”,则 p 是 q 的________.(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否 定”) 答案:否命题 解析:根据四种命题的关系知, “正数 a 的平方不等于 0”的否命题是“若 a 不是正数, 则它的平方等于 0”.故填“否命题”. 2. (2014· 海门调研)已知 f(x)=x2-2x+3,g(x)=kx-1,则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在 R 上恒成立”的________(填“充分不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分也不必 要”)条件. 答案:充分不必要 解析: 若 f(x)≥g(x)在 R 上恒成立, 即 x2-(2+k)x+4≥0 恒成立, 等价于(2+k)2-16≤0, 即 k∈[-6,2].由{k||k|≤2}?[-6,2]知, “|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在 R 上恒成立”的充分不 必要条件. 3. (2014· 江西师大三模改)下列命题正确的个数是________. 2 ① 命题“ $ x0∈R,x2 0+1>3x0”的否定是“ " x∈R,x +1≤3x”; 2 2 ② “函数 f(x)=cos ax-sin ax 的最小正周期为π ”是“a=1”的必要不充分条件; ③ x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立?(x2+2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立; ④ “平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a?b<0” .
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 答案:2 解析:根据存在性命题的否定是全称命题,∴ ①正确;f(x)= 1+cos2ax 1-cos2ax - = 2 2

2π cos2ax,最小正周期是 =π ? ? a=± 1,∴ ②正确;当 a=2 时,x2+2x≥2x 在 x∈[1, |2a| 2]上恒成立,而(x2+2x)min=3<2xmax=4,∴ ③不正确;∵ a· b=|a||b|cos〈a,b〉 ,当〈a,b〉 =π时 a· b<0,∴ ④错误. 故命题正确的个数是 2. 4. 设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,?), 求证:{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且 bn≤bn+1(n=1,2,3,?). 证明:必要性: 设{an}是公差为 d1 的等差数列,则 bn+1-bn=(an+1-an+3) - (an-an+2) = (an+1-an) - (an+3-an+2)= d1- d1=0, 所以 bn≤bn+1(n=1,2,3,?)成立. 又 cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)= d1+2d1 +3d1 =6d1(常数)(n= 1,2,3,?), 所以数列{cn}为等差数列. 充分性: 设数列{cn}是公差为 d2 的等差数列,且 bn≤bn+1(n=1,2,3,?). ∵ cn=an+2an+1+3an+2, ① ∴ cn+2=an+2+2an+3+3an+4, ② ①-②,得 cn-cn+2=(an-an+2)+2 (an+1-an+3)+3 (an+2-an+4)=bn+2bn+1+3bn+2. ∵ cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)= -2d2, ∴ bn+2bn+1+3bn+2=-2d2, ③ 从而有 bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2, ④ ④-③,得(bn+1-bn)+2 (bn+2-bn+1)+3 (bn+3-bn+2)=0.⑤ ∵ bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0,bn+3-bn+2≥0, ∴ 由⑤得 bn+1-bn=0(n=1,2,3,?). 由此不妨设 bn=d3 (n=1,2,3,?),则 an-an+2=d3(常数). 由此 cn=an+2an+1+3an+2 ? cn=4an+2an+1-3d3, 从而 cn+1=4an+1+2an+2-5d3, 两式相减得 cn+1-cn=2(an+1-an) -2d3, 1 1 因此 an+1-an= (cn+1-cn)+d3= d2+d3(常数) (n=1,2,3,?), 2 2 ∴ 数列{an}为等差数列.

1. 在判断四个命题间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件 与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性与等价性,判断四种命题真假的关键是熟 悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的,即“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否 命题同真同假”,而互逆命题、互否命题是不等价的,当一个命题直接判断不易进行时,通 常可转化为判断其等价命题的真假;而判断一个命题为假命题只需举出反例即可. 2. 充要条件的三种判断方法 (1) 定义法:根据 p ? q,q ? p 进行判断; (2) 集合法:根据 p、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断; (3) 等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命 题进行判断. 3. 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 (1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关 系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解; (2) 要注意区间端点值的检验. 4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1) p∨q:p、q 中有一个为真,则 p∨q 为真,即有真为真; (2) p∧q:p、q 中有一个为假,则 p∧q 为假,即有假即假; (3) 綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反. 5. 要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是存在性命题,对照否定结构去写, 并注意与否命题区别;否定的规律是“改量词,否结论”.判定全称命题“? x∈M,p(x)” 是真命题,需要对集合 M 中的每个元素 x,证明 p(x)成立;要判断存在性命题是真命题,只 要在限定集合内至少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立. 请使用课时训练(A)第 3 课时(见活页). [备课札记]

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第二章

函数与导数

第 1 课时 函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)7~8 页)

① 本节是函数部分的起始部分,以考查函数 概念、三要素及表示法为主,同时考查学生 在实际问题中的建模能力. ② 本节内容曾以多种题型出现在高考试题 中,要求相对较低,但很重要,特别是函数 的解析式仍会是 2016 年高考的重要题型.

① 理解函数的概念,了解构成函数的要素. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰 当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函 数. ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用.

1? 1. (必修 1P24 练习 5 改编)若 f(x)=x-x2,则 f? ?2?=________,f(n+1)-f(n)=________. 1 答案: -2n 4 2. (必修 1P31 练习 4)下列图象表示函数关系 y=f(x)的有________.(填序号)

答案:①④ 解析:根据函数定义,定义域内任意的一个自变量 x 的值都有唯一一个 y 与之对应. 3. (必修 1P31 练习 3 改编)用长为 30cm 的铁丝围成矩形,若将矩形面积 S(cm2)表示为矩 形一边长 x(cm)的函数,则函数解析式为____________,其函数定义域为__________. 答案:S=x(15-x) x∈(0,15) 解析:矩形的另一条边长为 15-x,且 x>0,15-x>0. 1 1- x,x≥0, 2 4. (必修 1P32 习题 7 改编)已知函数 f(x)= 若 f(a)=a, 则实数 a=________. 1 ,x<0, x

? ? ?

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 2 答案: 或-1 3 1 2 1 解析:若 a≥0,则 1- a=a,得 a= ;若 a<0,则 =a,得 a=-1. 2 3 a 5. 已知集合 A=[0,8],集合 B=[0,4],则下列对应法则中,不能看作从 A 到 B 的映 射的是________.(填序号) 1 1 1 ① f:x→y= x;② f:x→y= x;③ f:x→y= x;④ f:x→y=x. 8 4 2 答案:④ 解析:①中 A=[0,8],得到 y∈[0,1]? B=[0,4];②中 A=[0,8],得到 y∈[0,2] ? B=[0,4];③中 A=[0,8],得到 y∈[0,4]? B=[0,4];④中 A=[0,8],得到 y∈[0, 8]? B=[0,4].

1. 函数的概念 (1) 函数的定义 一般地,设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的每一 个元素 x,在集合 B 中都有唯一的一个元素 y 和它对应,这样的对应叫做从 A 到 B 的一个 函数,通常记为 y=f(x),x∈A. (2) 函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域;若 A 是函数 y=f(x)的定义域,则对于 A 中的每一个 x,都有一个输出值 y 与之对应.我们将所 有输出值 y 组成的集合称为函数的值域. (3) 函数的三要素:定义域、值域和对应法则. (4) 相等函数:如果两个函数的定义域和对应法则完全一致,则这两个函数相等,这是 判断两函数相等的依据. 2. 函数的表示方法 表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法. 3. 分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的解析式,像这样的函数通常叫做分段函数.分段函数 的定义域是各段自变量取值集合的并集,值域是各段上函数值集合的并集. 4. 映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. [备课札记]

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题型 1 函数的概念 例 1 判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的函数. (1) A=B=N*,对应法则 f:x→y=|x-3|,x∈A,y∈B; (2) A=[0,+∞),B=R,对应法则 f:x→y,这里 y2=x,x∈A,y∈B; (3) A=[1,8],B=[1,3],对应法则 f:x→y,这里 y3=x,x∈A,y∈B; (4) A={(x,y)|x、y∈R},B=R,对应法则:对任意(x,y)∈A,(x,y)→z=x+3y,z ∈B. 解:(1) 对于 A 中的元素 3,在 f 的作用下得到 0,但 0 不属于 B,即 3 在 B 中没有元素 与之对应,所以不是函数. (2) 集合 A 中的一个正数在集合 B 中有两个元素与之对应,所以不是函数. 3 (3) 由 y3=x,即 y= x,因为 A=[1,8],B=[1,3],对应法则 f:x→y,符合函数对 应. (4) 由于集合 A 不是数集,所以此对应不是函数. 备选变式(教师专享) 下列说法正确的是______________.(填序号) ① 函数是其定义域到值域的映射; ② 设 A=B=R,对应法则 f:x→y= x-2+ 1-x,x∈A,y∈B,满足条件的对应法 则 f 构成从集合 A 到集合 B 的函数; ③ 函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点有且只有 1 个; ④ 映射 f:{1,2,3}→{1,2,3,4}满足 f(x)=x,则这样的映射 f 共有 1 个. 答案:①④ 解析: ②中满足 y= x-2+ 1-x的 x 值不存在, 故对应法则 f 不能构成从集合 A 到集 合 B 的函数; ③中函数 y=f(x)的定义域中若不含 x=1 的值, 则其图象与直线 x=1 没有交点. 题型 2 函数的解析式 例 2 求下列各题中的函数 f(x)的解析式. (1) 已知 f( x+2)=x+4 x,求 f(x); 2 ? (2) 已知 f? ?x+1?=lgx,求 f(x); 1? (3) 已知函数 y=f(x)满足 2f(x)+f? ?x?=2x,x∈R 且 x≠0,求 f(x); (4) 已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x,求 f(x). 解:(1) (解法 1)设 t= x+2,则 x=t-2,即 x=(t-2)2,∴ f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2 -4, ∴ f(x)=x2-4(x≥2). (解法 2)∵ f( x+2)=( x+2)2-4, ∴ f(x)=x2-4(x≥2). 2 2 2 (2) 设 t= +1,则 x= ,∴ f(t)=lg , x t-1 t-1 2 即 f(x)=lg (x>1). x-1 1? (3) 由 2f(x)+f? ?x?=2x,① 1? 1 1 2 x 将 x 换成 ,则 换成 x,得 2f? ?x?+f( )=x,② x x 2 4 2 ①?2-②,得 3f(x)=4x- ,得 f(x)= x- . x 3 3x

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 (4) ∵ f(x)是二次函数,∴ 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由 f(0)=1,得 c=1. 由 f(x+1)=f(x)+2x,得 a(x+1)2+b(x+1)+1=(ax2+bx+1)+2x, 整理,得(2a-2)x+(a+b)=0, ?2a-2=0, ? ?a=1, ? 由恒等式原理,知? ?? ?a+b=0 ?b=-1, ? ? 2 ∴ f(x)=x -x+1. 变式训练 求下列函数 f(x)的解析式. (1) 已知 f(1-x)=2x2-x+1,求 f(x); 1? 1 2 (2) 已知 f? ?x-x?=x +x2,求 f(x); (3) 已知一次函数 f(x)满足 f(f(x))=4x-1,求 f(x); (4) 定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求 f(x). 解:(1) (换元法)设 t=1-x,则 x=1-t, ∴ f(t)=2(1-t)2-(1-t)+1=2t2-3t+2, ∴ f(x)=2x2-3x+2. 1 1 1 x- ?=x2+ 2=?x- ?2+2, (2) (配凑法)∵ f? x? ? x? x ? ∴ f(x)=x2+2. (3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数, ∴ 设 f(x)=ax+b(a≠0),则 f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. ∵ f(f(x))=4x-1, a=2, 2 ? ? ? ? ?a =4, ?a=-2, ∴ ? 解得? 1或? ?ab+b=-1, ?b=1, ? ? ?b=-3 ? 1 ∴ f(x)=2x- 或 f(x)=-2x+1. 3 (4) (消去法)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 以-x 代替 x 得 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),② 由①②消去 f(-x),得 2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3 题型 3 分段函数 ?2x+a,x<1, ? 例 3 已知实数 a≠0,函数 f(x)=? ?-x-2a,x≥1. ? (1) 若 a=-3,求 f(10),f(f(10))的值; (2) 若 f(1-a)=f(1+a),求 a 的值. ? ?2x-3,x<1, 解:(1) 若 a=-3,则 f(x)=? ?-x+6,x≥1. ? 所以 f(10)=-4,f(f(10))=f(-4)=-11. 3 (2) 当 a>0 时,1-a<1,1+a>1,所以 2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得 a=- ,不合, 2 舍去; 3 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,所以-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得 a=- ,符合. 4 3 综上可知,a=- . 4 备选变式(教师专享)
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 已知 f(x)的图象如图,则 f(x)的解析式为____________.

?2x,0≤x≤1, 答案:f(x)=? 3 ?3-2x,1≤x≤2
3? ? 3? 解析:由图象知每段为线段.设 f(x)=ax+b,把(0,0),? ?1,2?和?1,2?,(2,0)分别代 3 3 ? ?a=2, ? ?a=-2, 入,解得? ? ?b=0,? ?b=3. ?
?3x,x≤0, ? 1. 若函数 f(x)=? 则 f(f(0))=________. ?log2x,x>0, ?

3

答案:0 解析:f(0)=30=1,f(f(0))=f(1)=log21=0. 2. 定义在 R 上的函数 f(x),对任意 x∈R 都有 f(x+2)=f(x),当 x∈(-2,0)时,f(x)= x 4 ,则 f(2 015)=________. 1 答案: 4 1 - 解析:由已知,f(x)是以 2 为周期的周期函数,故 f(2 015)=f(-1)=4 1= . 4 2 ?x +2x+2,x≤0, ? 3. (2014· 浙江)设函数 f(x)=? 2 若 f(f(a)) ?-x ,x>0. ? =2,则 a=________. 答案: 2 解析:令 t=f(a),若 f(t)=2,则 t2+2t+2=2 满足条件,此时 t=0 或 t=-2,所以 f(a) =0 或 f(a)=-2,只有-a2=-2 满足条件,故 a= 2. - ?21 x,x≤1, ? 4. 已知函数 f(x)=? 则满足 f(x)≥1 的 x 的取值范围是________. ?2-log2x,x>1, ? 答案:(-∞,2] ?x≤1, ?x>1, ? ? 解析:由? 1-x 得 x≤1;由? 得 1<x≤2.综上 x∈(-∞,2]. ? ? ?2 ≥1, ?2-log2x≥1,

1 ? 1. 已知函数 f(x)=alog2x-blog3x+2,若 f? ?2 014?=4,则 f(2 014)的值为________. 答案:0 1 ? 1 1 解析:∵ f? ?2 014?=alog22 014-blog32 014+2 =-(alog22 014-blog32 014)+2=4, ∴ f(2 014)=alog22 014-blog32 014+2=(-2)+2=0. 1? 2. 具有性质:f? ?x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 x,0<x<1, ? ?0,x=1, y= ? 其中满足“倒负”变换的函数是 1 ? ?-x,x>1.

1 1 ① y = x - ;② y = x + ;③ x x ________.(填序号) 答案:①③

1? 1 1? 1 1 解析:对于①,f(x)=x- ,f? = -x=-f(x),满足“倒负”变换;对于②,f? ?x?=x+ x ?x? x x=f(x),不满足“倒负”变换; 1 1 ,0< <1, x x

? 1? ? 1 ? 对于③,f?x?=?0,x=1, ? >1, ?-x,1 x
,x>1, ? x ? 1 ? 即 f? ?x?=?0,x=1, ? ?-x,0<x<1, 1

1 ? 故 f? ?x,?=-f(x),满足“倒负”变换. 综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 3. 若函数的定义域为{x|-3≤x≤6,且 x≠4},值域为{y|-2≤y≤4,且 y≠0},试在下 图中画出满足条件的一个函数的图象.

解:本题答案不唯一,函数图象可画为如图所示.

4. 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (1) 若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2) 设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析式. 解:(1) 因为对任意 x∈R 有 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,所以 f(f(2)-22+2)=f(2)-22 +2.又 f(2)=3,从而 f(1)=1. 若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a. (2) 因为对任意 x∈R, 有 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x, 又有且仅有一个实数 x0, 使得 f(x0) 2 2 =x0,故对任意 x∈R,有 f(x)-x +x=x0.在上式中令 x=x0,有 f(x0)-x0+x0=x0. 因为 f(x0)=x0,所以 x0-x2 0=0,故 x0=0 或 x0=1. 若 x0=0,则 f(x)=x2-x,但方程 x2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故 x0 ≠0.若 x0=1,则有 f(x)=x2-x+1,易证该函数满足题设条件. 综上,所求函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-x+1. 1. 函数是特殊的映射, 其特殊性在于集合 A 与 B 只能是非空数集, 即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射;而映射不一定是函数从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 个映射不是函数. 2. 函数是一种特殊的对应,要检验给定的两个变量是否具有函数关系,只需要检验:① 定义域和对应法则是否给出;② 根据给出的对应法则,自变量在定义域中的每一个值,是否 都有唯一确定的函数值. 3. 函数解析式的求解方法通常有:配凑法,换元法,待定系数法及消去法.用换元法求 解时要特别注意新元的范围,即所求函数的定义域;而消去法体现的方程思想,即根据已知 条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). 请使用课时训练(B)第 1 课时(见活页). [备课札记]

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第 2 课时 函数的定义域和值域(对应学生用书(文)、(理)9~10 页)

① 函数的定义域是研究一切函数的源头,求 各种类型函数的定义域是高考中每年必考的 试题. ① 会求简单函数的定义域. ② 函数的值域和最值问题也是高考的必考 ② 掌握求函数值域与最值的常用方法. 内容,一般不会对值域和最值问题单独命题, ③ 能运用求值域与最值的常用方法解决实 主要是结合其他知识综合考查,特别是应用 际问题. 题;再就是求变量的取值范围,主要是考查 求值域和最值的基本方法.

1. (必修 1P27 练习 6 改编)函数 f(x)= x+1+

1 的定义域为________. 2-x

答案:{x|x≥-1 且 x≠2} 2. (必修 1P27 练习 7 改编)函数 f(x)=(x-1)2-1, x∈{-1, 0, 1, 2, 3}的值域是________. 答案:{-1,0,3} 解析:f(-1)=f(3)=3,f(0)=f(2)=0,f(1)=-1,则所求函数 f(x)的值域为{-1,0,3}. 2x 3. (必修 1P31 习题 3 改编)函数 f(x)= 的值域为________. 5x+1 2? ? 答案:?y|y≠5? ? ? 2x 2 2 2 解析:由题可得 f(x)= = - .∵ 5x+1≠0,∴ f(x)≠ ,∴ 值域为 5 5x+1 5 5(5x+1) 2? ? ?y|y≠ ?. 5? ? 4. 若 x有意义,则函数 y=x2+3x-5 的值域是________. 答案:[-5,+∞) 3 2 9 x+ ? - -5,∴ 当 x=0 时,ymin 解析:∵ x有意义,∴ x≥0.又 y=x2+3x-5=? ? 2? 4 =-5. 5. (必修 1P36 习题 13 改编)已知函数 f(x)=x2-2x,x∈[a,b]的值域为[-1,3],则 b-a 的取值范围是________. 答案:[2,4] 解析:f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,因为 x∈[a,b]的值域为[-1,3],所以当 a=-1 时, 1≤b≤3;当 b=3 时,-1≤a≤1,所以 b-a∈[2,4].

1. 函数的定义域
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合. 求定义域的步骤 写出使函数式有意义的不等式(组). 解不等式组. 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出). 常见基本初等函数的定义域 分式函数中分母不等于零. 偶次根式函数、被开方式大于或等于 0. 一次函数、二次函数的定义域为 R. y=ax,y=sinx,y=cosx,定义域均为 R. π ⑤ y=tanx 的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z}. 2 a ⑥ 函数 f(x)=x 的定义域为{x|x≠0}. 2. 函数的值域 (1) 在函数 y=f(x)中,与自变量 x 的值对应的 y 的值叫函数值,函数值的集合叫函数的 值域. (2) 基本初等函数的值域 ① y=kx+b(k≠0)的值域是 R. 4ac-b2 ② y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当 a>0 时,值域为[ ,+∞);当 a<0 时,值域为 4a 4ac-b2 (-∞, ]. 4a k ③ y= (k≠0)的值域为{y|y≠0}. x ④ y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是(0,+∞). ⑤ y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. ⑥ y=sinx,y=cosx 的值域是[-1,1]. ⑦ y=tanx 的值域是 R. 3. 最大(小)值 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1) 对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M); (2) 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M,那么称 M 是函数 y=f(x)的最大(小) 值. 题型 1 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域: 1 (1) y= +lg(3x+1); 2-|x| (2) 已知函数 f(2x)的定义域是[-1,1],求 f(x)的定义域. ?x≠-2且x≠2, ? ?2-|x|≠0, ? 1 解:(1)由? ?? 解得 x>- 且 x≠2,故所求函数的定义域为 1 3 ?3x+1>0 ? ?x>-3, ? 1 ? ? ? ?x x>- 且x≠2?. 3 ? ? ? (2) ∵ f(2x)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1, 1 ? 1 ∴ ≤2x≤2,故 f(x)的定义域为? ?2,2?. 2 变式训练 (x+1)0 (1) 求函数 y= 的定义域; |x|-x
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(1) (2) ① ② ③ (3) ① ② ③ ④

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 (2) 函数 f(x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域. ? ?x+1≠0, ? ?x≠-1, 解:(1) 由? 得? ?|x|-x>0, ? ?x<0, ? ∴ x<-1 或-1<x<0,即定义域是(-∞,-1)∪(-1,0). (2) ∵ 函数 f(x)的定义域是[-1,1],∴ -1≤log2x≤1, 1 ? 1 ∴ ≤x≤2.故 f(log2x)的定义域为? ?2,2?. 2 题型 2 求函数的值域 例 2 求下列函数的值域: (1) y=x- 3x-2; (2) y=x2-2x-3,x∈(-1,4]; 2x-1 (3) y= ,x∈[3,5]; x+1 x2-4x+5 (4) y= (x>1). x-1 3 1 1 1 3 t- ?2- ,当 t= 时,y 有 解:(1) (换元法)设 3x-2=t,t≥0,则 y= (t2+2)-t= ? 3 3? 2? 12 2 1 1 ? 最小值- ,故所求函数的值域为? ?-12,+∞?. 12 (2) (配方法)配方,得 y=(x-1)2-4,因为 x∈(-1,4],结合图象知,所求函数的值域 为[-4,5]. 2x-1 3 (3) (解法 1)由 y= =2- ,结合图象知,函数在[3,5]上是增函数,所以 ymax x+1 x+1 5 3? 3 5 = ,ymin= ,故所求函数的值域是? ?4,2?. 2 4 2x-1 1+y (解法 2)由 y= ,得 x= . x+1 2-y 1+y 5 3 因为 x∈[3,5],所以 3≤ ≤5,解得 ≤y≤ , 4 2 2-y 5 3? 即所求函数的值域是? ?4,2?. (4) (基本不等式法)令 t=x-1,则 x=t+1(t>0), (t+1)2-4(t+1)+5 t2-2t+2 2 所以 y= = =t+ -2(t>0). t t t 2 2 因为 t+ ≥2 t· =2 2,当且仅当 t= 2,即 x= 2+1 时,等号成立,故所求函数的 t t 值域为[2 2-2,+∞). 备选变式(教师专享) 求下列函数的值域: (1) f(x)= 1-x+ x+3; x2-9 (2) g(x)= 2 ; x -7x+12 (3) y=log3x+logx3-1. ? ?1-x≥0, 解:(1) 由? 解得-3≤x≤1. ?x+3≥0, ? ∴ f(x)= 1-x+ x+3的定义域是[-3,1]. ∵ y≥0,∴ y2=4+2 即 y2=4+2
2

(1-x)(x+3),

-(x+1) +4(-3≤x≤1).

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 令 t(x)=-(x+1) +4(-3≤x≤1). ∵ x∈[-3,1],由 t(-3)=0,t(-1)=4,t(1)=0, ∴ 0≤t≤4,从而 y2∈[4,8],即 y∈[2,2 2], ∴ 函数 f(x)的值域是[2,2 2]. (x+3)(x-3) x+3 x2-9 7 x ( ) (x≠3且x≠4).∵ x≠3 且 x≠4, (2) g = 2 = = = 1+ ∴ x -7x+12 (x-3)(x-4) x-4 x-4 g(x)≠1 且 g(x)≠-6.∴ 函数 g(x)的值域是(-∞,-6)∪(-6,1)∪(1,+∞). (3) 函数的定义域为{x|x>0 且 x≠1}. 当 x>1 时,log3x>0,y=log3x+logx3-1 ≥2 log3x〃logx3-1=1; 当 0<x<1 时,log3x<0,y=log3x+logx3-1 =-[(-log3x)+(-logx3)]≤-2-1=-3. 所以函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞). 题型 3 函数值域和最值的应用 例 3 已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1) 若 f(x)的值域是[0,+∞),求 a 的值; (2) 若函数 f(x)≥0 恒成立,求 g(a)=2-a|a-1|的值域. 4(2a+6)-(4a)2 解:(1) ∵ f(x)的值域是[0,+∞),即 fmin(x)=0,∴ =0,∴ a= 4 3 -1 或 . 2 3 (2) 若函数 f(x)≥0 恒成立, 则Δ=(4a)2-4(2a+6)≤0, 即 2a2-a-3≤0, ∴ -1≤a≤ , 2 2 a - a + 2 ,- 1 ≤ a ≤ 1 , ? 2 ? 2 ? 1? 7 ∴ g(a)=2-a|a-1|=? 2 3 当-1≤a≤1,g(a)=a -a+2=?a-2? +4, ?-a +a+2,1<a≤2. ? 7 ? 1 2 9 5 3 ,4 ;当 1<a≤ ,g(a)=-a2+a+2=-?a- ? + ,∴ g(a)∈? ,2?.∴ 函数 ∴ g(a)∈? ?4 ? ? 2? 4 ?4 ? 2 5 ? g(a)=2-a|a-1|的值域是? ?4,4?. 备选变式(教师专享) 已知函数 y= mx2-6mx+m+8的定义域为 R. (1) 求实数 m 的取值范围; (2) 当 m 变化时,若 y 的最小值为 f(m),求函数 f(m)的值域. 解:(1) 当 m=0 时,x∈R;当 m≠0 时,m>0 且Δ≤0,解得 0<m≤1,故实数 m 的 取值范围为 0≤m≤1. (2) 当 m=0 时,f(0)=2 2;当 0<m≤1 时,因为 y= m(x-3)2+8-8m,故 f(m) = 8-8m(0<m≤1).于是,f(m) = 8-8m(0≤m≤1),其值域为[0,2 2].
2

1. (2014· 盐城一模)函数 f(x)= 3-2x-x2的定义域为________. 答案:[-3,1] 解析:由 3-2x-x2≥0,解得-3≤x≤1. 1 2. (2014· 山东)函数 f(x)= 的定义域为________. log2x-1 答案:(2,+∞) 解析: 若函数 f(x)有意义,则 log2x-1>0,∴ log2x>1,∴ x>2.

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习

?log1x,x≥1, ? 3. 函数 f(x)=? 2 的值域为________. ?2x,x<1 ?
答案:(-∞,2) 解析:当 x≥1 时,log1x≤log11=0,即 f(x)≤0;当 x<1 时,0<2x<21,即 0<f(x)<2,所
2 2

以函数 f(x)的值域为(-∞,2). x+2,0≤x<1, ? ? 4. 已知函数 f(x)=? x 1 若 a>b≥0,且 f(a)= f(b),则 bf(a) 的取值范围是 ?2 +2,x≥1, ? ________. 5 ? 答案:? ?4,3? 1 5 解析:画出分段函数的图象,从图象可知, ≤b<1,1≤a<log2 ,f(a)=f(b),得 bf(a)= 2 2 1 5 ,1?上单调增,故 bf(a)的取值范围是? ,3?. bf(b)=b(b+2)=(b+1)2-1 在? ?2 ? ?4 ?

1. 设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)= ? ?g(x)+x+4,x<g(x), ? 则 f(x)的值域是________. ?g(x)-x,x≥g(x), ? 9 ? 答案:? ?-4,0?∪(2,+∞) 2 ? ?x +x+2,x<g(x), 解析:由题意 f(x)=? 2 ?x -x-2,x≥g(x) ? 2 ? x + x + 2 , x ∈(- ∞,-1)∪(2,+∞), ? =? 2 下面分段求值域,再取并集. ?x -x-2,x≥g(x),x∈(-1,2), ? mx2+4 3x+n 2. 已知函数 y= 的最大值为 7,最小值为-1,则 m+n 的值为________. x2+1 答案:6 解析:函数式可变形为(y-m)x2-4 3x+(y-n)=0,x∈R,由已知得 y-m≠0,所以Δ =(-4 3)2-4(y-m)· (y-n)≥0,即 y2-(m+n)y+(mn-12)≤0.① 由题意,知不等式①的解集为[-1,7],则-1,7 是方程 y2-(m+n)y+(mn-12)=0 的 两根,代入得 ?1+m+n+mn-12=0, ?m=5, ? ?m=1, ? ? ? 解得? 或? ? ? ?49-7(m+n)+mn-12=0, ?n=1, ? ?n=5. 所以 m+n=6. 4 3. 已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的 |x|+2 整数数对(a,b)共有________个. 答案:5 4 4 解析: 由 0≤ -1≤1, 即 1≤ ≤2 得 0≤|x|≤2, 满足整数数对的有(-2, 0), (- |x|+2 |x|+2 2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共 5 个. 4. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a、b 为常数,且 a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x),且方 程 f(x)=2x 有等根. (1) 求 f(x)的解析式; (2) 是否存在实数 m、n(m<n),使 f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]?如果存

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由. 解:(1) f(x)=-x2+2x. 1 (2) 由 f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,知 fmax(x)=1,∴ 4n≤1,即 n≤ <1.故 f(x)在[m, 4 n]上为增函数, ? ? ?f(m)=4m, ?m=-1, ∴ ? 解得? ?f(n)=4n, ?n=0, ? ? ∴ 存在 m=-1,n=0,满足条件. 1. 函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质的基础, 因此,我们一定要树立函数定义域优先意识. 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题, 要重视函数单调性在确定函数最值过程中 的作用. 3. 求函数值域的常用方法有:图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分 离常数法、导数法等,理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”,但在具体的解题 中要与初等方法密切配合. 请使用课时训练(A)第 2 课时(见活页). 第 3 课时 函数的单调性(对应学生用书(文)、(理)11~12 页)

① 函数单调性的概念是函数性质中最重要 的概念,仍将会是 2016 年高考的重点,特别 ① 理解函数单调性的定义,并利用函数单调 性的定义判断或证明函数在给定区间上的单 要注意函数单调性的应用. 调性. ② 常见题型有: a.求函数的单调区间; b.用定 ② 理解函数的单调性、最大(小)值的几何意 义判断函数在所给区间上的单调性; c.强化应 义,会用单调性方法求函数的最大(小)值. 用单调性解题的意识,如比较式子大小,求 ③ 能利用函数的单调性解决其他一些综合 函数最值,已知函数的单调性求参数的取值 问题. 范围等.

1. (必修 1P54 测试 4)已知函数 y= f(x) 的图象如图所示,那么该函数的单调减区间是 ________.

答案:[-3,-1]和[1,2] 2. (必修 1P44 习题 2 改编)下列函数中,在区间(0,2)上是单调增函数的是________.(填

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 序号) 1 ① y=1-3x;② y=- ;③ y=x2+1;④ y=|x+1|. x 答案:②③④ 3. (必修 1P44 习题 4 改编)函数 y=f(x)是定义在[-2, 2]上的单调减函数, 且 f(a+1)<f(2a), 则实数 a 的取值范围是________. 答案:[-1,1) ?-2≤a+1≤2, 解析:由条件?-2≤2a≤2, 解得-1≤a<1.

?

? ?a+1>2a,

1 4. 函数 f(x)= 的最大值是________. 1-x(1-x) 4 答案: 3 1 2 3 3 x- ? + ≥ , 解析:∵ 1-x(1-x)=x2-x+1=? ? 2? 4 4 1 4 ∴ 0< ≤ . 1-x(1-x) 3 5. 已知函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则 a 的取值范围为________. 答案:[1,+∞) 解析:令 m=ax-1,则函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增等价于 m=ax-1 在(1, ? ?a>0, 2)上单调递增,且 ax-1>0 在(1,2)上恒成立,所以? 即 a≥1. ?a-1≥0, ?

1. 增函数和减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调增函数.(如图 1 所示) 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调减函数.(如图 2 所示)

2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是单调增函数或是单调减函数, 就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性(区间 M 称为单调区间). 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法:利用定义严格判断. (2) 利用函数的运算性质. 1 如若 f(x)、g(x)为增函数,则:① f(x)+g(x)为增函数;② 为减函数(f(x)>0);③ f(x) f(x)为增函数(f(x)≥0);④ f(x)· g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0);⑤ -f(x)为减函数. (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”,即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函 数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数. (4) 图象法
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的 单调性. 函数单调性的判断 1 例 1 判断函数 f(x)=ex+ x在区间(0,+∞)上的单调性. e 解:(解法 1)设 0<x1<x2,则 1 1 ex1+ ?-?ex2+ ? f(x1)-f(x2)=? ex ex ? ? 1? 2? 1 ex2-ex1 =(ex1-ex2)+ =(ex1-ex2)?1-ex +x ? ? ex1〃ex2 1 2? ex1+x2-1 =(ex1-x2-1)〃 . ex1 ∵ 0<x1<x2,∴ x1-x2<0,x1+x2>0, ∴ ex1-x2<1,ex1+x2>1,ex1>0,∴ f(x1)<f(x2). ∴ f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 (解法 2)对 f(x)=ex+ x求导, e 1 1 得 f′(x)=ex- x= x(e2x-1), e e 当 x>0 时,ex>0,e2x>1, ∴ f′(x)>0, ∴ f(x)在(0,+∞)上为增函数. 备选变式(教师专享) x 证明函数 f(x)= 在区间[1,+∞)上是减函数. 1+x2 证明:设 x1、x2∈[1,+∞),且 x1<x2. 2 x1(1+x2 x1 x2 2)-x2(1+x1) (x1-x2)(1-x1x2) f(x1)-f(x2)= = . 2- 2= 2 2 2 1+x1 1+x2 (1+x1)(1+x2) (1+x2 1)(1+x2) ∵ x1、x2∈[1,+∞),且 x1<x2, ∴ x1-x2<0,1-x1x2<0. 2 又(1+x2 1)(1+x2)>0, ∴ f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). x ∴ f(x)= 在[1,+∞)上为减函数. 1+x2 题型 2 求函数的单调区间 例 2 设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,定义函数 fk(x)= ? f ( x ),f(x)≤k, ? 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为________. 2 ?k,f(x)>k, ? 答案:(-∞,-1) 题型 1

1 1 1 解析: 由 f(x)> , 得-1<x<1; 由 f(x)≤ , 得 x≤-1 或 x≥1.所以 f1(x)= 2,-1<x<1, 2 2 2
x

? ? ? ? ?2 ,x≤-1,

2 x,x≥1,


故 f1(x)的单调递增区间为(-∞,-1).
2

备选变式(教师专享) - 若本例中 f(x)=2 |x|变为 f(x)=log2|x|,其他条件不变,则 fk(x)的单调增区间为________. 答案:(0, 2 ] 1 解析:函数 f(x)=log2|x|,k= 时,函数 fk(x)的图象如图所示,由图示可得函数 fk(x)的单 2
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 调递增区间为(0, 2].

已知函数的单调性求参数的值或范围 kx-1 例 3 已知函数 f(x)=lg (k∈R,且 k>0). x-1 (1) 求函数 f(x)的定义域; (2) 若函数 f(x)在[10,+∞)上单调递增,求 k 的取值范围. 1 x- k kx-1 1 解:(1) 由 >0,k>0,得 >0,当 0<k<1 时,得 x<1 或 x> ;当 k=1 时,得 x∈R k x-1 x-1 1 且 x≠1;当 k>1 时,得 x< 或 x>1. k 1? ? ? ? 1 ? ?x x< 或x>1?. x<1或x> ?; 综上, 当 0<k<1 时, 函数定义域为?x? 当 k ≥ 1 时, 函数定义域为 k? ? ? ? ? k ? 10k-1 kx-1 1 (2) 由函数 f(x) 在 [10 ,+ ∞) 上单调递增,知 >0 ,∴ k> . 又 f(x) = lg = 10 10-1 x-1 ? k-1? ,由题意,对任意的 x 、 x ,当 10≤x <x ,有 f(x )<f(x ) ,即 lg ?k+ k-1 ? lg ?k+ ? ? x -1? 1 2 1 2 1 2 ? x-1? ? ? 1 k - 1 k - 1 k - 1 1 1 1 1 ? ?,得 <lg?k+ < ?(k-1)( - )<0.∵ x1<x2,∴ > ,∴ k- ? x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 ? x2-1? 1<0,即 k<1. 1 ? 综上可知,k 的取值范围是? ?10,1?. 变式训练 a 已知函数 f(x)=2x- ,x∈(0,1]. x (1) 当 a=-1 时,求函数 y=f(x)的值域; (2) 若函数 y=f(x)在 x∈(0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围. 1 解:(1) 当 a=-1 时,f(x)=2x+ , x 1 1 2 因为 0<x≤1,所以 f(x)=2x+ ≥2 2x· =2 2,当且仅当 x= 时,等号成立, x x 2 所以函数 y=f(x)的值域是[2 2,+∞). (2) (解法 1)设 0<x1<x2≤1, a? ? a? ? a a ? (x1-x2)(2x1x2+a), 由 f(x1)-f(x2)=? ?2x1-x1?-?2x2-x2?=2(x1-x2)+?x2-x1?= x1x2 因为函数 y=f(x)在 x∈(0,1]上是减函数, 所以 f(x1)-f(x2)>0 恒成立, 所以 2x1x2+a<0,即 a<-2x1x2 在 x∈(0,1]上恒成立, 所以 a<-2,即实数 a 的取值范围是(-∞,-2). a a (解法 2)由 f(x)=2x- ,知 f′(x)=2+ 2, x x 因为函数 y=f(x)在 x∈(0,1]上是减函数, a 所以 f′(x)=2+ 2<0 在 x∈(0,1]上恒成立, x 即 a<-2x2 在 x∈(0,1]上恒成立, 所以 a<-2,即实数 a 的取值范围是(-∞,-2).

题型 3

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 题型 4 函数的单调性与最值 x2+2x+a 例 4 已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1) 当 a= 时,求 f(x)的最小值; 2 (2) 若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 1 1 解:(1) 当 a= 时,f(x)=x+ +2. 2 2x 1 1? 设 x1>x2≥1,则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+? ?2x1-2x2? 2x1x2-1 =(x1-x2)· . 2x1x2 ∵ x1>x2≥1, ∴ f(x1)>f(x2), ∴ f(x)在[1,+∞)上为增函数. 7 7 ∴ f(x)≥f(1)= ,即 f(x)的最小值为 . 2 2 (2) ∵ f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立, 即 x2+2x+a>0 在[1,+∞)上恒成立, ∴ a>[-(x2+2x)]max. ∵ t(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上为减函数, ∴ t(x)max=t(1)=-3, ∴ a>-3. 备选变式(教师专享) ax+1 已知 a∈R 且 a≠1,求函数 f(x)= 在[1,4]上的最值. x+1 ax+1 1-a 解:由 f(x)= =a+ . x+1 x+1 若 1-a>0,即 a<1 时,f(x)在[1,4]上为减函数, a+1 4a+1 ∴ fmax(x)=f(1)= ,fmin(x)=f(4)= ; 2 5 若 1-a<0,即 a>1 时,f(x)在[1,4]上为增函数, 4a+1 a+1 ∴ fmax(x)=f(4)= ,fmin(x)=f(1)= . 5 2
x ? ?e -2k,x≤0 ? 1. 已知函数 f(x)= 是 R 上的增函数, 则实数 k 的取值范围是________. ?(1-k)x,x>0 ?

1 ? 答案:? ?2,1?
0 ? ?e -2k≤0, 1 ? 解析:由题意得 解得 ≤k<1. 2 ?1-k>0, ?

2. 若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________. 答案:-6 a -2x-a,x<- , 2 a - ,+∞?,故 3 解析:由 f(x)= 可得函数 f(x)的单调递增区间为? 2 ? ? a 2x+a,x≥- , 2 a =- ,解得 a=-6. 2 3. “a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的________条件.

? ? ?

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 答案:充要 解析:① 当 a=0 时,f(x)=|x|在区间(0,+∞)内单调递增;② 当 a<0 时,结合函数 f(x) =|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)内单调递增;③当 a>0 时,结合函数 f(x)=|ax2-x|的图象 知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合.所以“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0,+∞)内单调递增”的充要条件. 1 ? 1 1 ?1 ? 4. 已知函数 f(x)= - (a>0,x>0),若 f(x)在? ?2,2?上的值域为?2,2?,则 a=________. a x 2 答案: 5 1 ? 1 1 解析: 由反比例函数的性质知函数 f(x) = - (a>0 , x>0) 在 ? ?2,2? 上单调递增,所以 a x 1 1 1? 1 -2= , ? a 2 ?f? = , 即 ? ?2? 2 1 1 ? ?f(2)=2, - =2, a 2 2 解得 a= . 5

? ? ?

1. 给定函数:①y=x2,②y=log1(x+1),③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区间(0,1)上


1

2

单调递减的函数是____________.(填序号) 答案:②③ 解析:①是幂函数,其在(0,+∞)上是增函数,不符合;②中的函数是由函数 y=log1x
2

向左平移 1 个单位而得到的,因为原函数在(0,+∞)上是减函数,故符合;③中的函数图象 是由函数 y=x-1 的图象保留 x 轴上方,下方图象翻折到 x 轴上方而得到的,故由其图象可 知正确;④中函数显然是增函数,故不符合. 2. (2014· 天津)函数 f(x)=lgx2 的单调递减区间是________. 答案:(-∞,0) 解析: 函数 f(x)=lgx2 的单调递减区间需满足 x2>0 且 y=x2 单调递减,故 x∈(-∞,0). (a-2)x,x≥2, ? ? f(x1)-f(x2) 3. 已知函数 f(x)=??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2, 都有 x1-x2 ??2? -1,x<2 ? <0 成立,则实数 a 的取值范围为________. 13? 答案:? ?-∞, 8 ? ?a-2<0, 解析:函数 f(x)是 R 上的减函数,于是有?

?1? ? ?(a-2)?2≤?2? -1, 13? 13 由此解得 a≤ ,即实数 a 的取值范围是? ?-∞, 8 ?. 8
4. 是否存在实数 a,使函数 f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数?如果存在,说明 a 可取哪些值;如果不存在,请说明理由. 解:显然 a>0 且 a≠1. 1 1 1 0, ?,只需 t(2)=4a-2>0,即 a> , 当 a>1 时,则 t(x)=ax2-x 的对称轴是 x= ∈? 2a ? 2? 2 所以 a>1 均成立;

?

2

教师用书 1 第 36 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 1 ? ?2a≥4, 1 ?1 ? 当 0<a<1 时, 则 t(x)=ax -x 的对称轴是 x= ∈?2,+∞?, 需要? 2a ?t(4)=16a-4>0 ? 无解. 所以,存在实数 a>1,满足条件.
2

1. 求函数的单调区间,首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是定义域的子集, 常用方法有:定义法、图象法、导数法、复合函数法等. 2. 函数单调性的应用 (1) 比较函数值的大小; (2) 解不等式; (3) 求函数的值域或最值等. 注意利用定义都是充要性命题,即若函数 f(x) 在区间 D 上递增 ( 减 ) 且 f(x1)<f(x2) ? x1<x2(x1>x2)(x1、x2∈D). 请使用课时训练(B)第 3 课时(见活页). [备课札记]

教师用书 1 第 37 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习

第 4 课时 函数的奇偶性及周期性(对应学生用书(文)、(理)13~14 页)

① 函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命 题的热点,命题时主要是考查函数的概念、 图象、性质等. ② 能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期 性分析和解决有关问题.

① 了解奇函数、偶函数的定义,并能运用奇 偶性定义判断一些简单函数的奇偶性. ② 掌握奇函数与偶函数的图象对称关系,并 能熟练地利用对称性解决函数的综合问题. ③ 了解周期函数的意义,并能利用函数的周 期性解决一些问题.

1. (必修 1P45 习题 8 改编)函数 f(x)=mx2+(2m-1)x+1 是偶函数, 则实数 m=________. 1 答案: 2 1 解析:由 f(-x)=f(x),知 m= . 2 2. (必修 1P43 练习 5 改编)函数 f(x)=x3-x 的图象关于________对称. 答案:原点 解析:由 f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-f(x),知 f(x)是奇函数,则其图象关于原点 对称. 3. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)的值为________. 答案:0 解析:∵ f(x)为奇函数且 f(x+4)=f(x),∴ f(0)=0,T=4,∴ f(8)=f(0)=0. 4. (必修 1P43 练习 4)对于定义在 R 上的函数 f(x),给出下列说法: ① 若 f(x)是偶函数,则 f(-2)=f(2); ② 若 f(-2)=f(2),则函数 f(x)是偶函数; ③ 若 f(-2)≠f(2),则函数 f(x)不是偶函数; ④ 若 f(-2)=f(2),则函数 f(x)不是奇函数. 其中,正确的说法是________.(填序号) 答案:①③ 解析:根据偶函数的定义,①正确,而③与①互为逆否命题,故③也正确,若举例奇函 ? ?x-2,x>0, 数 f(x)=? 由于 f(-2)=f(2),所以②④都错误. ?x+2,x<0, ? 5. 已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x)=x2+2x(x≥0),若 f(3-a2)>f(2a),则实数 a 的取 值范围是________. 答案:(-3,1) 解析:因为 f(x)=x2+2x 在[0,+∞)上是增函数,又 f(x)是 R 上的奇函数,所以函数 f(x) 是 R 上的增函数,要使 f(3-a2)>f(2a),只需 3-a2>2a,解得-3<a<1.

1. 奇函数、偶函数的概念
教师用书 1 第 38 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫 做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x) 就叫做奇函数. 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1) 考查定义域是否关于原点对称. (2) 根据定义域考查表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x). 若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数. 若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数. 若 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数. 若存在 x 使 f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x),则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非 偶函数. 3. 函数的图象与性质 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数 y=f(x)与 y=kf(x)的单调性与 k(k≠0)有关. 1 (2) 注意函数 y=f(x)与 y= 的单调性之间的关系. f(x) (3) 奇函数在[a,b]和[-b,-a]上有相同的单调性. (4) 偶函数在[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性. 5. 函数的周期性 设函数 y=f(x),x∈D,如果存在非零常数 T,使得对任意 x∈D,都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x)为周期函数,T 为函数 f(x)的一个周期.(D 为定义 域) 题型 1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: 1 (1) f(x)=x3- ; x 1-x2 (2) f(x)= ; |x+2|-2 (3) f(x)=(x-1) 1+x ; 1-x

(4) f(x)= 3-x2+ x2-3. 解:(1) 定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,由 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是 奇函数. (2) 去掉绝对值符号,根据定义判断. ?1-x2≥0, ?-1≤x≤1, ? ? 由? 得? ? ?|x+2|-2≠0, ? ?x≠0且x≠-4. 故 f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有 x+2>0. 1-x2 1-x2 从而有 f(x)= = , x x+2-2 1-(-x)2 1-x2 =- =-f(x), x -x 故 f(x)为奇函数. (3) 因为 f(x)定义域为[-1,1),所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4) 因为 f(x)定义域为{- 3, 3},所以 f(x)=0,则 f(x)既是奇函数也是偶函数. 这时有 f(-x)=

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 备选变式(教师专享) 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=x4+x; 2 ? ?x +x(x<0), (2) f(x)=? 2 ?-x +x(x>0); ? (3) f(x)=lg(x+ x2+1). 解:(1) 定义域为 R,f(-1)=0,f(1)=2,由于 f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数. (2) 因为函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当 x<0 时,-x>0,所以 f(- x)=-(-x)2+(-x)=-(x2+x)=-f(x)(x<0). 当 x>0 时, -x<0, 所以 f(-x)=(-x)2+(- x)=-(-x2+x)=-f(x)(x>0).故函数 f(x)为奇函数. (3) 由 x+ x2+1>0,得 x∈R,由 f(-x)+f(x)=lg(-x+ x2+1)+lg(x+ x2+1)=lg1 =0,所以 f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数. 题型 2 函数奇偶性的应用 a· 2x+a-2 例 2 (1) 设 a∈R,f(x)= (x∈R),试确定 a 的值,使 f(x)为奇函数; 2x+1 (2) 设函数 f(x)是定义在(-1, 1)上的偶函数, 在(0, 1)上是增函数, 若 f(a-2)-f(4-a2)<0, 求实数 a 的取值范围. 解:(1) 要使 f(x)为奇函数, ∵ x∈R,∴ 需 f(x)+f(-x)=0. 2 ∵ f(x)=a- x , 2 +1 + 2x 1 2 ∴ f(-x)=a- -x =a- x . 2 +1 2 +1 x+1 2 ? ? 2 ? 2(2x+1) ? a - a - 由 ?=0,得 2a- 2x+1 =0, ? 2x+1?+? ? 2x+1? ∴ a=1. ? ?-1<a-2<1, (2) 由 f(x)的定义域是(-1,1),知? 解得 3<a< 5. 2 ?-1<4-a <1, ? 由 f(a-2)-f(4-a2)<0,得 f(a-2)<f(4-a2). 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(|a-2|)<f(|4-a2|). 由于 f(x)在(0,1)上是增函数,所以|a-2|<|4-a2|,解得 a<-3 或 a>-1 且 a≠2. 综上,实数 a 的取值范围是 3<a< 5且 a≠2. 变式训练 2 ? ?x +x,x≤0, (1) 已知函数 f(x)=? 2 是奇函数,求 a+b 的值; ?ax +bx,x>0 ? (2) 已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,若 f(1-m)+f(1- 2 m )<0,求实数 m 的取值范围. 解:(1) 当 x>0 时,-x<0,由题意得 f(-x)=-f(x),所以 x2-x=-ax2-bx. 从而 a=-1,b=1,所以 a+b=0. (2) 由 f(x)的定义域是[-2,2], ? ?-2≤1-m≤2, 知? 解得-1≤m≤ 3. 2 ?-2≤1-m ≤2, ? 因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(1-m)<-f(1-m2),即 f(1-m)<f(m2-1). 由奇函数 f(x)在区间[-2,0]内递减, 所以在[-2,2]上是递减函数, 所以 1-m>m2-1,解得-2<m<1. 综上,实数 m 的取值范围是-1≤m<1.

教师用书 1 第 40 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 题型 3 函数奇偶性与周期性的综合应用 例3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x), 当 x∈[0, 2]时,f(x)=2x-x2. (1) 求证:f(x)是周期函数; (2) 当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3) 计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 014)的值. (1) 证明:因为 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2) 解:因为 x∈[2,4],所以-x∈[-4,-2],4-x∈[0,2],所以 f(4-x)=2(4-x) -(4-x)2=-x2+6x-8.又 f(4-x)=f(-x)=-f(x),所以-f(x)=-x2+6x-8,即 f(x)=x2 -6x+8,x∈[2,4]. (3) 解:因为 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,又 f(x)是周期为 4 的周期函数, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?=0, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 014)=f(0)+f(1)+f(2)=1. 备选变式(教师专享) 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1) 求证:f(x)是周期函数; (2) 当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. (1) 证明:∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴ f(x)是周期为 4 的周期函数. (2) 解:∵ x∈[2,4],∴ -x∈[-4,-2],∴ 4-x∈[0,2], ∴ f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. ∵ f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴ -f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

1. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x).当 x∈(0,2)时,f(x)=-x+4, 则 f(7)=________. 答案:-3 解析:f(7)=f(3+4)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-3. 2. (2014· 镇江期末)已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)=-x+2,则 不等式 f(x)-x2≥0 的解集为________. 答案:[-1,1] 解析:∵ f(x)≥x2,而 f(x)示意图如下:

令 x2=-x+2,得 x=1(x>0),从而由图象知,原不等式解集为[-1,1]. 3. (2014· 南师附中冲刺)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调 递增,则满足不等式 f(1)<f(lg2x)的 x 的取值范围是____________. 1? 答案:? ?0,20?∪(5,+∞) 解析:由题意知 f(1)<f(|lg(2x)|),所以|lg(2x)|>1,即 lg(2x)>1 或 lg(2x)<-1,即 2x>

教师用书 1 第 41 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 1 1 10 或 0<2x< ,解得 x>5 或 0<x< . 10 20 4. 设函数 y=f(x)满足对任意的 x∈R,f(x)≥0 且 f2(x+1)+f2(x)=9.已知当 x∈[0,1)时, 2 013? 有 f(x)=2-|4x-2|,则 f? ? 6 ?=________. 答案: 5 1? 2 2 ?3?= 5,f?5?=2,f?7?= 解析:由题知 f? = 2 , 因为 f(x) ≥ 0 且 f (x + 1) + f (x) = 9 ,故 f ?2? ?2? ?2? ?2? 671 2 013 4 ? 168 - 1 ?= 5,即 f? ? ? ? 5,如此循环得 f? ? 2 ?=f? ? 6 ?= 5. 2 ?

1. (2014· 安徽)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x)=
?x(1-x),0≤x≤1, ? 29? ?41? ? 则 f? 4 ?+f? 6 ?=________. ? ? sin π x , 1<x ≤ 2 , ?

答案:

5 16

29? ?41? ? 3? ? 7? π 5 3 ?3? ?7? 解析:由题易知 f? ? 4 ?+f? 6 ?=f?-4?+f?-6?=-f?4?-f?6?=-16+sin 6 =16. 2. 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为________. 答案:7 解析:由条件,当 0≤x<2 时,f(x)=x(x+1)(x-1),即当 0≤x<2 时,f(x)=0 有两个 根 0,1,又由周期性,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根 2,3,当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个 根 4,5,而 6 也是 f(x)=0 的根,故 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 3. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(2)=1,若 f(x+a)≤1 对 x∈[-1,1]恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 答案:[-1,1] 解析:由题意,知|x+a|≤2, ∴ -a-2≤x≤-a+2. 又 f(x+a)≤1 对 x∈[-1,1]恒成立, ∴ [-1,1]?[-a-2,-a+2], ?-a-2≤-1, ? ?a≥-1, ? ∴ ? ?? 故-1≤a≤1. ? ? ?-a+2≥1 ?a≤1, 1 ? 4. 已知 f(x)是偶函数, 且 f(x)在[0, +∞)上是增函数, 如果 f(ax+1)≤f(x-2)在 x∈? ?2,1? 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:由于 f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,则在(-∞,0]上为减函数,由 f(ax 1 ? +1)≤f(x-2),则|ax+1|≤|x-2|.又 x∈? ?2,1?,故|x-2|=2-x, 1 ? 3 1 即 x-2≤ax+1≤2-x,即 x-3≤ax≤1-x,即 1- ≤a≤ -1,在? ?2,1?上恒成立. x x 1 ? 3 -1 =0,?1- ? =-2,故-2≤a≤0. 由于? ?x ?min ? x?max

1. 函数奇偶性的判断,本质是判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系,前提是定义域关于 原点对称,运算中,也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)+f(-x)=0 或 f(x)-f(-x) =0)是否成立.
教师用书 1 第 42 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 2. 若 f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). 3. 奇偶函数的不等式求解时,要注意到:奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函 数在对称的区间上有相反的单调性. 请使用课时训练(A)第 4 课时(见活页). [备课札记]

教师用书 1 第 43 页

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第 5 课时 函数的图象(对应学生用书(文)、(理)15~17 页)

① 图象是函数刻画变量之间的函数关系的 一个重要途径,是研究函数性质的一种常用 方法,是数形结合的基础和依据,预测在今 后的高考中还将加大对函数图象考查的力度. ① 掌握基本函数图象的特征,能熟练运用基 本函数的图象解决问题. ② 主要考查形式有:知图选式、知式选图、 ② 掌握图象的作法:描点法和图象变换法. 图象变换以及自觉地运用图象解题,因此要 注意识图读图能力的提高以及数形结合思想 的灵活运用.

1. (必修 1P53 复习 14)函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于________对称. 答案:y 轴 - 2. (必修 1P64 练习 6)函数 y=2 x 的图象是________.(填序号)

答案:① 3. (必修 1P30 练习 3 改编)函数 y=f(x)的图象如图所示,则 (1) f(0)=________,f(-1)=________,f(4)=________. (2) 若-1<x1≤x2<2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是________________.

答案:(1) 4 5 6 (2) f(x1)≥f(x2) - 4. 为了得到函数 y=2x 3 的图象,只需把函数 y=2x 的图象上所有的点向________平移 ________个单位长度. 答案:右 3 5. 若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是____________. 答案:(0,+∞) ? ?2x,x≥0, 解析:由题意 a=|x|+x,令 y=|x|+x=? 图象如图所示, ?0,x<0, ?
教师用书 1 第 44 页

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故要使 a=|x|+x 只有一解,则 a>0.

1. 基本初等函数及其图象 (1) 一次函数 y=ax+b(a≠0)

(2) 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)

k (3) 反比例函数 y= (k≠0) x

(4) 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)

(5) 对数函数 y=logax(a>0,a≠1)

2. 图象变换 (1) 平移变换

教师用书 1 第 45 页

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原图象对应的函数 y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) (2) 对称变换 函数 A y=f(x) y=f(x) y=f(x) (3) 翻折变换 原图象对应 的函数 y=f(x)

图象变换过程(a>0,b>0) 向左平移 a 个单位 向右平移 a 个单位 向上平移 b 个单位 向下平移 b 个单位

变换后图象对应的函数 y=f(x+a) y=f(x-a) y=f(x)+b y=f(x)-b

函数 B y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x)

A 与 B 图象间的对称关系 关于 y 轴对称 关于 x 轴对称 关于原点对称

图象变换过程 先把 f(x)的图象中位于 x 轴上方的部分保留, 将图象中位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方. 先把 f(x)的图象中位于 y 轴右侧的部分保留, 将图象中位于 y 轴右侧的部分沿 y 轴翻折到 y 轴左侧.

变换后图象 对应的函数 y=|f(x)|

y=f(x)

y=f(|x|)

(4) 伸缩变换 原图象对应 的函数 y=f(x) 图象变换过程 将 y=f(x)图象上所有点的纵坐标为原 来的 A 倍,横坐标不变而得到. 将 y=f(x)图象上所有点的横坐标为原 y=f(x) 1 来的 倍,纵坐标不变而得到. a y=f(ax) 变换后图象 对应的函数 y=Af(x)

[备课札记]

教师用书 1 第 46 页

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题型 1 利用描点法画函数图象 例 1 画出下列函数的图象. (1) y=2x-1,x∈Z,|x|≤2; (2) y=2x2-4x-3(0≤x<3); 1 (3) y= (lgx+|lgx|). 2

答案:(1)

(2)

(3) 解析:(1) ∵ x∈Z,|x|≤2,∴ x=± 2、± 1、0,图象由五个孤立点组成,如(1)图所示. (2) ∵ y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x<3), ∴ 图象为抛物线上的一段弧, 如(2)图所示. ?lgx,x≥1, ? 1 (3) ∵ y= (lgx+|lgx|)=? 2 ?0,0<x<1, ? ∴ 图象由两部分组成,如图(3)所示. 备选变式(教师专享) 画出下列函数的图象: (1) y=x2-2x(|x|>1); 1? (2) f(x)=? ?x?; (3) y=x|2-x|. 解:(1)∵ |x|>1,∴ x<-1 或 x>1,图象是两段曲线,如图①. 1 (x>0), x (2)f(x)= 图象如图②. 1 - (x<0), x

? ? ?

,①)

,②)

2 ? ?x -2x(x≥2) ? (3) ∵ y=x|2-x|= ,∴ 图象由两部分组成,如图③. 2 ?-x +2x(x<2) ?

教师用书 1 第 47 页

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题型 2 利用图象的平移变换作函数图象 例2 (1) 已知函数 y=f(x)的图象如图所示,请根据已知图象作出下列函数的图象: ①y=f(x+1);②y=f(x)+2;

(2) 作出函数 y=2

-x-3

+1 的图象.

(1) 答案: 解析:将函数 y=f(x)的图象向左平移一个单位得到 y=f(x+1)的图象(如图①所示),将 函数 y=f(x)的图象向上平移两个单位得到 y=f(x)+2 的图象(如图②所示).

(2) 答案: 1? 解析:由于 y=? ?2?
x+3

1?x +1,只需将函数 y=? ?2? 的图象向左平移 3 个单位,再向上平移 1

个单位,得到函数 y=2 x 3+1 的图象,如图. 变式训练 作下列函数的图象. 3x-1 (1) y= ; x-2 (2) y=log1[3(x+1)].
- -

3

解:(1) 由 y=3+ 得到函数 y=

5 5 ,将函数 y= 的图象向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位, x x-2

3x-1 的图象,如图. x-2

教师用书 1 第 48 页

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(2) 由 y=log13+log1(x+1)=log1(x+1)-1,将函数 y=log1x 的图象向左平移 1 个单位,
3 3 3 3

再向下平移 1 个单位,得到函数 y=log1[3(x+1)]的图象,图略.
3

题型 3 识图与辨图 例 3 已知定义在区间[0, 2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示, 则 y=-f(2-x)的图象为 下列中的________.(填序号)

答案:②
? ?x,0≤x≤1, 解析:(解法 1)由 y=f(x)的图象知 f(x)=? ?1,1<x≤2. ? 当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2], ?1,0≤x≤1, ? 所以 f(2-x)=? ?2-x,1<x≤2, ? ?-1,0≤x≤1, ? 故 y=-f(2-x)=? ?x-2,1<x≤2. ? (解法 2)当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1.可知 应填②. 备选变式(教师专享) 已知函数对任意的 x∈R 有 f(x)+f(-x)=0,且当 x>0 时,f(x)=ln(x+1),则函数 f(x) 的图象大致为下列中的________.(填序号)

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答案:④ 解析:∵ 对? x∈R 有 f(x)+f(-x)=0,∴ f(x)是奇函数,f(0)=0,y=f(x)的图象关于 原点对称.当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-ln(-x+1)=-ln(1-x),由图象知符合上述条件的 图象为④. 题型 4 函数图象的应用 例 4 当 m 为何值时,方程 x2-4|x|+5-m=0 有四个不相等的实数根? 解 : 方 程 x2 - 4|x| + 5 - m = 0 变 形 为 x2 - 4|x| + 5 = m , 设 y1 = x2 - 4|x| + 5 = 2 ? ?x -4x+5(x≥0),
? 2 ?x +4x+5(x<0), ?

y2=m,在同一坐标系下分别作出函数 y1 和 y2 的图象,如图所示.

由两个函数图象的交点可以知道,当两函数图象有四个不同交点,即方程有四个不同的 实数根,满足条件的 m 的取值范围是 1<m<5. 备选变式(教师专享) |x2-1| 已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点, 求实数 k 的取值范围. x-1 ?x+1,x>1, |x2-1| ? 解:y= =?-x-1,-1≤x<1,在同一直角坐标系下画出两函数的图象,当 x>1 x-1 ? ?x+1,x<-1 时, 有两交点的实数 k 的取值范围为 1<k<4; 当 x<1 时, 有两交点的实数 k 的取值范围为 0<k<1, 所以实数 k 的取值范围是 0<k<1 或 1<k<4.

1. (2014· 泰州期末)设函数 f(x)=(x-a)|x-a|+b(a、b 都是实数),则下列叙述正确的是 ________.(填序号) ① 对任意实数 a、b,函数 y=f(x)在 R 上是单调函数; ② 存在实数 a、b,函数 y=f(x)在 R 上不是单调函数; ③ 对任意实数 a、b,函数 y=f(x)的图象都是中心对称图形; ④ 存在实数 a、b,使得函数 y=f(x)的图象不是中心对称图形. 答案:①③ 2 ? ?(x-a) +b,x≥a, 解析:由题知 f (x)=? 示意图如图所示.因而 f(x)满足在 R 上是 2 ?-(x-a) +b,x<a, ? 增函数且关于点(a,b)中心对称.

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2. 已知直线 y=a 与函数 f(x)=2x 及 g(x)=3· 2x 的图象分别相交于 A、B 两点,则 A、B 两点之间的距离为________. 答案:log23 a 解析:由题意知 A(log2a,a),B(log2 ,a),所以 A、B 之间的距离 AB=|xA-xB|=log23. 3 3. (2014· 湖北)如图所示,函数 y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若? x∈R, f(x)>f(x-1),则正实数 a 的取值范围为____________.

1? 答案:? ?0,6? 解析:“? x∈R,f(x)>f(x-1)”等价于“函数 y=f(x)的图象恒在函数 y=f(x-1)的图 象的上方”,函数 y=f(x-1)的图象是由函数 y=f(x)的图象向右平移一个单位得到的,如图 1 0, ? . 所示.因为 a>0,由图知 6a<1,所以 a 的取值范围为? ? 6?

2 ? ?-x +2x,x≤0, ? 4. 已知函数 f(x)= 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是________. ?ln(x+1),x>0. ?

答案:[-2,0] 解析: 作出函数 y=|f(x)|的图象, 当|f(x)|≥ax 时, 必有 k≤a≤0, 其中 k 是 y=x2-2x(x≤0) 在原点处的切线斜率,显然 k=-2.所以 a 的取值范围是[-2,0].

1. 函数 y=

ex+e x - 的图象大致为________.(填序号) ex-e x


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答案:① ex+e x e2x+1 2 - 解析: 由 ex-e x≠0, 得定义域为{x|x≠0}, 排除③、 ④.又 y= x -x= 2x =1+ 2x , e -e e -1 e -1 所以当 x>0 时函数为减函数,故应为①. 2. (2014· 江苏 ) 已知 f(x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0 , 3) 时, f(x) = 1 ?x2-2x+ ?.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范 2? ? 围是________. 1? 答案:? ?0,2? 1? 1 2 解析:作出函数 f(x)=? ?x -2x+2?,x∈[0,3)的图象,可见 f(0)=2,当 x=1 时,f(x)极 1 7 大= ,f(3)= ,方程 f(x)-a=0 在 x∈[-3,4]上有 10 个零点,即函数 y=f(x)和图象与直线 2 2 y=a 在[-3,4]上有 10 个交点,由于函数 f(x)的周期为 3,因此直线 y=a 与函数 f(x)= ?x2-2x+1?,x∈[0,3)应该有 4 个交点,则有 a∈?0,1?. 2? ? ? 2?


3. 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时 f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(π x)|, 1 3 - , ?上的零点个数为________. 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ? 2 2? 答案:6 解析:因为当 x∈[0,1]时 f(x)=x3,所以当 x∈[1,2]时,(2-x)∈[0,1],f(x)=f(2-x) 1? ?1 3? =(2-x)3.当 x∈? ?0,2?时,g(x)=xcos(πx);当 x∈?2,2?时,g(x)=-xcos(πx),注意到函 1? ?3? 数 f(x)、g(x)都是偶函数,且 f(0)= g(0), f(1)= g(1),g? ?2?=g?2?=0,作出函数 f(x)、g(x)的 1 ? ? 1? ?1 ? ? 3? 大致图象, 函数 h(x)除了 0、 1 这两个零点之外, 分别在区间? ?-2,0?, ?0,2?, ?2,1?, ?1,2? 上各有一个零点,所以共有 6 个零点.
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 1 4. 已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x (1) 求函数 f(x)的解析式; a (2) 若 g(x)=f(x)+ ,g(x)在区间(0,2]上的值不小于 6,求实数 a 的取值范围. x 解:(1) 设 f(x)图象上任一点坐标为(x,y),∵ 点(x,y)关于点 A(0,1)的对称点(-x,2 -y)在 h(x)的图象上, 1 ∴ 2-y=-x+ +2, -x 1 1 ∴ y=x+ ,即 f(x)=x+ . x x a+1 (2) 由题意 g(x)=x+ , x a+1 且 g(x)=x+ ≥6,x∈(0,2]. x ∵ x∈(0,2],∴ a+1≥x(6-x),即 a≥-x2+6x-1. 令 q(x)=-x2+6x-1,x∈(0,2], q(x)=-x2+6x-1=-(x-3)2+8, ∴ x∈(0,2]时,q(x)max=q(2)=7,∴ a≥7. 故实数 a 的取值范围为[7,+∞). 1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数图象等. 2. 掌握几种图象的变换的方法技巧,如平移变换、伸缩变换、对称变换、周期变换、翻 折变换等,能帮助我们简化作图过程. 3. 利用函数图象可以解决一些形如 f(x)=g(x)的方程解的个数问题,解题中要注意对方 程适当变形,选择适当的函数作图. 请使用课时训练(B)第 5 课时(见活页). [备课札记]

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第 6 课时 二 次 函 数(对应学生用书(文)、(理)18~19 页)

① 由于二次函数与二次方程、二次不等式之 间有着紧密的联系,加上三次函数的导函数 是二次函数,因此对二次函数的考查一直是 高考的热点问题. ② 以二次函数为背景的应用题也是高考的 常考题型,同时借助二次函数模型考查代数 推理问题是一个难点.

① 掌握二次函数的概念、图象特征. ② 掌握二次函数的对称性和单调性,会求二 次函数在给定区间上的最值. ③ 掌握二次函数、一元二次方程及一元二次 不等式这“三个二次”之间的关系,提高解 综合问题的能力.

1. (必修 1P54 测试 7)函数 f(x)=x2+2x-3,x∈[0,2]的值域为________. 答案:[-3,5] 解析:由 f(x)=(x+1)2-4,知 f(x)在[0,2]上单调递增,所以 f(x)的值域是[-3,5]. 2. 二次函数 y=-x2+2mx-m2+3 的图象的对称轴为 x+2=0,则 m=________,顶点 坐标为________,递增区间为________,递减区间为________. 答案:-2 (-2,3) (-∞,-2] [-2,+∞) 3. 已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取值范围是________. 1 答案:( ,+∞) 20 ?a>0, ?a>0, ? ? 1 解析:由题意知? 即? 得 a> . 20 ? ? Δ <0 , 1 - 20a<0 , ? ? 4. ( 必 修 1P44

?x2+2x-1,x∈[0,+∞), ? 习 题 3) 函 数 f(x) = ? 2 的单调增区间是 ?-x +2x-1,x∈(-∞,0) ?

________. 答案:R 解析:画出函数 f(x)的图象可知. 5. 如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a, b])的图象关于直线 x=1 对称, 则函数 f(x)的最 小值为________. 答案:5 a+2 ? ?- =1, ? ?a=-4, 2 解析:由题意知? 得? 则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. ? b = 6. ? ? ?a+b=2,

1. 二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2) 顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式 f(x)=a(x-h)2+k(a≠0).
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 (3) 零点式(两根式): 若二次函数的图象与 x 轴的交点为(x1, 0), (x2, 0), 则其解析式 f(x) =a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2. 二次函数的图象及性质 b 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x=- ,顶点坐 2a 2 b 4ac-b ? 标是?- , . 4a ? ? 2a b b (1) 当 a>0,函数图象开口向上,函数在区间(-∞,- ]上是单调减函数,在[- ,+ 2a 2a 4ac-b2 b ∞)上是单调增函数,当 x=- 时,y 有最小值,ymin= . 2a 4a b (2) 当 a<0,函数图象开口向下,函数在区间[- ,+∞)上是单调减函数,在(-∞,- 2a 4ac-b2 b b ]上是单调增函数,当 x=- 时,y 有最大值,ymax= . 2a 2a 4a 3. 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 当 Δ=b2-4ac>0 时, 图象与 x 轴有两个交点 M1(x1, Δ 0),M2(x2,0),则 M1M2= . |a| [备课札记]

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题型 1 求二次函数解析式 例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1, f(-1)=-1,且 f(x)的最大值为 8,求二次函数 f(x)的解析式. 4a+2b+c=-1, a=-4, ? ? a - b + c =- 1 , 解: (解法 1: 利用一般式)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 解得?b=4, 4ac-b2 ? ?c=7, =8, 4a ∴ 所求二次函数为 f(x)=-4x2+4x+7. (解法 2:利用顶点式)设 f(x)=a(x-m)2+n,∵ f(2)=f(-1),∴ 抛物线对称轴为 x= 2+(-1) 1 1 = ,即 m= ;又根据题意,函数最大值 ymax=8, 2 2 2 1?2 ∴ n=8,∴ f(x)=a? ?x-2? +8. 1 2 2- ? +8=-1,解得 a=-4. ∵ f(2)=-1,∴ a? ? 2? 1 2 ?2 ∴ f(x)=-4? ?x-2? +8=-4x +4x+7. (解法 3:利用两根式)由题意知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1,故可设 f(x)+1= 4a(-2a-1)-a2 a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值 ymax=8, 即 =8, 4a 2 解得 a=-4 或 a=0(舍),∴ 所求函数的解析式为 f(x)=-4x -(-4)x-2?(-4)-1=-4x2 +4x+7. 备选变式(教师专享) 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶点 为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1) 求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2) 在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图; (3) 写出函数 f(x)的值域.

? ? ? ? ?

解:(1) 设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3)2+4,将(2,2)代 入可得 a=-2,则 y=-2(x-3)2+4,即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14.当 x<-2 时,-x>2. 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2?(-x)2-12x-14,即 f(x)=-2x2-12x-14. 所以函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14. (2) 函数 f(x)的图象如图.

(3) 由图象可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4]. 题型 2 含参变量二次函数的最值 例 2 函数 f(x)=2x2-2ax+3 在区间[-1,1]上最小值记为 g(a).
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 (1) 求 g(a)的函数表达式; (2) 求 g(a)的最大值. a 解: (1) ①当 a<-2 时, 函数 f(x)的对称轴 x= <-1, 则 g(a)=f(-1)=2a+5; ②当-2≤a 2 a? a a2 ≤2 时,函数 f(x)的对称轴 x= ∈[-1,1],则 g(a)=f? = 3 - ;③当 a>2 时,函数 f(x)的 ?2? 2 2 a 对称轴 x= >1,则 g(a)=f(1) =5-2a. 2 2a+5(a<-2),

? ? a 综上所述,g(a)=?3- 2 (-2≤a≤2), ?5-2a(a>2). ?
2

(2) ①当 a<-2 时,g(a)<1;②当-2≤a≤2 时,g(a)∈[1,3];③当 a>2 时,g(a)<1. 由①②③可得 g(a)max=3. 备选变式(教师专享) 求二次函数 f(x) = x2-4x- 1 在区间[t,t+2]上的最小值 g(t),其中 t∈R. 解:函数 f(x) = (x-2)2-5 的图象的对称轴方程为 x=2,开口向上. 当 2∈[t,t+2],即 t≤2≤t+2,也就是 0≤t≤2 时,g(t)=f(2)=-5; 当 2 ?[t,t+2]时,①当 t>2 时,f(x)在[t,t+2]上为增函数,故 g(t)=f(t)=t2-4t-1.② 当 t+2<2,即 t<0 时,f(x)在[t,t+2]上为减函数,故 g(t)=f(t+2)=(t+2)2-4(t+2)-1=t2 -5. 2 ?t -4t-1,t>2, 故 g(t)的解析式为 g(t)=?-5,0≤t≤2,

?

? ?t2-5,t<0.

题型 3 二次函数的综合应用 例 3 若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1) 求 f(x)的解析式; (2) 若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1) 由 f(0)=1,得 c=1,即 f(x)=ax2+bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, 则 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, ? ? ?2a=2, ?a=1, 即 2ax+a+b=2x,所以? 解得? ?a+b=0, ?b=-1. ? ? 因此,f(x)=x2-x+1. (2) f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1] 上恒成立,只需使函数 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. 因为 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, 所以 g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1). 变式训练 已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图象过点(1,3),且 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成 立,函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. (1) 求 f(x)与 g(x)的解析式; (2) 若 F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 解:(1) 因为函数 f(x)满足 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立, m 所以图象关于 x=-1 对称,即- =-1,即 m=2. 2 又 f(1)=1+m+n=3,所以 n=0,所以 f(x)=x2+2x. 又 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称,
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 所以-g(x)=(-x)2+2(-x), 所以 g(x)=-x2+2x. (2) 由(1)知,F(x)=(-x2+2x)-λ(x2+2x)=-(λ+1)x2+(2-2λ)x. 2-2λ 1-λ 当 λ+1≠0 时,F(x)的对称轴为 x= = , 2(λ+1) λ+1 因为 F(x)在(-1,1]上是增函数, ?1+λ<0, ?1+λ>0, 所以?1-λ 或?1-λ ≤-1 ? ≥1, ? ?λ+1 ?λ+1 所以 λ<-1 或-1<λ≤0. 当 λ+1=0,即 λ=-1 时,F(x)=4x 显然成立. 综上所述,实数 λ 的取值范围是(-∞,0]. 1. 方程 x2+ax-2=0 在区间[1,5]上有解, 则实数 a 的取值范围为________. 23 ? 答案:? ?- 5 ,1? ? ?f(1)≤0, 解析: 令 f(x)=x2+ax-2, 由题意, 知 f(x)图象与 x 轴在[1, 5]上有交点. 则? ?f(5)≥0. ? 23 解得- ≤a≤1. 5 2. (2014· 江苏)已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意的 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是________. 2 答案:?- ,0? 2 ? ? ?f(m)=m2+m2-1<0, ? 2 解析:由题意,得? 解得- <m<0. 2 2 ? f ( m + 1 )=( m + 1 ) + m ( m + 1 )- 1 < 0 , ?
?ax2-2x-1,x≥0, ? 3. 已知函数 f(x)=? 2 是偶函数,直线 y=t 与函数 y=f(x)的图象自左 ?x +bx+c,x<0 ? 向右依次交于四个不同点 A、B、C、D.若 AB=BC,则实数 t 的值为________. 7 答案:- 4 2 ? ?x -2x-1,x≥0,? ?xD=3xC, ? ? 解析: 根据偶函数的定义得 a=1, b=2, c=-1, f(x)= 2 ?x +2x-1,x<0,? ?xC+xD=2, ? 2 1 1 1 7 ? 所以 xC= ,则 t=? ?2? -2?2-1=-4. 2 4. 若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称,则 f(x)的最大值为 ________. 答案:16 解析:因为点(1,0),(-1,0)在 f(x)的图象上,且图象关于直线 x=-2 对称,所以点(- 5,0),(-3,0)必在 f(x)的图象上,所以 f(-5)=(1-25)(25-5a+b)=0,f(-3)=(1-9)(9 -3a+b)=0,联立,解得 a=8,b=15,所以 f(x)=(1-x2)(x2+8x+15),即 f(x)=-(x+1)(x -1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5).令 t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4,则 f(x)=-(t +3)(t-5)=-(t-1)2+16,当 t=1 时,f(x)max=16.

?

?

1. 已知函数 f(x) = ex - 1 , g(x) =- x2 + 4x - 3 ,若有 f(a) = g(b) ,则 b 的取值范围为 ________. 答案:(2- 2,2+ 2)

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 解析: 易知, f(a)=ea-1>-1, 由 f(a)=g(b), 得 g(b)=-b2+4b-3>-1, 解得 2- 2<b<2 + 2. 2. 已知函数 f(x)=2-2x2,x∈(0,1],若过点 P(t,f(t))的切线分别与 x、y 轴交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积的最小值为________. 8 3 答案: 9 解析:由已知得 t∈(0,1],f(t)=2-2t2,f′(x)=-4x,所以过点 P 的切线斜率 k=-4t, 则切线方程为 y-(2-2t2)=-4t(x-t),即 y=-4tx+2t2+2. 1 t 1 t ? 令 y=0,得 x= + ,即 A? ?2t+2,0?. 2t 2 1 1 t? 1 + (2+2t2)= 令 x=0,得 y=2+2t2,即 B(0,2+2t2),所以△OAB 的面积 S= ? 2?2t 2? 2 3 2 ?t3+2t+1? ,t∈(0,1],则 S′= 1?3t2+2- 1 ? 1 2 t? t2? = 2t2 (3t - 1)(t + 1) ,令 S′= 0 ,得 t= 3 . 当 ? 2? 3 3 3 t∈?0, ?时,S′<0,当 t∈? ,1?时,S′>0,所以当 t= 时,△OAB 的面积最小, 3 3? ? ?3 ? 1? 3 3 3 ? 8 3. 最小值为 ? ? +2· + 3 = 2?? 3 ? 3 ? 9 3. 设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x∈[a, b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联 区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则实数 m 的取值范 围为________. 9 ? 答案:? ?-4,-2?

解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同一 坐标系下作出函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当 x ∈[2,3]时,y=x2-5x+ 9 ? ? 9 ? 4∈? ?-4,-2?,故当 m∈?-4,-2?时, 函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3]) 的图象有两个交点. 4. 已知函数 f(x)=ax2-2x+1. (1) 试讨论函数 f(x)的单调性; 1 (2) 若 ≤a≤1, 且 f(x)在[1, 3]上的最大值为 M(a), 最小值为 N(a), 令 g(a)=M(a)-N(a), 3 求 g(a)的表达式; 1 (3) 在(2)的条件下,求证:g(a)≥ . 2 (1) 解:当 a=0 时,函数 f(x)=-2x+1 在(-∞,+∞)上为减函数; 1? 1 当 a>0 时,抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向上,对称轴为 x= ,故函数 f(x)在? ?-∞,a? a 1 ? 上为减函数,在? ? a,+∞?上为增函数; 1? 1 当 a<0 时,抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向下,对称轴为 x= ,故函数 f(x)在? ?-∞,a? a
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 1 ? 上为增函数,在? ? a,+∞?上为减函数. 1 2 1 1 1 1 1 x- ? +1- ,由 ≤a≤1 得 1≤ ≤3,∴ N(a)=f? ?=1- . (2) 解:∵ f(x)=a? a a ? ? ? ? a 3 a a 1 1 当 1≤ <2,即 <a≤1 时,M(a)=f(3)=9a-5, a 2 1 故 g(a)=9a+ -6; a 1 1 1 1 当 2≤ ≤3,即 ≤a≤ 时,M(a)=f(1)=a-1,故 g(a)=a+ -2. a 3 2 a 1 1 1 ? a+ -2,a∈? ?3,2?, a ∴ g(a)= 1 ? 1 9a+ -6,a∈? ?2,1?. a 1 1? 1 (3) 证明:当 a∈? ?3,2?时,g′(a)=1-a2<0, 1 1? ∴ 函数 g(a)在? ?3,2?上为减函数; 1 ? 1 当 a∈? ?2,1?时,g′(a)=9-a2>0, 1 ? ∴ 函数 g(a)在? ?2,1?上为增函数, 1? 1 1 ∴ 当 a= 时,g(a)取最小值,g(a)min=g? ?2?=2. 2 1 故 g(a)≥ . 2

? ? ?

1. 二次函数有三种形式的解析式,要根据具体情况选用:如和对称轴、最值有关,可选 用顶点式;和二次函数的零点有关,可选用零点式;一般式可作为二次函数的最终结果. 2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型: 轴定区间定、 轴动区间定、 轴定区间动, 不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,需要按照“三点一轴”来分类讨论 (三点即区间的端点和中点,一轴即对称轴),此类问题是考查的重点. 3. 二次函数、 一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”, 它们常结合在一起, 而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体. 请使用课时训练(A)第 6 课时(见活页). [备课札记]

教师用书 1 第 60 页

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第 7 课时 指数函数、对数函数及幂函数(1) (对应学生用书(文)、(理)20~21 页)

① 理解指数和指数函数的概念,会进行根式 与分数指数幂的互化,掌握有理指数幂的性 ① 幂的运算是解决与指数函数有关问题的 质和运算法则,并能运用它们进行化简和求 基础,要引起重视. 值. ② 对数式和指数式的相互转化,应用对数运 算性质及换底公式灵活地求值、化简是研究 ② 理解对数的概念,熟练地进行指数式和对 指、对数函数的前题,高考的涉及面比较广. 数式的互化,掌握对数的性质和对数运算法 则,并能运用它们进行化简和求值.

1. 化简:[(-2)6]2-(-1)0=________. 答案:7 解析:原式=(26)2-1=7. 2. (必修 1P80 习题 6 改编)计算:(lg5)2+lg2?lg50=________. 答案:1 解析:原式=(lg5)2+lg2?(1+lg5)=lg5(lg2+lg5)+lg2=1. 3. (必修 1P80 习题 12 改编)已知 lg6=a,lg12=b,则用 a、b 表示 lg24=________. 答案:2b-a 144 解析:lg24=lg =2lg12-lg6=2b-a. 6 3 3 - 4. (必修 1P63 习题 6 改编)若 a+a 1=3,则 a2-a- =______. 2 答案:±4 3 1 1 1 3 1 1 1 - - 解析:a2-a- =(a2-a- )(a+a 1+1).∵ (a2-a- )2=a+a 1-2=1,∴ a2-a- = 2 2 2 2 ± 1,∴ 原式=(± 1)?(3+1)=± 4. 5. 方程 9x-6· 3x-7=0 的解是________. 答案:x=log37 解析:令 3x=t,则原方程可化为 t2-6t-7=0,解得 t=-1(舍去),t=7,则该方程的解 是 x=log37.
1

1

1. 根式 (1) 根式的概念 根式的概念 如果 a=xn,那么 x 叫做 a 的 n 次实数方根 续表 符号表示 备注 n>1 且 n∈N*

教师用书 1 第 61 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 当 n 为奇数时,正数的 n 次实数方根是一个正数,负 数的 n 次实数方根是一个负数 当 n 为偶数时,正数的 n 次实数方根有两个,它们互 为相反数 (2) 两个重要公式 ?a(n为奇数), n n ? ?a(a≥0), ① a =? ? |a|=? (n为偶数); ? ? ? ?-a(a<0) n n ② ( a)n=a(注意 a 必须使 a有意义). 2. 有理指数幂 (1) 分数指数幂的表示 n ① 正数的正分数指数幂是 a n = am(a>0,m、n∈N*,n>1); m 1 1 ② 正数的负分数指数幂是 a- = m= (a>0,m、n∈N*,n>1); n n n a am ③ 0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂无意义. (2) 有理指数幂的运算性质 + ① asat=as t(a>0,t、s∈Q); ② (as)t=ast(a>0,t、s∈Q); ③ (ab)t=atbt(a>0,b>0,t∈Q). 3. 对数的概念 (1) 对数的定义 如果 ab=N,那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. (2) 几种常见对数 对数形式 特点 记法 logaN 一般对数 底数为 a(a>0 且 a≠1) lgN 常用对数 底数为 10 lnN 自然对数 底数为 e 4. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质 ① alogaN=N;② logaaN=N(a>0 且 a≠1). (2) 对数的重要公式 logaN 1 ① 换底公式:logbN= (a、b 均大于零且不等于 1);② logab= . logab logba (3) 对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ① loga(MN)=logaM+logaN; M ② loga =logaM-logaN; N ③ logaMn=nlogaM(n∈R); n ④ logamMn= logaM. m [备课札记]
m

n

a

0 的 n 次实数方根是 0 负数没有偶次方根

n ± a

教师用书 1 第 62 页

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题型 1 指数幂的运算 例1 化简下列各式(其中各字母均为正数): 7? -2 0 37 ? 10? 3 (1) ? ?29? +0.1 +?227? -3π +48; 1 1 1 (a · b )- ?a- ?b3 2 2 (2) . 6 5 a?b
-1

0.5



2

2 3

25?2 1 ?64? 3-3+37=5+100+ 9 -3+37=100. 解:(1) 原式=? + 2+ ? 9 ? 0.1 ?27? 48 3 16 48
1 1 1 1 a- 〃b2〃a- 〃b3 3 2 1 1 1 1 1 5 1 (2) 原式= =a- - - 〃b + - = . 1 5 3 2 6 2 3 6 a a6〃b6 备选变式(教师专享) 1 -2 7 1 1 - ? +?2 ?2-( 2-1)0; (1) (0.027)- -? ? 9? 3 ? 7? 1 2 1 5 1 - - - (2) a3?b 2?(-3a- b 1)÷ (4a3?b 3)2. 6 2

1



2

27 ? 3 10 5 5 ab -2?1? ?25?2 解:(1) 原式=? ?1 000? -(-1) ?7? +? 9 ? -1= 3 -49+3-1=-45. (2) - 4ab2 . 题型 2 对数的运算 例2 求下列各式的值. 1 (1) log535+2log1 2-log5 -log514; 50 2 1 1 1 ?log3 ?log5 . 25 8 9 1 35?50 解:(1) 原式=log5 +2log122=log553-1=2. 14 2 (2) log2 1 1 1 lg lg lg 25 8 9 (2) 原式= ? ? lg2 lg3 lg5 -2lg5 -3lg2 -2lg3 = ? ? =-12. lg2 lg3 lg5 变式训练 计算: 1 5 (1) lg -lg +lg12.5-log89?log278; 2 8 3 lg4 - lg60 ? ? -45?2-11. (2) ? ? ? lg3+lg5 ? 1 2 lg9 lg8 2lg3 1 解:(1) 原式=lg 5?12.5 - 〃 =1- = . lg8 lg27 3lg3 3 8 lg4 - lg4 -lg15?3 10 -11 (2) 原式=? lg15 ? ? -2 ?2 -lg15?3 -1 3 =? ? lg15 ? -2 =-2.



1

-2

1

? ? ?

? ? ?

教师用书 1 第 63 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 题型 3 指数与对数的混合运算 例3 已知实数 x、y、z 满足 3x=4y=6z>1. 2 1 2 (1) 求证: + = ; x y z (2) 试比较 3x、4y、6z 的大小. 1 1 (1) 证明:令 k =3x=4y=6z>1,则 x=log3k,y=log4k,z=log6k,于是 =logk3, = x y 1 2 1 2 logk4, =logk6,从而 + =2logk3+logk4=logk3 +logk4=logk36=2logk6,等式成立. z x y (2) 解:由于 k>1,故 x、y、z >0. 3lgk 3x 3log3k lg3 3lg4 lg43 lg64 = = = = = <1; 4y 4log4k 4lgk 4lg3 lg34 lg81 lg4 2lgk 4y 2log4k lg4 2lg6 lg62 lg36 = = = = = <1, 6z 3log6k 3lgk 3lg4 lg43 lg64 lg6 故 3x<4y<6z. 备选变式(教师专享) - 23x-2 3x 若 xlog34=1,求 x -x 的值. 2 +2 解:由 xlog34=1,知 4x=3, -x -2x x 2x - 23x-2 3x (2 -2 )(2 +2 +1) ∴ x -x = -x x 2 +2 2 +2 1 ? - (3-1)? ?3+3+1? 13 (22x-1)(22x+2 2x+1) = = = . 6 22x+1 3+1

1. 计算:lg 5+lg 20=________. 答案:1 解析:lg 5+lg 20=lg( 5? 20)=lg10=1. 1?x ? ?? ,x≥4, 2. 已知函数 f(x)=??2? 则 f(2+log23)=________.

? ?f(x+1),x<4,

答案:

1 24
2 2

1?3+log 3 ?1?log 解析:由 3<2+log23<4,得 3+log23>4,所以 f(2+log23)=f(3+log23)=? =?2? ?2?
24=

1 . 24 3. 已知 a=log36,b=log510,c=log714,则 a、b、c 的大小关系为________. 答案:a>b>c 解析: a=log36=1+log32, b=1+log52, c=1+log72, 由于 log32>log52>log72, 所以 a>b>c. 1 1 4. 若 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b 答案: 10 1 1 解析:由 2a=5b=m 得 m>0,且 a=log2m,b=log5m,∴ + =logm2+logm5=logm10. a b 1 1 ∵ + =2,∴ logm10=2,即 m2=10,解得 m= 10. a b

教师用书 1 第 64 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习

1. 设 a=lge,b=(lge)2,c=lg e,则 a、b、c 的大小关系是________. 答案:a>c>b 解析:本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b.又 c=lge,作商比较知 c>b,故 a>c>b. 2. (2014· 陕西)已知 4a=2,lgx=a,则 x=________. 答案: 10 1 1 1 解析:4a=2,即 22a=2,可得 a= ,所以 lgx= ,所以 x=102= 10. 2 2 3. 已知函数 f(x)=lgx,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=________. 答案:2 解析:由 f(ab)=1 得 ab=10,于是 f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2lg(ab)=2lg10 =2. 1? ?1+ 1 ? 4. 已知 m、n 为正整数,a>0 且 a≠1,且 logam+loga? ?1+m?+loga? m+1?+?+ 1 loga?1+m+n-1?=logam+logan,求 m、n 的值. ? ? m+1? ?m+2? + ? + log ? m+n ? = 解 : 左 边 = logam + loga ? + loga ? ? ? a ? ? m ? ?m+1? ?m+n-1? m+n ? ? m+1 m+2· ?· loga?m· m · m+1 m+n-1? ? ? =loga(m+n), ∴ 已知等式可化为 loga(m+n)=logam+logan=logamn. 比较真数得 m+n=mn,即(m-1)(n-1)=1. ? ? ?m-1=1, ?m=2, ∵ m、n 为正整数,∴ ? 解得? ?n-1=1, ?n=2. ? ? 1. 根式与分数指数幂的实质是相同的, 通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为 幂的运算,从而可以简化计算过程. 2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的, 在对含有字母的对数式化简时必须保证恒 等变形. 3. 在解决指数、对数问题时,指数式与对数式的互化起着重要作用. 请使用课时训练(B)第 7 课时(见活页). [备课札记]

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 第 8 课时 指数函数、对数函数及幂函数(2) (对应学生用书(文)、(理)22~23 页)

高考对指数函数的考查近三年有所升温,重 ① 了解指数函数模型的实际背景. 点是指数函数的图象和性质,以及指数函数 ② 理解指数函数的概念,并理解指数函数的 单调性与函数图象通过的特殊点. 的实际应用问题,在复习时要特别重视对指 ③ 知道指数函数是一类重要的函数模型. 数函数性质的理解与应用.

1. (必修 1P110 复习 9 改编)函数 y=ax 3+3 恒过定点________. 答案:(3,4) - 解析:当 x=3 时,f(3)=a3 3+3=4,所以 f(x)必过定点(3,4). 2. (必修 1P110 复习 3 改编)函数 y= 8-16x的定义域是________. 3? 答案:? ?-∞,4? 3? 解析:由 8-16x≥0,所以 24x≤23,即 4x≤3,定义域是? ?-∞,4?. 3. ( 必修 1P67 练习 3) 函数 f(x) = (a2 - 1)x 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 ________________. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2) 解析:由 0<a2-1<1,得 1<a2<2,所以 1<|a|< 2,即- 2<a<-1 或 1<a< 2. 4. 若函数 y=(a2-3a+3)· ax 是指数函数,则实数 a 的值为________. 答案:2 解析:∵ a2-3a+3=1,∴ a=2 或 a=1(舍). 5. 方程 2x=2-x 的解的个数是________.


答案:1 解析:方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2-x 的图象交点的横坐标,分别作出这两个函 数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解.

1. 指数函数定义 一般地,函数 y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是 R. 2. 指数函数的图象与性质

教师用书 1 第 66 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

R (0,+∞) (1) 过定点(0,1),即 x=0 时,y =1 (1) 过定点(0,1), 即 x=0 时,y=1

性质

(2) 当 x>0 时, (2) 当 x>0 时,f(x)>1;x<0 时, 0<f(x)<1;x<0 时, 0<f(x)<1 f(x)>1 (3) 在(-∞,+∞)上是增函数 (3) 在(-∞,+∞) 上是减函数

[备课札记]

教师用书 1 第 67 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习

指数型函数的定义域、值域 1 1 例 1 已知 x∈[-3,2],求 f(x)= x- x+1 的最小值与最大值. 4 2 1?2 3 1 1 1 -x -x -x - - 解: f(x)= x- x+1=4 -2 +1=2 2x-2 x+1=? 2], ∴ ≤ ?2 -2? +4.∵ x∈[-3, 4 2 4 1 3 - - - 2 x≤8.则当 2 x= ,即 x=1 时,f(x)有最小值 ;当 2 x=8,即 x=-3 时,f(x)有最大值 57. 2 4 备选变式(教师专享) 若 0<a<1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求实数 a 的值. 解:令 t=ax(0<a<1),则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). 1? 因为 0<a<1,x∈[-1,1],所以 t=ax∈? ?a,a?, 1? 此时 f(t)在? ?a,a?上为增函数. 1? ?1 ?2 所以 f(t)max=f? ? a?=? a+1? -2=14. 1 ?2 1 1 所以? ?a+1? =16,所以 a=-5或 a=3. 1 又 a>0,所以 a= . 3 题型 2 指数型函数的图象 - 例 2 已知函数 f(x)=|2x 1-1|. (1) 作出函数 y=f(x)的图象; (2) 若 a<c,且 f(a)>f(c),求证:2a+2c<4. - ?2x 1-1,x≥1, ? (1) 解:f(x)=? 其图象如图所示. x-1 ? ?1-2 ,x<1,

题型 1

(2) 证明:由图知,f(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,故结合条件知 必有 a<1. 若 c≤1,则 2a<2,2c≤2,所以 2a+2c<4; - - - - 若 c>1,则由 f(a)>f(c),得 1-2a 1>2c 1-1,即 2c 1+2a 1<2,所以 2a+2c<4. a c 综上知,总有 2 +2 <4. 备选变式(教师专享)
x x 画出函数 y=|3 -1|的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程|3 -1|=k 无解?有一 个解?有两个解?

解: . 由图知,当 k<0 时,方程无解;当 k=0 或 k≥1 时,方程有一个解;当 0<k<1 时,方程 有两个解. 题型 3 指数函数的综合运用

教师用书 1 第 68 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 1 1 例 3 已知函数 f(x)=?ax-1+2?x3(a>0 且 a≠1).

?

?

(1) 求函数 f(x)的定义域; (2) 讨论函数 f(x)的奇偶性; (3) 求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立. 解:(1) 由于 ax-1≠0,则 ax≠1,所以 x≠0, 所以函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. 1 1? ax 1 ? 3 ? + (2) 对于定义域内任意的 x,有 f(-x)= a-x-1 2 (-x) =- 1-ax+2?x3=-(-1- ? ? ? ? 1 1 1 1 + )x3=?ax-1+2?x3=f(x),所以 f(x)是偶函数. ? ? ax-1 2 1 1 (3) ① 当 a>1 时,对 x>0,所以 ax>1,即 ax-1>0,所以 x + >0.又 x>0 时,x3>0,所 a -1 2 1 1 以 x3?ax-1+2?>0, ? ? 即当 x>0 时,f(x)>0. 由(2)知,f(x)是偶函数,即 f(-x)=f(x), 则当 x<0 时,-x>0,有 f(-x)=f(x)>0 成立. 综上可知,当 a>1 时,f(x)>0 在定义域上恒成立. (ax+1)x3 ② 当 0<a<1 时,f(x)= , 2(ax-1) 当 x>0 时,0<ax<1,此时 f(x)<0,不满足题意; 当 x<0 时,-x>0,有 f(-x)=f(x)<0,也不满足题意. 综上可知,所求 a 的取值范围是 a>1. 变式训练 3x a 设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数. a 3 (1) 求 a 的值; (2) 判断并证明函数 f(x)在[0,+∞)上的单调性; (3) 求函数的值域. 9+a2 9a2+1 3 a 1 解:(1) 因为 f(x)为偶函数,故 f(1)=f(-1),于是 + = +3a,即 = .因为 a 3 3a 3a 3a a>0,故 a=1. 1 (2) 设 x2>x1≥0,f(x1)-f(x2)=(3x2-3x1)( -1). 3x2+x1 因为 3x 为增函数,且 x2>x1,故 3x2-3x1>0. 1 1 因为 x2>0,x1≥0,故 x2+x1>0,于是 <1,即 -1<0,所以 f(x1)-f(x2) 3x2+x1 3x2+x1 <0,所以 f(x) 在[0,+∞)上为增函数. (3) 因为函数为偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上为增函数,故 f(0)=2 为函数的最小值,于 是函数的值域为[2,+∞). 1 1. 函数 y=ax- (a>0,a≠1)的图象可能是________.(填序号) a

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答案:④ 1 1 解析:当 a>1 时,y=ax- 为增函数,且在 y 轴上的截距 0<1- <1,故①②不正确;当 a a 1 1 0<a<1 时,y=ax- 为减函数,且在 y 轴上的截距 1- <0,故④正确. a a ?log2x,x>0, ? 2. 已知函数 f(x)=? x 则满足不等式 f(f(x))>1 的 x 的取值范围是________. ?2 ,x≤0, ? 答案:(4,+∞) 解析:当 x≤0 时,f(x)=2x∈(0,1],f(f(x))=f(2x)=log22x=x>1,与 x≤0 矛盾,此时不 等式无解;当 0<x≤1 时,f(x)=log2x≤0,f(f(x))=2log2x=x>1,与 0<x<1 矛盾,此时不等式 无解;当 x>1 时,f(x)=log2x>0,f(f(x))=log2(log2x)>1,即 log2x>2 ? x>4.所以满足不等式 f(f(x))>1 的 x 的取值范围是(4,+∞). 3. 设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数 a、b 满足 f(a)=0,g(b)=0,则 g(a)、 f(b)、0 三个数的大小关系为________. 答案:g(a)<0<f(b) 解析:易知 f(x)是增函数,g(x)在(0,+∞)上也是增函数,由于 f(a)=0,而 f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0, 所以 0<a<1; 又 g(1)=-2<0, g(2)=ln2+1>0, 所以 1<b<2, 所以 f(b)>0, g(a)<0, 故 g(a)<0<f(b). 4. 已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件:① f(x)=ax?g(x)(a>0,a ≠1);② g(x)≠0. f(1) f(-1) 5 若 + = ,则 a=________. g(1) g(-1) 2 1 答案:2 或 2 f(x) f(1) f(-1) 5 5 - 解析:由 f(x)=ax〃g(x)得 =ax,所以 + = ? a+a 1= ,解得 a 2 g(x) g(1) g(-1) 2 1 =2 或 . 2

1 1. 已知函数 f(x)=a- x 是定义在(-∞,-1]∪[1,+∞)上的奇函数,则 f(x)的值域 2 -1 是________. 3 1? ?1 3? 答案:? ?-2,-2?∪?2,2? 1 1 1 解析:因为 f(x)是奇函数,f(-1)+f(1)=0,解得 a=- ,所以 f(x)=- - x ,易知 2 2 2 -1

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 3 1? f(x)在(-∞, -1]上为增函数, 在[1, +∞)上也是增函数. 当 x∈[1, +∞)时, f(x)∈? ?-2,-2?. 3 1? ?1 3? 又 f(x)是奇函数,所以 f(x)的值域是? ?-2,-2?∪?2,2?. 2. 已知 f(x)=(ex-1)2+(e x-1)2,则 f(x)的最小值为________. 答案:-2 - - - 解析:将 f(x)展开重新配方得 f(x)=(ex+e x)2-2(ex+e x)-2,令 t=ex+e x, 则 g(t)=t2-2t-2=(t-1)2-3,t∈ [2,+∞), 所以,最小值为-2. 1?a ?1?b 3. 已知实数 a,b 满足等式? ?2? =?3? ,下列五个关系式: ① 0<b<a;② a<b<0;③ 0<a<b;④ b<a<0;⑤ a=b. 其中不可能成立的关系式有________个. 答案:2 1?x 1?x ? 解析:函数 y1=? 与 y = 2 ?2? ?3? 的图象如图,


1?a ?1?b 由? ?2? =?3? 得 a<b<0 或 0<b<a 或 a=b=0. 1? 4. 已知函数 f(x)=? ?3?
ax2
-4x+3

.

(1) 若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2) 若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. 1?-x -4x+3 解:(1) 当 a=-1 时,f(x)=? , ?3? 2 令 t=-x -4x+3, 由于 t(x)在(-∞,-2)上单调递增, 在[-2,+∞)上单调递减, 1?t 而 y=? ?3? 在 R 上单调递减, 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减, 在[-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的递增区间是[-2,+∞), 递减区间是(-∞,-2). 1?h(x) (2) 令 h(x)=ax2-4x+3,f(x)=? , ?3? 由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1, ?a>0,
2

因此必有?12a-16 解得 a=1. ? 4a =-1, ? 即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1.

?

1. 指数函数是中学数学中基本初等函数之一,是高考必考内容.本部分知识在高考中主 要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性). 2. 将指数函数 y=ax(a>0, a≠1)的图象进行平移、 翻折, 可作出 y-y0=f(x-x0), y=|f(x)|,
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 y=f(|x|)等函数的图象,要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题. 3. 对可转化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0(≤0)形式的方程或不等式, 常借助于换 元法解决,但应注意换元后“新元”的范围. 请使用课时训练(A)第 8 课时(见活页). [备课札记]

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第 9 课时 指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文)、(理)24~25 页)

① 对数函数在高考中的考查主要是图象和 性质,同时考查数学思想方法,以考查分类 讨论及运算能力为主;考查形式主要是填空 题,同时也有综合性较强的解答题出现,目 的是结合其他章节的知识,综合进行考查. ② 幂函数的考查较为基础,以常见的 5 种幂 函数为载体,考查求值、单调性、奇偶性、 最值等问题是高考命题的出发点.

① 理解对数函数的概念;理解对数函数的单 调性;掌握对数函数图象通过的特殊点. ② 知道对数函数是一类重要的函数模型. ③ 了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 的相互关系(a>0,a≠1). ④ 了解幂函数的概念,结合函数 y=x,y= - - x2,y=x3,y=x 1,y=x 2 的图象,了解它 们的变化情况.

1. 函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是________. 答案:(1,0) 解析:当 x=1 时 y=0.故 A 点的坐标为(1,0). 1? 2. (必修 1P89 练习 3 改编)若幂函数 y=f(x)的图象经过点? ?9,3?,则 f(25)=________. 1 答案: 5 1 α 1 1 1 α 解析:设 f(x)=x ,则 =9 ,∴ α=- ,即 f(x)=x- ,f(25)= . 3 2 2 5 1-x 3. (必修 1P111 习题 15 改编)函数 f(x)=ln 是________(填“奇”或“偶”)函数. 1+x 答案:奇 -1 1+x ?1-x? =-ln1-x=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 解析:因为 f(-x)=ln =ln? ? 1-x 1+x ?1+x? 4. (必修 1P87 习题 13 改编)不等式 lg(x-1)<1 的解集为________. 答案:(1,11) 解析:由 0<x-1<10,∴ 1<x<11. x+3 5. 为 了 得 到 函 数 y = lg 的 图 象 , 只 需 把 函 数 y = lgx 的 图 象 上 所 有 的 点 10 ________________________________________________________________________. 答案:向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 x+3 解析:∵ y=lg =lg(x+3)-1,∴ 将 y=lgx 的图象上的点向左平移 3 个单位长度得 10 到 y=lg(x+3)的图象,再将 y=lg(x+3)的图象上的点向下平移 1 个单位长度得到 y=lg(x+ 3)-1 的图象.

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1. 对数函数的定义 一般地,我们把函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义 域是(0,+∞). 2. 对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图 象

(1) 定义域:(0,+∞) (2) 值域:R 性 质 (3) 过点(1,0),即 x=1 时,y=0 (4) 当 x>1 时,f(x)>0;当 0 <x<1 时,f(x)<0 (5) 是(0,+∞)上的增函数 (4) 当 x>1 时,f(x)<0;当 0 <x<1 时,f(x)>0 (5) 是(0,+∞)上的减函数

3. 幂函数的定义 α 形如 y=x (α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. 4. 幂函数的图象

5. 幂函数的性质 函数特 征性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x R R 奇 增 y=x2 R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减, y=x3 R R 奇 增
1

y=x2 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增

y=x

-1

{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇 (-∞,0)减,

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 [0,+∞)增 定点 [备课札记] (1,1) (0,+∞)减

题型 1 例1

对数函数的概念与性质 1 (1) 设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差是 ,则 a= 2

________; (2) 若 a=log0.40.3,b=log54,c=log20.8,则 a、b、c 的大小关系为________;(用“<” 表示) 2 (3) 设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是________; ? ? (4) 已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m、n 满足 m<n 且 f(m)=f(n),若 f(x)在区间[m2,n] 上的最大值为 2,则 m、n 的值分别为________. 1 答案:(1) 4 (2) c<b<a (3) -1<x<0 (4) ,2 2 解析:(1) ∵ a>1,∴ 函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上是增函数,∴ loga2a-logaa 1 = ,∴ a=4. 2 (2) 由于 a>1,0<b<1,c<0,∴ c<b<a. 1+x >0, 1-x 1+ x (3) 由 f(-x)+f(x)=0,得 a=-1,则由 lg <0,得 解得-1<x<0. 1- x 1+x <1, 1-x (4) 结合函数 f(x)=|log2x|的图象, 易知 0<m<1, n>1, 且 mn=1, ∴ f(m2)=|log2m2|=2, 1 解得 m= ,∴ n=2. 2 变式训练 2 (1) 设 loga <1,则实数 a 的取值范围是________; 3 (2) 已知函数 f(x)=lg(x2+a)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是________; (3) 若函数 f(x)=loga|x+1|在(-1,0)上有 f(x)>0,则函数 f(x)的单调减区间是________; (4) 若函数 f(x) = log 1 (x2 - 2ax + 3) 在 ( -∞, 1] 内为增函数,则实数 a 的取值范围是

? ? ? ? ?

2

________. 2 答案:(1) 0<a< 或 a>1 (2) a≤0 (3) (-1,+∞) 3 (4) [1,2) 解析:(1) 分 a>1 与 a<1 两种情形进行讨论. (2) 值域为 R 等价于 x2+a 可以取一切正实数. (3) 函数 f(x)的图象是由 y=loga|x|的图象向左平移 1 个单位得到,∴ 0<a<1. ? ?a≥1, (4) 令 g(x)=x2-2ax+3,则? 解得 1≤a<2. ?g(1)>0, ? 题型 2 幂函数的概念与性质 - 例2 已知幂函数 y=x3m 9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数.

教师用书 1 第 75 页

最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 (1) 求 m 的值; m m (2) 求满足不等式(a+1)- <(3-2a)- 的实数 a 的取值范围. 3 3 3m-9 解:(1) 因为函数 y=x 在(0,+∞)上是减函数,所以 3m-9<0,所以 m<3. 因为 m∈N*,所以 m=1 或 2. 又函数图象关于 y 轴对称,所以 3m-9 是偶数,所以 m=1. m m 1 1 (2) 不等式(a+1)- <(3-2a)- 即为(a+1)- <(3-2a)- . 3 3 3 3 1 结合函数 y=x- 的图象和性质知: 3 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 2 3 解得 a<-1 或 <a< , 3 2 2 3 即实数 a 的取值范围是 a<-1 或 <a< . 3 2 备选变式(教师专享) 1? 已知幂函数 y=f(x)经过点? ?2,8?. (1) 试求函数解析式; (2) 判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间. 1 解:(1)由题意,得 f(2)=2a= ? a=-3, 8 -3 故函数解析式为 f(x)=x . (2)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, - - 因为 f(-x)=(-x) 3=-x 3=-f(x),故该幂函数为奇函数. 其单调减区间为(-∞,0),(0,+∞). 题型 3 指数函数、对数函数的综合问题 例 3 已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1) 求 k 的值; 4 2x- a?,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的 (2) 设 g(x)=log4? 3 ? ?a· 取值范围. 解:(1) 由函数 f(x)是偶函数,可知 f(x)=f(-x), - ∴ log4(4x+1)+kx=log4(4 x+1)-kx. 4x+1 log4 -x =-2kx,即 x=-2kx 对一切 x∈R 恒成立, 4 +1 1 ∴ k=- . 2 4 1 2x- a? (2) 函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 即方程 log4(4x+1)- x=log4? 3 ? ?a· 2 1 4 有且只有一个实根,化简得方程 2x+ x=a· 2x- a 有且只有一个实根.令 t=2x>0,则方程(a 2 3 4 -1)t2- at-1=0 有且只有一个正根. 3 3 3 3 ① a=1 ? t=- ,不合题意;② a≠1 时,Δ=0 ? a= 或-3.若 a= ? t=-2,不合 4 4 4 -1 1 题意;若 a=-3 ? t= ;③ a≠1 时,Δ>0,一个正根与一个负根,即 <0 ? a>1. 2 a-1 综上,实数 a 的取值范围是{-3}∪(1,+∞). 备选变式(教师专享) 已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1) 若 f(x)定义域为 R,求实数 a 的取值范围;

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 (2) 若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (3) 是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 解:(1) 因为 f(x)的定义域为 R, 所以 ax2+2x+3>0 对任意 x∈R 恒成立. 显然 a=0 时不合题意, ? ? ?a>0, ?a>0, 1 从而必有? 即? 解得 a> . 3 ?Δ<0, ? ?4-12a<0, ? 1 ? 即实数 a 的取值范围是? ?3,+∞?. (2) 因为 f(1)=1,所以 log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1,这时 f(x)=log4(-x2+2x +3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,即函数定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上单调递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). (3) 假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, a>0, ? ? 1 因此应有?3a-1 解得 a= . 2 ? ? a =1, 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2

1. 已知函数 f(x)=log2x-2log2(x+c),其中 c>0,若对任意 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤1, 则 c 的取值范围是________. 1 答案:c≥ 8 c>0, ? ? 1 解析:由题意,? 在 x∈(0,+∞)上恒成立,所以 c≥ . x 8 ≤ 2 2 ? ?(x+c) 1 2. 当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是________. 2 2 答案:? ,1? ?2 ? 解析:构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax.当 a>1 时,不满足条件;当 0<a<1 时,画出两个 1? 1 2 ? 2 ? ?1? ?1? 函数在? ?0,2?上的图象,可知,f?2?<g?2?即 2<loga2,则 a> 2 ,所以 a 的取值范围为? 2 ,1?.

3. 写出一个满足 f(xy)=f(x)+f(y)-1(x、y>0)的函数 f(x)=________. 答案:logax+1(或 1) 解析: 由 f(xy)=f(x)+f(y)-1 联想到对数函数满足运算性质 f(xy)=f(x)+f(y), ∴ 设 f(x) =logax+t,logaxy+t=logax+t+logay+t-1=logaxy+2t-1,∴ t=2t-1 ? t=1.另观察知 常数函数 f(x)=1 也成立.

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2 x ? ?2 ,x<2, ? 4. 已知 f(x)= 若对任意的 x∈R,af2(x)≥f(x)-1 成立,则实数 a ? ?log3(x+1),x≥2,


的最小值为________. 1 答案: 4 f(x)-1 1 1 1 = - = f2(x) f(x) f2(x) 4 1 1 2 1 1 -?f(x)-2? ≤ (当且仅当 f(x)=2 时等号成立),所以实数 a 的最小值为 . 4 ? ? 4 解析:易得? x∈R,f(x)>0,由 af2(x)≥f(x)-1,得 a≥

1 1. 若函数 f(x)=log2|ax-1|(a>0),当 x≠ 时,有 f(x)=f(1-x),则 a=________. 2 答案:2 1 解析:由 f(x)=f(1-x),知函数 f(x)的图象关于 x= 对称, 2 1 1 1 ? 而 f(x)=log2? ?x-a?+log2|a|,从而a=2,所以 a=2. 6? ?3? ?5? 2. 已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lgx.设 a=f? ?5?,b=f?2?,c=f?2?, 则 a、b、c 的大小关系为________.(从小到大排列) 答案:c<a<b 6? ? 4? 解析:已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lgx,则 a=f? ?5?=f?-5?=- 4? 4 1 1 4 1 ?3? ? 1? ?1? ?5? ?1? f? ?5?=-lg5>0,b=f?2?=f?-2?=-f?2?=-lg2>0,c=f?2?=f?2?=lg2<0.又 lg5>lg2,所以 4 1 0<-lg <-lg .所以 c<a<b. 5 2 3. 已知函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是________. 答案:(3,+∞) 1 2 解析: 因为 f(a)=f(b), 即|lga|=|lgb|, 所以 a=b(舍去)或 b= , 得 a+2b=a+ .又 0<a<b, a a 2 2 所以 0<a<1<b.令 f(a)=a+ , 则 f′(a)=1- 2<0, 所以 f(a)在 a∈(0, 1)上为减函数, 得 f(a)>f(1) a a =1+2=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). a 4. 若函数 f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0 且 a≠1), 满足对任意的 x1, x2, 当 x1<x2≤ 时, f(x1) 2 -f(x2)>0,求实数 a 的取值范围. a? a 解:因为对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤ 时,f(x1)-f(x2)>0,所以函数 f(x)在? ?-∞,2?上 2 单调递减. a? a 令 t=x2-ax+3, 则二次函数 t=x2-ax+3 的对称轴为 x= , 其在? ?-∞,2?上单调递减. 2 由复合函数的单调性,可知 y=logax 为单调增函数,故 a>1. a -∞, ?上,t>0 恒成立,即 x2-ax+3>0 在区间 由对数函数的定义域,可知在区间? 2? ? a ?-∞, ?上恒成立. 2? ? a a 2 a a2 a2 -∞, ?上的最小值为? ? -a? +3=3- .故 3- >0, 而函数 t=x2-ax+3 在区间? 2? ? ?2? 2 4 4 解得|a|<2 3. 综上可得实数 a 的取值范围是(1,2 3).
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1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件,是求解有关指数、对数问题 时必须予以重视的,如果底数含有参数,一般需分类讨论. 2. 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1) 确定定义域; (2) 把复合函数分解为几个初等函数; (3) 确定各个基本初等函数的单调区间; (4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性. 请使用课时训练(B)第 9 课时(见活页). [备课札记]

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第 10 课时 函数与方程(对应学生用书(文)、(理)26~27 页)

① 函数与方程中函数的零点及二分法在高 考中必将有所考查. ② 以难度较低的填空题为主,考查函数的图 象及根的存在性问题.

① 了解二分法求方程近似解的方法,体会函 数的零点与方程根之间的联系,形成用函数 观点处理问题的能力. ② 会利用函数的图象求方程的解的个数以 及研究一元二次方程的根的分布.

1. (必修 1P43 练习 2 改编)若一次函数 f(x)=ax+b 有一个零点 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是________. 1 答案:0、- 2 1 解析:由题意可得,b=-2a 且 a≠0,由 g(x)=-2ax2-ax=0,得 x=0 或 x=- . 2 x 2. (必修 1P111 复习 13 改编)已知函数 f(x)=2 -3x,则函数 f(x)的零点个数________. 答案:2 解析:(解法 1)令 f(x)=0,则 2x=3x,在同一坐标系中分别作出 y=2x 和 y=3x 的图象, 由图知函数 y=2x 和 y=3x 的图象有 2 个交点,所以函数 f(x)的零点个数为 2. (解法 2)由 f(0)>0,f(1)<0,f(3)<0,f(4)>0,?,所以有 2 个零点,分别在区间(0,1)和(3, 4)内. 3. 根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为________. x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

答案:(1,2) 解析:设函数 f(x)=ex-x-2,从表中可以看出 f(1)· f(2)<0,因此方程 ex-x-2=0 的一 个根所在的区间为(1,2). 4. 用二分法求函数 y=f(x)在区间(2, 4)上的近似解, 验证 f(2)· f(4)<0, 给定精确度 ε=0.01, 2+4 取区间(2,4)的中点 x1= =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零点 x0∈________.(填区间) 2 答案:(2,3) 解析:由 f(2)· f(3)<0 可知 x0∈(2,3). 5. 已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是________. 答案:(-2,0) 解析:∵ 函数 f(x)=x2+x+a 在(0,1)上有零点, ∴ f(0)· f(1)<0,即 a(a+2)<0,解得-2<a<0.

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 1. 函数零点的定义 (1) 方程 f(x)=0 的实数根又叫 y=f(x)的零点. (2) 方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 f(x)=0 有零点. 2. 函数零点的判定 如果函数 y=f(x)在区间(a,b)上的图象是一条不间断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,则函数 y =f(x)在区间上有零点,即存在 x0∈(a,b),使得 f(x0)=0,这个 x0 也就是函数 f(x)=0 的零 点.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理. 3. 与零点的关系 Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0)的图象 与 x 轴的交点 两个交点 一个交点 无交点 2 1 0 零点个数 4. 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间(a,b),验证 f(a)· f(b)<0; 第二步,求区间(a,b)的中点 x1; 第三步,计算 f(x1); ①若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点; ②若 f(x1)f(a)<0,则令 b=x1 (此时零点 x0∈(a,x1)); ③若 f(x1)f(a)>0,则令 a=x1 (此时零点 x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否满足要求的条件,否则重复第二、三、四 步. 题型 1 零点的求法及零点的个数 例 1 (1) 求函数 f(x)=x3-2x2-x+2 的零点; 1 (2) 已知函数 f(x)=ln(x+1)- ,试求函数的零点个数. x 3 2 解:(1) ∵ f(x)=x -2x -x+2=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x+1)(x-1).令 f(x)=0,得 x =± 1,2,∴ 函数 f(x)的零点是-1,1,2. 1 1 (2) 令 f(x)=0,即 ln(x+1)= ,在同一坐标系中画出 y=ln(x+1)和 y= 的图象,可知 x x 两个图象有两个交点, ∴ f(x)有两个零点. Δ>0 Δ =0 Δ<0

备选变式(教师专享) 1 1?x (1) 求数 f(x)=x2-? ?2? 的零点的个数; ?x+1,x≤0, ? (2) 已知函数 f(x)=? 求数 y=f(f(x))+1 的零点的个数. ?log2x,x>0, ? 1 1?x 解:(1) 在同一平面直角坐标系内作出 y1=x2与 y2=? ?2? 的图象如图所示,易知,两函数

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1 1?x 图象只有一个交点,因此函数 f(x)=x2-? ?2? 只有 1 个零点.

(2) 由 f(f(x))+1=0 可得 f(f(x))=-1, 1? 1 又由 f(-2)=f? ?2?=-1,可得 f(x)=-2 或 f(x)=2. 1 若 f(x)=-2,则 x=-3 或 x= ; 4 1 1 若 f(x)= ,则 x=- 或 x= 2. 2 2 综上可得函数 y=f(f(x))+1 有 4 个零点. 题型 2 二次函数的零点问题 例2 (1) 已知 α、β 是方程 x2+(2m-1)x+4-2m=0 的两个实根,且 α<2<β,求 m 的取值范围; (2) 若方程 x2+ax+2=0 的两根都小于-1,求 a 的取值范围. 解:(1) 设 f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m.∵ α、β 是方程 f(x)=0 的两个根,且 α<2<β, ∴ f(2)<0,即 22+2(2m-1)+4-2m<0,得 m<-3. f(-1)>0,

? ?Δ≥0, (2) 设 f(x)=x +ax+2, f(-1)=1-a+2,Δ=a -8.由题意,得? a ? ?-2<-1,
2 2



2 2

≤a<3. 变式训练 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数 m 的取 值范围; (2) 若方程两根均在区间(0,1)内,求实数 m 的取值范围. 解:设二次方程 x2+2mx+2m+1=0 所对应的函数为 f(x)=x2+2mx+2m+1. (1) 要使方程的一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则结合函数图象(如图), f(0)=2m+1<0,

? ?f(-1)=2>0, 5 1 有? 解得- <m<- . 6 2 f(1) =4m+2<0, ? ?f(2)=6m+5>0,

f(0)=2m+1>0, ? ?f(1)=4m+2>0, (2) 要使方程两根均在区间(0,1)内,则结合函数图象(如图),有? 解 Δ≥0, ? ?0<-m<1,

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? ?m>-2, 得? m≤1- 2或m≥1+ ? ?-1<m<0,
1 即- <m≤1- 2. 2

1

2,

函数与方程的相互转换 |x| 例 3 设函数 f(x)= -ax2,a∈R. x+2 (1) 当 a=2 时,求函数 f(x)的零点; (2) 当 a>0 时,求证:函数 f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点; (3) 若函数 f(x)有四个不同的零点,求 a 的取值范围. x (1) 解:当 x≥0 时,由 f(x)=0,得 -2x2=0,即 x(2x2+4x-1)=0,解得 x=0 或 x x+2 -2± 6 = (舍负); 2 -x 当 x<0 时,由 f(x)=0,得 -2x2=0, x+2 -2± 2 即 x(2x2+4x+1)=0(x≠-2),解得 x= . 2 -2+ 6 -2+ 2 -2- 2 综上所述,函数 f(x)的零点为 0,x= ,x= ,x= . 2 2 2 x (2) 证明:当 a>0 且 x>0 时,由 f(x)=0,得 -ax2=0,即 ax2+2ax-1=0. x+ 2 记 g(x)=ax2+2ax-1,则函数 g(x)的图象是开口向上的抛物线. 又 g(0)=-1<0,所以函数 g(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点,即函数 f(x)在区间(0, +∞)内有且仅有一个零点. (3) 解:易知 0 是函数 f(x)的零点. 对于 x>0,由(2)知,当 a>0 时,函数 f(x)在区间(0,+∞)内有且仅有一个零点; 当 a≤0 时,g(x)=ax2+2ax-1<0 恒成立,因此函数 f(x)在区间(0,+∞)内无零点. 于是,要使函数 f(x)有四个不同的零点,函数 f(x)在区间(-∞,0)内就要有两个不同的 零点. -x 当 x<0 时,由 f(x)=0,得 -ax2=0,即 ax2+2ax+1=0(x≠-2).① x+2 1 1 因为 a=0 不符合题意,所以①式可化为 x2+2x+ =0(x≠-2),即 x2+2x=- . a a 1 作出函数 h(x)=x2+2x(x<0)的图象便知-1<- <0,得 a>1, a 综上所述,a 的取值范围是(1,+∞). 备选变式(教师专享) 设 a 是实数,讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数. ? ? ?1<x<3, ?1<x<3, 解:原方程等价于方程组? 即? 在同一坐标系 2 ?(x-1)(3-x)=a-x, ? ?a=-x +5x-3. ? 13 下作直线 y=a 与抛物线 y=-x2+5x-3(1<x<3)的图象,由图可知,当 1<a≤3 或 a= 时, 4

题型 3

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 13 原方程只有一个实数解;当 3<a< 时,原方程有两个不同的实数解. 4 1. (2014· 苏锡常镇二模)已知奇函数 f(x)是 R 上的单调函数,若函数 y=f(x2)+f(k-x)只 有一个零点,则实数 k 的值是________. 1 答案: 4 1 解析:不妨设 f(x)=x,则 x2+k-x=0 只有一个解,从而 1-4k=0,得 k= . 4 2. 函数 f(x)=(x-1)sinπ x-1(-1<x<3)的所有零点之和为________. 答案:4 1 解析:令 f(x)=(x-1)sinπx-1=0,则 sinπx= ,在同一坐标系中作出函数 y=sin x-1 1 πx 与 y= 的图象如图所示,易知此两函数的图象都关于点(1,0)中心对称,且它们有四 x-1 个交点,即函数 f(x)有四个零点,又对称的两交点横坐标之和为 2,故四个零点之和为 4.

3. (2014· 新课标)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是________. 答案:a<-2 解析:显然 a=0 时,函数有两个不同的零点,不符合.当 a≠0 时,由 f′(x)=3ax2-6x 2 2 ? ? 2? =0,得 x1=0,x2= .当 a>0 时,函数 f(x)在(-∞,0),? ? a,+∞?上单调递增,在?0,a?上 a 单调递减,又 f(0)=1,所以函数 f(x)存在小于 0 的零点,不符合题意;当 a<0 时,函数 f(x) 2 2 2 -∞, ?,(0,+∞)上单调递减,在? ,0?上单调递增,所以只需 f? ?>0,解得 a<-2. 在? a? ? ?a ? ? a? ?(2x-x2)ex,x≤0, ? 4. (2014· 苏锡常镇一模)已知函数 f(x)=? 2 g(x)=f(x)+2k.若函数 g(x) ? ?-x +4x+3,x>0, 恰有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围为________. ? 2+1? ? 7 3 ? - ,- ?∪?0, 答案:? 2 ? 2? ? ? 2 e ? ? ? - 解析:当 x≤0 时,f′(x)=(2-x2)ex,当 x=- 2时取得极小值 f(- 2)=-2( 2+1)e 2 .当 x<0 时,f(x)<0,且 f(0)=0,x→-∞时,f(x)→0;当 x>0 时,f(x)的图象是开口向下的 抛物线,函数 f(x)的图象如图所示,函数 g(x)恰有两个不同的零点,即 f(x)的图象与直线 y= - - 2k 有两个不同的交点,所以 3< - 2k<7 或- 2k = 0 或- 2k =- 2( 2 + 1)· e 2 ,即 ? 2+1? ? 7 3 ? - ,- ?∪?0, k∈? 2 ?. 2? ? ? 2 e ? ? ?

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1-|x-1|,x<2, ? ? 1. (2014· 镇江期末)设函数 f(x)=?1 则方程 xf(x)-1=0 根的个数为 ?2f(x-2),x≥2, ? ________. 答案:6 1 解析:方程 xf(x)-1=0,显然 x=0 不是方程的解,因而原方程等价于 y=f(x)与 y= 两 x 个函数图象的交点个数,f(x)示意图如下图所示.

1 1 1 f(7)= < ,从而 x>7 时 f(x)= 无交点,因而原方程有 6 个解. 8 7 x 2. (2014· 南通二模)已知函数 f(x)对任意的 x∈R 满足 f(-x)=f(x),且当 x≥0 时,f(x)= x2-ax+1.若 f(x)有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是________. 答案:(2,+∞) 解析:由 f(x)为偶函数可知,原题等价于 f(x)在(0,+∞)上有 2 个零点,即 f(x)=x2-ax a >0, 2 +1 在 (0,+∞)上有 2 个零点,从而有 2 解得 a>2. a -4>0,
?|x2+5x+4|,x≤0, ? 3. (2014· 天津)已知函数 f(x)=? 若函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点, 则 ?2|x-2|,x>0. ? 实数 a 的取值范围为________. 答案:(1,2) 解析: 在同一坐标系内分别作出 y=f(x)与 y=a|x|的图象, 如图所示, 当 y=a|x|与 y=f(x) 2 ?-ax=-x -5x-4, ? 的图象相切时,联立 ? 整理得 x2 + (5 - a)x + 4 = 0 ,则Δ= (5 - a)2 - ?a>0, ? 4?1?4=0, 解得 a=1 或 a=9(舍去), ∴ 当 y=a|x|与 y=f(x)的图象有四个交点时, 有 1<a<2.

? ? ? ? ?f(0)>0,

4. 对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点, 已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0). (1) 当 a=1,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2) 若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围. 解:(1) 当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-x-3,由题意可知 x=x2-x-3,得 x1=-1, x2=3,故当 a=1,b=-2 时,f(x)的不动点是-1,3. (2) ∵ f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)恒有两个不动点,∴ x=ax2+(b+1)x+b-1,即 ax2+bx+b-1=0 恒有两相异实根,∴ Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立.于是Δ′=(4a)2

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 -16a<0,解得 0<a<1,故当 b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点时,0<a<1. 1. 一元二次方程根的分布问题通常有两种解法:一是方程思想,利用根与系数的关系; 二是函数思想,构造二次函数利用其图象分析,但要重视条件的严谨. 2. 涉及函数零点的问题,通常有三种转化:一是用零点的定义转化为方程问题;二是利 用零点存在性定理转化为函数问题;三是利用数形结合思想转化为函数图象问题. 请使用课时训练(A)第 10 课时(见活页). [备课札记]

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第 11 课时 导数的概念与运算(对应学生用书(文)、(理)28~29 页)

① 导数的概念及其运算是导数应用的基础, 是高考重点考查的对象,主要考查求导数的 基本公式和法则. ② 对导数几何意义的考查几乎年年都有,往 往以导数几何意义为背景设臵成导数与解析 几何的简单综合.

① 了解导数概念的实际背景,理解导数的几 何意义. ② 能根据基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数.

1 ? 1 1. 已知函数 f(x)=1+ ,则 f(x)在区间[1,2],? ?2,1?上的平均变化率分别为________. x 1 答案:- ,-2 2 1 f(1)-f( ) 2 f(2)-f(1) 1 解析: =- ; =-2. 2 1 2-1 1- 2 2. 一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s 的单位是 m,t 的单位是 s,那么物体在 3 s 末的瞬时速度是_______m/s. 答案:5 解析:s′(t)=2t-1,s′(3)=2?3-1=5. 3. 已知函数 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 y=2x-1, 则函数 g(x)=x2+f(x)在点(2, g(2))处的切线方程为________. 答案:6x-y-5=0 解析:由函数 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=2x-1,知 f′(2)=2,f(2)=3;又 g(x)=x2+f(x),∴ g′(x)=2x+f′(x),∴ g′(2)=2?2+f′(2)=6,即切线斜率为 6,g(2) =22+f(2)=4+3=7,∴ g(x)在点(2,g(2))处的切线方程为 y-7=6(x-2),即 6x-y-5=0. 4. 函数 y=xcosx-sinx 的导数为________. 答案:-xsinx 解析:y′=(xcosx)′-(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. 1 5. 若直线 y= x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,则实数 b=________. 2 答案:ln2-1 1 1 1 解析:设切点(x0,lnx0),则切线斜率 k= = ,所以 x0=2.又切点(2,ln2)在切线 y= x x0 2 2 +b 上,所以 b=ln2-1.

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 1. 平均变化率 f(x2)-f(x1) 一般地,函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为 . x2-x1 2. 函数 f(x)在 x=x0 处的导数 设函数 f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当Δ x 无限趋近于 0 时,比值 Δy = Δx

f(x0+Δx)-f(x0) ,无限趋近于一个常数 A,则称 f(x)在点 x=x0 处可导,并称该常数 A Δx 为函数 f(x)在点 x=x0 处的导数,记作 f′(x0). 3. 导数的几何意义 导数 f′(x0)的几何意义就是曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 4. 导函数(导数) 若 f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变 化,因而也是自变量 x 的函数,该函数称为 f(x)的导函数,记作 f′(x). 5. 基本初等函数的导数公式 (1) C′=0 (C 为常数); - (2) (xn)′=nxn 1; (3) (sinx)′=cosx; (4) (cosx)′=-sinx; (5) (ax)′=axlna(a>0 且 a≠1); (6) (ex)′=ex; 1 1 (7) (logax)′= logae= __(a>0,且 a≠1); x xlna 1 (8) (lnx)′= . x 6. 导数的四则运算法则 若 u(x),v(x)的导数都存在,则 (1) (u± v)′=u′±v′; (2) (uv)′=u′v+uv′; u? u′v-uv′ (3) ? ′= ; ?v? v2 (4) (mu)′=mu′ (m 为常数). 题型 1 例1 平均变化率与瞬时变化率

2 某一运动物体,在 x(单位:s)时离出发点的距离(单位:m)是 f(x)= x3+x2+2x. 3 (1) 求在第 1s 内的平均速度; (2) 求在 1s 末的瞬时速度; (3) 经过多少时间该物体的运动速度达到 14m/s ? f(1) -f(0) 11 解:(1) 物体在第 1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 = m/s. 3 1-0 Δy f(1+Δx)-f(1) (2) = Δx Δx 2 11 3 (1+Δx) +(1+Δx)2+2(1+Δx)- 3 3 = Δx Δy 2 =6+3Δx+ (Δx)2.当Δx→0 时, →6,所以物体在 1 s 末的瞬时速度为 6m/s. 3 Δx Δy f(x+Δx)-f(x) (3) = Δx Δx
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 2 3 2 2 ? (x+Δ x)3+(x+Δ x)2+2(x+Δ x)-? ?3x +x +2x? 3 = Δx 2 2 2 =2x +2x+2+ (Δ x) +2x· Δ x+Δ x. 3 Δy 当Δ x→0 时, →2x2+2x+2,令 2x2+2x+2=14,解得 x=2 s,即经过 2 s 该物体的 Δx 运动速度达到 14 m/s. 备选变式(教师专享) 在 F1 赛车中,赛车位移与比赛时间 t 存在函数关系 s=10t+5t2(s 的单位为 m,t 的单位 为 s).求: Δs (1) t=20s,Δ t=0.1s 时的 Δs 与 ; Δt (2) t=20s 时的瞬时速度. 解:(1) Δs=s(20+Δt)-s(20)=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-10?20-5?202=21.05 m. Δs 21.05 = =210.5 m/s. Δt 0.1 (2) 由导数的定义,知在 t=20s 的瞬时速度为 2 2 Δs 10(t+Δt)+5(t+Δt) -10t-5t v(t)= = Δt Δt 2 5Δt +10t·Δt+10Δt = =5Δt+10t+10. Δt 当 Δt→0,t=20 s 时,v =10?20+10=210 m/s. Δs 答:t=20s,Δt=0.1 s 时的 Δs 为 21.05 m, 为 210.5 m/s, Δt 即在 t=20s 时瞬时速度为 210 m/s. 题型 2 利用导数公式、求导法则求导 例 2 求下列函数的导数. 1 (1) y= +x3; x x (2) y=e lnx; (3) y=tanx; 1 1? 2 (4) y=x? ?x +x+x3?. 1 3 解:(1) y′=- x- +3x2. 2 2 1 1 x? (2) y′=e ?lnx+x? ?.(3) y′=cos2x. 2 (4) y′=3x2- 3. x 备选变式(教师专享) 求下列函数的导数. (1) y=(2x2+3)(3x-2); lnx (2) y= ; x 1 1 (3) y= + ; 1- x 1+ x x x (4) y=x-sin cos ; 2 2 x (理)(5) y=2 +ln(1-5x). 1-lnx 解:(1) y′=18x2-8x+9;(2) y′= 2 ; x

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 2 1 ;(4) y′=1- cosx; 2 (1-x)2 5 (5) y′=2xlnx+ . 5x-1 题型 3 利用导数的几何意义解题 ax 例 3 已知函数 f(x)= 2 ,且 f(x)的图象在 x=1 处与直线 y=2 相切. x +b (1) 求函数 f(x)的解析式; (2) 若 P(x0,y0)为 f(x)图象上的任意一点,直线 l 与 f(x)的图象切于 P 点,求直线 l 的斜 率 k 的取值范围. 解:(1) 对函数 f(x)求导,得 a(x2+b)-ax(2x) ab-ax2 f′(x)= = . (x2+b)2 (x2+b)2 ∵ f(x)的图象在 x=1 处与直线 y=2 相切, ab-a=0, ?f′(1)=0, ? 1+b≠0, ∴ ? 即 ?f(1)=2, ? a =2, 1+b 4x ∴ a=4,b=1,∴ f(x)= 2 . x +1 4-4x2 4-4x2 0 (2) ∵ f′(x) = 直 线 l 的 斜 率 k = f ′ (x0) = = 2 2 , ∴ 2 (x +1) (x0+1)2 2 1 4?(x2+1)2-x2+1?, ? 0 ? 0 1 令 t= 2 ,t∈(0,1],则 x0+1 1?2 1 k=4(2t2-t)=8? ?t-4? -2, 1 ? ∴ k∈? ?-2,4?. 变式训练 1 4 (1) 已知曲线 y= x3+ ,求曲线过点 P(2,4)的切线方程; 3 3 (2) 求抛物线 y=x2 上点到直线 x-y-2=0 的最短距离. 1 3 4? 1 4 解:(1) 设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ?x0,3x0+3?, 3 3 2 3 4 2 ?1 3 4? 2 则切线的斜率 k=x2 0,切线方程为 y- 3x0+3 =x0(x-x0),即 y=x0x- x0+ . ? ? 3 3 因为点 P(2,4)在切线上, 2 3 4 3 2 所以 4=2x2 0- x0+ ,即 x0-3x0+4=0, 3 3 解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. (2) 由题意得,与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线对应的切点到直线 x-y- 1 ?1 1? 2=0 距离最短,设切点为(x0,x2 0),则切线的斜率为 2x0=1,所以 x0= ,切点为 2,4 ,切 ? ? 2 1 1 ? - -2? ?2 4 ? 7 2 点到直线 x-y-2=0 的距离为 d= = . 8 2 (3) y′=

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 1. (2014· 常州期末)若曲线 C1:y=3x4-ax3-6x2 与曲线 C2:y=ex 在 x=1 处的切线互相 垂直,则实数 a 的值为________. 1 答案: 3e 解析: 设曲线 C1、 C2 在点 x=1 处的切线斜率 k1、 k2, 则 k1=12x3-3ax2-12x|x=1=-3a, 1 k2=ex|x=1=e.又 k1〃k2=-1,∴ -3ae=-1,∴ a= . 3e f′(1) x 1 2. 曲线 f(x)= e -f(0)x+ x2 在点(1,f(1))处的切线方程为________. e 2 1 答案:y=ex- 2 f′(1) 解析:由已知得 f(0)= , e f′(1) x f′(1) 1 2 ∴ f(x)= e- x+ x , e e 2 f′(1) x f′(1) ∴ f′(x)= e- +x, e e f′(1) f′(1) ∴ f′(1)= e- +1,即 f′(1)=e, e e 1 从而 f(x)=ex-x+ x2,f′(x)=ex-1+x, 2 1 ∴ f(1)=e- ,f′(1)=e, 2 1? 1 故切线方程为 y-? ?e-2?=e(x-1),即 y=ex-2. 3. 记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′(x).如果存在 x0∈[a,b],使得 f(b)-f(a) =f′(x0)(b-a)成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“中值点”,那么函数 f(x)=x3- 3x 在区间[-2,2]上“中值点”的个数为________. 答案:2 f(b)-f(a) 2 3 解析:f(2)=2,f(-2)=-2, =1,f′(x)=3x2-3=1,得 x=± ∈[- 3 b-a 2,2],故有 2 个. 4. 已知曲线 y=3x-x3 及点 P(2,2),则过点 P 的切线条数为________. 答案:3 解析:设 A(x0,y0)为切点,∵ y′=3-3x2,∴ y′|x=x0=3-3x2 0.∵ kAP=y′|x=x0, 3x0-x3 0-2 3 2 ∴ =3-3x2 0,即 x0-3x0+2=0,解得 x0=1 或 x0=1± 3.故切线有 3 条. x0-2

1 1. 已知函数 f(x)=ex-f(0)x+ x2,则 f′(1)=____. 2 答案:e 1 1 解析:由条件,f(0)=e0-f(0)?0+ ?02=1,则 f(x)=ex-x+ x2,所以 f′(x)=ex-1+x, 2 2 1 所以 f′(1)=e -1+1=e. 2. 已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它 们的倾斜角互补,则 a 的值为________. 27 答案: 8 解析:设切点坐标为(t,t3-at+a). 由题意知,f′(x)=3x2-a,

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 切线的斜率为 k=y′|x=t=3t2-a.① 所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).② 3 将点(1,0)代入②式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解得 t=0 或 t= . 2 3 27 分别将 t=0 和 t= 代入①式,得 k=-a 和 k= -a, 2 4 27 由题意得它们互为相反数,得 a= . 8 3. (2014· 苏锡常镇二模)已知直线 y=kx 与曲线 y=2ex 相切,则实数 k=________. 答案:2e 解析:设切点(x0,2ex0),则切线方程为 y=2ex0(x-x0)+2ex0,又切线过点(0,0),得 x0 =1,从而切点为(1,2e),从而 k=2e. 4. 已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l,根据以下条件求 l 的方程: (1) 直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点; (2) 直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P. 解: (1) 由 f(x)=x3-3x 得 f′(x)=3x2-3, 过点 P 且以 P(1, -2)为切点的直线的斜率 f′(1) =0,故所求的直线方程为 y=-2. (2) 设过 P(1,-2)的直线 l 与 y=f(x)切于另一点(x0,y0),则 f′(x0)=3x2 0-3. 又直线过(x0,y0),P(1,-2), y0-(-2) x3 0-3x0+2 故其斜率可表示为 = , x0-1 x0-1 3 x0-3x0+2 2 所以 =3x0 -3, x0-1 2 即 x3 0-3x0+2=3(x0-1)(x0-1). 1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- , 2 1 ? 9 故所求直线的斜率为 k=3? ?4-1?=-4. 9 所以 l 的方程为 y-(-2)=- (x-1), 4 即 9x+4y-1=0. 1. 求函数的导数有两种方法, 一是利用导数定义, 这种方法虽然比较复杂, 但需要了解; 二是利用导数公式和运算法则求导数,这是求函数导数的主要方法,其关键是记住公式和法 则,并适当进行简便运算. 2. 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率,即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可 求切点坐标. (2) 切点既在曲线上,又在切线上,切线有可能和曲线还有其他的公共点. (3) 与导数几何意义有关的综合性问题,涉及到三角函数求值、方程和不等式的解,关 键是要善于进行等价转化. 请使用课时训练(B)第 11 课时(见活页). [备课札记]

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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 第 12 课时 导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文)、(理)30~ 32 页)

① 导数与函数内容的结合命题已成为近几 年高考的流行趋势,应引起足够的重视. ② 以导数为研究函数的重要工具来解决函 数的单调性与最值问题是高考的热点,同时 解答题侧重于导数的综合应用,即导数与函 数、数列、不等式的综合应用.

① 理解函数的单调性与导数的关系,能利用 导数研究函数的单调性. ② 掌握利用导数求函数极值与最值的方法. ③ 会利用导数解决某些实际问题.

1 1. 函数 y= +2lnx 的单调减区间为________. x 1 ? 答案:? ?0,2? 1 2 1 1 0, ? . 解析:定义域为{x|x>0},令 y′= - 2<0,∴ 0<x< ,所求减区间为? ? 2? x x 2 2. 若函数 f(x)=ex-ax 在 x=1 处取到极值,则 a=________. 答案:e 解析:由题意,f′(1)=0,因为 f′(x)=ex-a,所以 a=e. x3 3. 函数 f(x)= +x2-3x-4 在[0,2]上的最小值是________. 3 17 答案:- 3 17 解析:f′(x)=x2+2x-3,令 f′(x)=0,x∈[0,2],得 x=1.比较 f(0)=-4,f(1)=- , 3 10 17 f(2)=- ,可知最小值为- . 3 3 1 4. (原创)已知函数 f(x)=- x2+blnx 在区间[ 2,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是 2 ________. 答案:(-∞,4] b 解析:f′(x)=-x+ ≤0 在[2,+∞)上恒成立,即 b≤x2 在[2,+∞)上恒成立. x 5. 用长为 90cm、 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器, 先在四角分别截去一个小 正方形,然后把四边翻折 90°,再焊接而成,则该容器的高为________cm 时,容器的容积 最大. 答案:10 解析:设容器的高为 xcm,即小正方形的边长为 xcm,该容器的容积为 V,则 V=(90- 2x)(48-2x)x=4(x3-69x2+1080x),0<x<12,V′=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36), 当 0<x<10 时,V′>0;当 10<x<12 时,V′<0.所以 V 在(0,10]上是增函数,在[10,12)上
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最高考?一轮数学教师用书(课堂过关) ?高考全程总复习 是减函数,故当 x=10 时,V 最大.

1. 函数的单调性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)为该区间上的增函数; 如果_f′(x)<0,那么函数 y=f(x)为该区间上的减函数. 2. 函数的极值与导数 (1) 函数极值的定义 若函数 f(x)在点 x=a 处的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都要小,f(a)叫 函数的极小值. 若函数 f(x)在点 x=b 处的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都要大,f(b)叫 函数的极大值,极小值和极大值统称为极值. (2) 求函数极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时, ① 如果在 x0 附近左侧单调递增,右侧单调递减,那么 f(x0)是极大值. ② 如果在 x0 附近左侧单调递减,右侧单调递增,那么 f(x0)是极小值. 3. 函数的最值 (1) 最大值与最小值的概念 如果在函数定义域 I 内存在 x0,使得对任意的 x∈I,总有 f(x)≤f(x0),则称 f(x0)为函数 f(x)在定义域上的最大值. 如果在函数定义域 I 内存在 x0, 使得对任意的 x∈I, 总有_f(x)≥f(x0), 则称 f(x0)为函数 f(x)在定义域上的最小值. (2) 求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ① 求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值. ② 将函数 y=f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较,其中值最大的一个是最大值,值最小的一 个是最小值. 4. 生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路: 优化问题 建立数学模型 用导数解决数学问题 优化问题答案

题型 1 导数与函数的单调性 例 1 已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1) 若 a=3 时,求 f(x)的单调区间; (2) 若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3) 是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求


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