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3.1.2用二分法求方程的近似解1



3.1.1 用二分法求方程的近似解

提出问题
1.函数 f (x) ? x 2 ? 4x ? 3有零点吗?你怎样求其零点?

2.对于高次多项式方程,在十六世纪已找到了三次和四次 方程的求根公式,但对于高于4次的方程,类似的努力却 一直没有成功. 到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽 罗瓦(Galois)的研究,人们认识到

高于4次的代数方程 不存在求根公式,即不存在用四则运算及根号表示的一般 的公式解.同时,即使对于3次和4次的代数方程,其公式 解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算.因 此对于高次多项式函数及其它的一些函数,有必要寻求其 零点的近似解的方法.

知识探究(一):二分法的概念

思考2:已知函数 f (x) ? lnx ? 2x ? 6在区间(2,3)
内有零点,你有什么方法求出这个零点的近似值?

思考3:怎样计算函数 f (x) ? lnx ? 2x ? 6 在区间(2,3)
内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b) 中点值m f(m)的近 精确度|a-b| 似值

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)

2.5 2.75 2.625

-0.084 0.512 0.215

1 0.5 0.25

(2.5,2.625)
(2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5)

2.562 5
2.531 25 2.546 875

0.066
-0.009 0.029 0.01

0.125
0.0625 0.03125 0.015625

(2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5

(2.531 25,2.539 062 5) 2.535 156 25

0.001

0.007813

思考4:上述求函数零点近似值的方法叫做二分法,
那么二分法的基本思想是什么? 提示:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的 区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法.

知识探究(二):用二分法求函数零点近似值的步骤

思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么? 提示:确定区间[a,b],使 f(a)f(b)<0 思考2:为了缩小零点所在区间的范围,接下来应做什么? 提示:求区间的中点c,并计算f(c)的值

思考3:若f(c)=0说明什么? 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ,则分别说明什么? 提示: 若f(c)=0 ,则c就是函数的零点; 若f(a)·f(c)<0 ,则零点x0∈(a,c); 若f(c)·f(b)<0 ,则零点x0∈(c,b).

思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值? 提示:当|m—n|<ε 时,区间[m,n]内的任意一 个值都是函数零点的近似值. 思考5:对下列图象中的函数,能否用二分法求函数零 点的近似值?为什么? y y o x o x

理论迁移

考点一: 二分法的概念
[例1]下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分 法求图中函数零点的是 ( )

[精解详析]

利用二分法求函数零点,必须满足零点

两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)· f(b)<0,不能
用二分法求零点.因为A、C、D中零点两侧函数值异号, 故可采用二分法求零点. [答案] B

1.函数f(x)的图象如图所示,函数 f(x)的变号零点个数为 ( )

A.0
C.4

B.1
D.3

解析:由图可知,图象与x轴有4个公共点,有3个穿过 x轴,所以共有4个零点,其中有3个变号零点. 答案:D

2.下面关于二分法的叙述,正确的是 A.用二分法可求所有函数零点的近似值

(

)

B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数
点后的任一位 C.二分法无规律可循 D.只有在求函数零点时才用二分法 答案:B

3.用二分法求函数f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条
件是 ( )

①f(x)的图像在区间[a,b]上是连续不断的;②f(a)· f(b)<0; ③f(a)· f(b)>0;④f(a)· f(b)≥0. A.①② C.①④ 答案:A B.①③ D.①②③

考点二: 用二分法求函数零点的近似值
[例2]用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内 的一个零点(精确度0.01). [精解详析] 经计算f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数在

[1,1.5]内存在零点x0.
取(1,1.5)的中点x1=1.25,经计算f(1.25)<0.因为 f(1.5)· f(1.25)<0,所以x0∈(1.25,1.5). 如此继续下去,如下表:

区间 (1,1.5)

中点值 1.25

中点函数近似值 -0.30

(1.25,1.5)
(1.25,1.375) (1.312 5,1.375) (1.312 5,1.343 75)

1.375
1.312 5 1.343 75 1.328 125

0.22
-0.05 0.08 0.01 -0.02

(1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5

因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01, 所以函数f(x)=x3-x-1精确度为0.01的一个近似 零点可取为1.328 125.

[一点通]1.用二分法求函数的零点应遵循的原则
首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求 的零点,又要使其长度尽量小;其次要根据给定的精确度, 及时检验所得区间端点的差的绝对值是否小于精确度(精 确到给定的精确度),以决定是停止还是继续计算. 2.用二分法求函数的零点的近似值,可借助于计 算器完成计算.在计算时可用表格或数轴清晰地描述逐步

缩小零点所在的区间的过程.在区间长度小于精确度ε的
时候,运算结束,区间内的任意一点都可作为函数零点

的近似值.

4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次

计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点
x0∈________,第二次应计算__________.以上横线 应填的内容分别为 A.(0,0.5) C.(0.5,1) f(0.25) f(0.75) B.(0,1) D.(0,0.5) f(0.25) f(0.125) ( )

解析:因为f(0)<0,f(0.5)>0,故x0∈(0,0.5).依二分 法,第二次应计算f(0.25). 答案:A

5.证明方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一实数解,并

求出这个实数解(精确度0.1).
证明:设函数f(x)=2x+3x-6. ∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0, 又∵f(x)是增函数,

所以函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点,
则方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一实数解.

设该解为x0,则x0∈(1,2). 取x1=1.5,则f(1.5)≈1.33>0,

f(1)· f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5).
取x2=1.25,则f(1.25)≈0.13>0, f(1)· f(1.25)<0, ∴x0∈(1,1.25). 取x3=1.125,则f(1.125)≈-0.44<0,

f(1.125)· f(1.25)<0.

∴x0∈(1.125,1.25). 取x4=1.187 5,则f(1.187 5)≈-0.16<0,

f(1.187 5)· f(1.25)<0,
∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴可取x0=1.25, 则方程的一个实数解近似可取为1.25.

考点三: 二分法的实际应用
[例3](10分)从某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的

电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速
查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很 多.每查一个点,就要爬一次电线杆子.10 km长,大约有 200多根电线杆子呢!想一想,维修线路的工人师傅怎样工 作最合理?每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半.算 一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m~100 m之间, 要查多少次?

[精解详析](1)如图所示,他首先从中点C检查,用随
身带的话机向两端测试时,假设发现AC段正常,断定 故障在BC段;再到BC段中点D查,这次若发现BD段 正常,可见故障在CD段;再到CD段中点E查…… (5分)

(2)设需要排查 n 次,因为每查一次,就可以把待查的线路 10 000 长度缩减一半,所以 50< n <100,? 2 即 100<2n<200,n=7.因此,只要 7 次就够了.? (9 分) (10 分)

[一点通]二分法的思想在实际生活中应用十分广泛.
二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排

查等,还能用于实验设计、资料查询、资金分配
等.

6.某产品中含有某种贵重金属,当含贵重金属的比 例达到某一指标时,产品符合要求.现已知生产

出的含16%贵重金属的产品质量符合要求.问:
贵重金属的比例是否可以更少一些,使得产品质 量仍然符合要求?(精确到0.01)

解:将产品质量看成是贵重金属比例x%的函数f(x),产

品质量合格记为f(x)>0,不合格记为f(x)<0.
因为f(0)<0,f(16)>0,先取[0,16]的中点,即x=8, 用含贵重金属比例8%的配方生产一次,如果产品合格, 即f(8)>0,则要在[0,8]内再进行试验;如果产品不合格, 即f(8)<0,则要在[8,16]内再进行试验.

假设f(8)>0,取[0,8]的中点x=4,用含贵重金属
比例4%的配方生产一次,如果产品合格,即f(4)>0, 则要在[0,4]范围内再进行试验;如果产品不合格, 即f(4)<0,则要在[4,8]范围内再进行试验. 以此类推,最终可以找到f(x)=0的近似解.

方法·规律·小结

1.二分法是不断把函数的变号零点所在的区间一 分为二,使区间内每一个点都逼近零点,从而得到

零点近似值的一种方法.
2.二分法的思想在现实生活中也有广泛的应用, 如地下管道的故障排查、物价的竞猜、人员分配等 问题都可用二分法的思想.

同学们

再见!



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