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2015高中数学 2.3变量间相关关系练习 新人教A版必修3


2.3 变量间相关关系(练)
一、选择题 1.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是( A. 都可以分析出两个变量的关系 B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C.都可以作出散点图 D.都可以用确定的表达式表示两者的关系 [答案] C [解析] 给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,但不一定分析出两个变量的关系,更不一定 符合线性相关或有函数关系. 2.在画两个变量的散点图时,下面叙述正确的是( A.预报变量在 x 轴上,解释变量在 y 轴上 B.解释变量在 x 轴上,预报变量在 y 轴上 C.可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 D.可以选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上 [答案] B ^ 3.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到的回归直线方程y=bx+a,那么下面说法不 正确的是( ) ) )

^ - - A.直线y=bx+a 必经过点( x , y ) ^ B.直线y=bx+a 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点 - - ?xiyi-n x y ^ C.直线y=bx+a 的斜率为
i=1 n

-2 i-n x ?x2
i=1

n

^ 2 D.直线y=bx+a 和各点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的偏差 ?[yi-(bxi+a)] 是该坐标平面上所
i=1

n

有直线与这些点的偏差中最小的直线. [答案 ] B

^ [解析] 由 a= y -b x 知y= y -b x +bx,∴必定过( x , y )点. 回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的,但不一定过原始数据点,只须和这些点很接近即 可.

1

4.下列说法正确的是(

)

A.对于相关系数 r 来说,|r|≤1,|r|越接近 0,相关程度越大;|r|越接近 1,相关程 度越小 B.对于相关系数 r 来说,|r|≥1,|r|越接近 1,相关程度越大;|r|越大,相关程度越小 C.对于相关系数 r 来说,|r|≤1,|r|越接近 1,相关程度越大;|r|越接近 0,相关程度越小 D.对于相关系数 r 来说,|r|≥1,|r|越接近 1,相关程度越小;|r|越大,相关程度越大 [答案] C 5.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线,去掉哪个点后,剩下的 5 个点 数据的相关系数最大?( )

A.D [答案] C

B.E

C.F

D.A

[解析] 第 F 组数据距回归直线最远,所以去掉第 F 组后剩下的相关系数最大. 6.以下关于线性回归的判断,正确的有________个.( )

①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线 ②散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中 的 A,B,C 点. ^ ③已知回归直线方程为y=0 .50x-0.81,则 x=25 时,y 的估计值为 11.69 ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

2

[答案] D [解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归直线的定义知,只有按最小二乘法求 ^ ^ 得回归系数 a,b 得到的直线y=ax+b 才是回归直线,∴①不对;②正确;将 x=25 代入y=0.50x-0.81, ^ 解得y=11.69,∴③正确;④正确,∴选 D. 7.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两个同学各自独立地作 10 次和 15 次试验, 并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1 和 l2.已知在两个人的试验中发现对变量 x 的观测数据的 平均值恰好相等, 都为 s, 对变量 y 的观测数据的平均值也恰好相等, 都为 t.那么下列说法正确的是( A.直线 l1 和 l2 有交点(s,t) B.直线 l1 和 l2 相交,但是交点未必是点(s,t) C.直线 l1 和 l2 由于斜率相等,所以必定平行 D.直线 l1 和 l2 必定重合 [答案] A [解析] 由题意,结合回归直线易知只有选项 A 符合已知条件. 8.下表是某同学记录的某地方在 3 月 1 日~3 月 12 日的体检中的发烧人数,并给出了散点图. 日期 人数 日期 人数 3.1 100 3.7 141 3.2 109 3.8 152 3.3 115 3.9 158 3.4 118 3.10 175 3.5 121 3.11 186 3.6 131 3.12 203 )

下列说法: ①根据此散点图,可以判断日期与发烧人数具有线性相关关系. ②根据此散点图,可以判断日期与发烧人数具有一次函数关系. 其中正确的是( A.② C.①② [答案] B
3

) B.① D.都不正确

[解析] 由散点图可以判断日期与发烧人数具有正相关关系, 但不是函数关系, 更不是一次函数关系, 因为所有点不在一条直线上,而是在一条直线附近. 二、填空题 9.下列关系: (1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系; (2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系; (3)柑橘的产量与气温之间的关系; (4)森林的同一种树木,其横断面直径与高度之间的关系. 其中具有相关关系的是________. [答案] (1)(3)(4) [解析] (1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程,除了与冶炼时间有关外,还要受

冶炼温度等其他因素的影响,故具有相关关系. (2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的,即是一种确定性关系. (3)柑橘的产量除了受气温影响以外,还要受肥量以及水分等因素的影响,故具有相关关系. (4)森林的同一种树木,其横断面直径随高度的增加而增加,但是还受树木的疏松及光照等因素的影 响,故具有相关关系. 10.(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元), ^ 调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y=0.254x +0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加________万元. [答案] 0.254

^ [解析] 由于y=0.254x+0.321 知,当 x 增加 1 万元时,年饮食支出 y 增加 0.254 万元. 11.某单位为了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机抽查了某 4 天的用电量与当天气温, 并制作了对照表: 气温(℃) 用电量(度)
^ ^

18 24

13 34

10 38

-1 64

^ ^ 由表中数据得线性回归方程y=bx+a中b=-2,预测当气温为-4℃时,用电量约为________度. [答案] 68 [解析]

x=
^

18+13+10-1 24+34+38+64 =10, y = =40,因为回归方程一定过点( x , y ), 4 4
^

^ ^ 所以 y =b x +a,则a= y -b x =40+2×10=60. ^ ^ 则y=-2x+60,当 x=-4 时,y=-2×(-4)+60=68.

4

12.改革开放 30 年以来,我国高等教育事业迅速发展,对某省 1990~2000 年考大学升学百分比按城 市、县镇、农村进行统计,将 1990~2000 年依次编号为 0~10,回归分析之后得到每年考入大学的百分比

y 与年 份 x 的关系为:
^ 城市:y=2.84x+9.50; ^ 县镇:y=2.32x+6.67; ^ 农村:y=0.42x+1.80. 根 据以上回归直线方程,城市、县镇、农村三个组中,________的大学入学率增长最快.按同样的增 长速度,可预测 2010 年,农村考入大学的百分比为________%. [答案] 城市 10.2 [分析] 增长速度可根据回归直线的斜率来判断,斜率大的增长速度快,斜率小的增长速度慢. [解析] 通过题目中所提供的回归方程可判断,城市的大学入学率增长最快;2010 年农村考入大学的 百分比为 0.42×20+1.80=10.2. 三、解答题 13.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元)

x y
(1)画出散点图;

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系? [解析] (1)以 x 对应的数据为横坐标,以 y 对应的数据为纵坐标,所作的散点图如下图所示:

(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系,并且当广告费支出由小变大时,销售 金额也大多由小变大,图中的数据大致分布在某条直线的附近,即 x 与 y 成正相关关系. 14.某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利 y(元)与该周每天销售这种服装件数 x 之间的一组数 据关系见表

x

3

4

5

6

7

8

9

5

y
7 7

66

69
7

73

81

89

90

91

已知 ?xi=280, ?yi=45209, ?xiyi=3487.
2 2

i=1

i=1

i=1

- - (1)求 x , y ; (2)求回归方程. - 1 [解析] (1) x = ×(3+4+5+6+7+8+9)= 6, 7 -

y = ×(66+69+73+81+89+90+91)=

1 7

559 . 7

559 3487-7×6× 7 19 (2)b= = , 280-7×36 4
^

719 ^ 559 19 ∴a= - ×6= , 7 4 14 ^ 19 719 ∴所求回归方程为y= x+ . 4 14 15.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量 x(千件) 成本 y(万元) (1)画出散点图; (2)求成本 y 与产量 x 之间的线性回归方程. [解析] (1)散点图如下: 2 7 3 8 5 9 6 12

^ ^ (2)设成本 y 与产量 x 的线 性回归方程为y=bx+a, -

^

x=

2+3+5+6 - 7+8+9+12 =4, y = =9. 4 4
6

-- ?xiyi-n x y
^

n

i=1

b=
2 i-n x ?x2

n



11 = =1.1, 10

i=1

^

a= y -b x =9-1.1×4=4.6.
^ 所以,回归方程为y=1.1x+4.6. 16.(2011·安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 需求量(万吨) 2002 236 2004 246 2006 257
^



^



2008 276

2010 286

^ (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量. [解析] (1)由所给数据看出,年需求量与年份这间是近似直线上升的,下面求回归直线方程.为此

对数据预算理如下: 年份-2006 需求量-257 对预处理后的数据,容易算得 -4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29

x =0, y =3.2.
^

b=

^

?-4?×?-21?+?-2?×?-11?+2×19+4×29-5×0×3.2 2 2 2 2 2 ?-4? +?-2? +2 +4 -5×0

260 =6.5, 40
^

a= y -b x =3.2.
由上述计算结果,知所求回归直线方程为 ^

y=6.5(x-2006)+260.2.①
(2)利用回归直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为 6.5×(2012-2006)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨)≈300(吨).

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