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高中数学:《柱坐标系与球坐标系》课件



阅读课本P16---17

了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.

z 设P是空间任意一点, P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q, 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ <2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标, θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应

关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标,记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ < 2π , -∞<Z<+∞

柱坐标系又称半极坐标系,它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ? ? z?z ?

设点的直角坐标为(1,1,1),求它 在柱坐标系中的坐标.
?1 ? ? cos? ? ?1 ? ? sin ? ? 1? z ?

解得ρ=

,θ= 2

?
4

点在柱坐标系中的坐标为 ? ( 2 , , 1) . 4 注:求θ 时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致

给定一个底面半径为r,高为h的圆 柱,建立柱坐标系,利用柱坐标描述

圆柱侧面以及底面上点的位置.

z

注:坐标与点的位置有关 x

o

y

练习: 1、设点M的直角坐标是 (?1,? 3,3),则它的柱 坐标是?

4? (2, ,3) 3
?
6 ,7), 求它的直角坐标。

2、设点 M的柱坐标为 (2,

( 3,1,7)

阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标
系中点的确定

设P是空间任意一点, P(r,φ,θ) 在oxy平面的射影为Q, r φ 连接OP,记| OP |=r, o y θ OP与OZ轴正向所 Q 夹的角为φ. 设P x 在oxy平面上的射影为Q, Ox轴按逆时

z

针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数 组(r,φ,θ)表示.

空间的点与有序数组 (r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.

z
P(r,φ,θ)

我们把建立上述 Q 对应关系的坐标系 x 叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .

o θ

r φ
y

有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 其中 r ? 0, 0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? 2?

空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标

(r,φ,θ)之间的变换关系为

? x ? r sin ? cos? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos ? ?
x

z
o θ
φ

P(r,φ,θ)
r

y
Q

3? 3? 设点的球坐标为(2, , ),求 4 4 它的直角坐标.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 3 ?   3 ? x ? 2sin cos ? 2? ? (- ) ?-1 4 4 2 2 2 2 3 ? 3 ? y ? 2sin sin ? 2? ? ?1 4 4 2 2 2 3 ? z ? 2 cos ? 2? ( - ) ?- 2 4 2

点在直角坐标系中的坐标为 ( -1 ,1 ,- 2 ).

小结
坐标系

数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系

坐标系是联系形与数的桥梁,利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化,从而产生了坐标法.



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