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中档大题保分练(五)


中档大题保分练(五)
(推荐时间:50 分钟) 1. 已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x,3). sin x+cos x (1)当 m∥n 时,求 的值; 3sin x-2cos x (2)已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3c=2asin(A+B),函 π B+ ?的取值范围. 数 f(x)=(m+n)· m,求 f? ? 8? 解 1 (1)由 m∥n,可得 3sin x=-cos x,于是 tan x=- , 3

1 - +1 3 sin x+cos x tan x+1 2 ∴ = = =- . 1 9 3sin x-2cos x 3tan x-2 ? 3×? ?-3?-2 (2)在△ABC 中,A+B=π-C,于是 sin(A+B)=sin C, 由正弦定理知: 3sin C=2sin Asin C, ∵sin C≠0,∴sin A= 3 . 2

π π π 又△ABC 为锐角三角形,∴A= ,于是 <B< . 3 6 2 ∵f(x)=(m+n)· m =(sin x+cos x,2)· (sin x,-1) =sin2x+sin xcos x-2 = = 1-cos 2x 1 + sin 2x-2 2 2 π 3 2 ? sin?2x-4? ?-2, 2

π π 3 π 2 B+ ?= sin?2?B+8?- ?- ∴f? ? 4? 2 ? 8? 2 ? ? = 2 3 sin 2B- . 2 2

π π π 由 <B< 得 <2B<π, 6 2 3 3 2 3 2 3 ∴0<sin 2B≤1,- < sin 2B- ≤ - , 2 2 2 2 2 π? ? 3 2 3? 即 f? ?B+8?∈?-2, 2 -2?. 2. 已知数列{an}的通项公式为 an=3n 1,在等差数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且 b1+b2+b3


=15,又 a1+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)∵an=3n 1(n∈N*),∴a1=1,a2=3,a3=9,


在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5. 又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列, 设等差数列{bn}的公差为 d, ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0(n∈N*),∴舍去 d=-10,取 d=2,∴b1=3, ∴bn=2n+1(n∈N*). (2)由(1)知,Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n 2+(2n+1)3n 1,
- -

① ②

3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n 1+(2n+1)· 3n,


①-②得 -2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n 1-(2n+1)3n


=3+2(3+32+33+…+3n 1)-(2n+1)3n


3-3n =3+2× -(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n· 3n, 1- 3 ∴Tn=n· 3n. 3. 某学校共有教职工 900 人,分成三个批次进行继续教育培训,在三个批次中男、女教职 工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取 1 名, 抽到第二批次中女教职工的概 率是 0.16. 第一批次 女教职工 男教职工 (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取 54 名做培训效果的调查,问应在第三批次 中抽取教职工多少名? (3)已知 y≥96,z≥96,求第三批次中女教职工比男教职工多的概率. 解 x (1)由 =0.16,解得 x=144. 900 196 204 第二批次 x 156 第三批次 y z

(2)第三批次的人数为 y+z=900-(196+204+144+156)=200, m 54 设应在第三批次中抽取 m 名,则 = ,解得 m=12, 200 900 所以应在第三批次中抽取 12 名. (3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为 A, 第三批次女教职工和男教职工数记

为数对(y,z). 由(2)知 y+z=200(y,z∈N*,y≥96,z≥96), 则基本事件总数有: (96,104), (97,103), (98,102), (99,101), (100,100), (101,99), (102,98), (103,97),(104,96),共 9 个; 而事件 A 包含的基本事件有(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共 4 个. 4 所以,所求概率为 P(A)= . 9 4. 如图所示多面体中,AD⊥平面 PDC,ABCD 为平行四边形,E,F 分别为 AD,BP 的中点,AD=3,AP=5,PC=2 7. (1)求证:EF∥平面 PDC; (2)若∠CDP=90° ,求证:BE⊥DP; (3)若∠CDP=120° ,求该多面体的体积. (1)证明 取 PC 的中点为 O,连结 FO,DO. 因为 F,O 分别为 BP,PC 的中点, 1 所以 FO∥BC,且 FO= BC. 2 又四边形 ABCD 为平行四边形,E 为 AD 的中点, 1 所以 ED∥BC,且 ED= BC, 2 所以 FO∥ED,且 FO=ED, 所以四边形 EFOD 是平行四边形, 所以 EF∥DO. 又 EF?平面 PDC,DO?平面 PDC, 所以 EF∥平面 PDC. (2)解 若∠CDP=90° ,则 PD⊥DC,

又 AD⊥平面 PDC,所以 AD⊥DP, 又∵DC∩AD=D,所以 DP⊥平面 ABCD. 因为 BE?平面 ABCD,所以 BE⊥DP. (3)解 连结 AC,由 ABCD 为平行四边形可知△ABC 与△ADC 面积相等,

所以三棱锥 P-ADC 与三棱锥 P-ABC 体积相等, 即五面体的体积为三棱锥 P-ADC 体积的 2 倍. 因为 AD⊥平面 PDC,所以 AD⊥DP, 由 AD=3,AP=5,可得 DP=4. 又∠CDP=120° ,PC=2 7, 由余弦定理得 DC=2,

所以三棱锥 P-ADC 的体积 1 1 VP-ADC=VA-CDP= × ×2×4×sin 120° ×3=2 3, 3 2 所以该五面体的体积为 4 3.


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