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北京市房山区房山中学高二数学(理)b层《1.1.2导数的概念》教案


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教学目标: 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2. 理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及 其内涵; 3.会求函数在某点的导数 教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念; 教学难点:导数的概念. 教学过 程: 一.创设情景 (一)平均变化率(1)情境 某人走 路的第 1 秒到第 34 秒的位移时间图象如图所示:

(2)问题 1: “从 A 到 B 的位移是多少?从 B 到 C 的位移是多少 ?” 问题 2: “AB 段与 BC 段哪一段速度较快?”

二.新课讲授 1.瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速 度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如, t ? 2 时的瞬时速度是多少?考察 t ? 2 附近的情况: 思考:当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? 结论:当 ?t 趋近于 0 时,即无论 t 从小于 2 的一边,还是从大于 2 的一边趋近于 2 时,平均速度 v 都 趋近于一个确定的值 ?13.1 . 从物理的角度看,时间 ?t 间隔无限变小时,平均速度 v 就无限趋近于史的瞬时速度,因此,运动员
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在 t ? 2 时的瞬时速度是 ?13.1m / s 为了表述方便,我们用 lim
?t ? 0

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h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t

表示 “当 t ? 2 , ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 趋近于定值 ?13.1 ” 小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬 时速度的 精确值。 2 导数的概念 从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ? x ? 0 ?x ?x

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y' |x? x0 ,即

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

说明: (1)导数即为 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim 三.典例分析 2 例 1. (1)求函数 y=3x 在 x=1 处的导数. 2 分析:先求Δ f=Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=6Δ x+(Δ x) 再求

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

?f ?f ? 6 ? ?x 再求 lim ?6 ?x ?0 ?x ?x

解:法一(略) 法二: y? |x ?1 ? lim
2

3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

(2)求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x 解: ?x ?x f ?(?1) ? lim
例 2. (课本例 1)

?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

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六.布置作业

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