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【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库:10.2 排列与组合


10.2 排列与组合
一、选择题 1.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节 目.如 果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 ( A.42 解析 B.30 C.20 D.12 ).

可分为两类:两个节目相邻或两个节目不相邻,若两个节目相邻,则有

A2A1=12 种排法;若两个节目不相邻,则有 A2=30 种排法 .由分类计数原理共有 2 6 6 12+30=42 种排法(或 A2=42). 7 答案 A 2.a∈N*,且 a<20,则(27-a)(28-a)?(34-a)等于( A.A8 a 27- B.A27-a 34-a C.A7 a 34- ) D.A8 a 34-

解析 A8 a=(27-a)(28-a)?(34-a). 34- 答案 D 3.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重复 数字的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有( A.252 个 C.324 个 解析 ) B.300 个 D.228 个

(1)若仅仅含有数字 0,则选法是 C2C1,可以 组成四位数 C2C1A3=12×6= 3 4 3 4 3

72 个; (2)若仅仅含有数字 5,则选法是 C1C2,可以组成四位数 C1C2A3=18×6=108 个; 3 4 3 4 3 (3)若既含数字 0,又含数字 5 ,选法是 C1C1,排法是若 0 在个位,有 A3=6 种, 3 4 3

若 5 在个位,有 2×A2=4 种,故可以组成四位数 C1C1(6+4)=120 个. 2 3 4 根据加法原理,共有 72+108+120=300 个. 答案 B 4.2013 年春节放假安排:农历除夕至正月初六放假,共 7 天.某单位安排 7 位 员工值班,每人值班 1 天,每天安排 1 人.若甲不在除夕值班,乙不在正月初一 值班,而且丙和甲在相邻的两天值班,则不同的安排方案共有( A.1 440 种 C.1 282 种 B.1 360 种 D.1 128 种 )
[来源:Zxxk.Com]

解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法: 如果不考虑“乙不在正月初一值班”,则安排方案有:A6·A2=1 440 种, 6 2 如果“乙在正月初一值班”,则安排方案有:C1·A1·A2·A4=192 种, 1 4 2 4 若“甲在除夕值班”,则“丙在初一值班”,则安排方案有:A5=120 种. 5 则不同的安排方案共有 1 440-192-120=1 128(种). 答案 D 5.某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资 的 项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( A.16 种 B.36 种 C.42 种 ). D.60 种

解析 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个, 每个城市一项, A3种方法; 共 4 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个,一个城市一项、一个城市两项共 C2A2种方法,由分类计数原理知共 A3+C2A2=60 种方法. 3 4 4 3 4 答案 D 6.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中选 3 门.若要求

两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( A.30 种 解析 法一 B.35 种 C.42 种

). D.48 种

可分两种互斥情况:A 类选 1 门,B 类选 2 门或 A 类选 2 门,B 类

选 1 门,共有 C1C2+C2C1=18+12=30(种)选法. 3 4 3 4 法二 总共有 C3=35(种)选法,减去只选 A 类的 C3=1(种),再减去只选 B 类的 7 3 C3=4(种),共有 30 种选法. 4 答案 A 7.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其并排 摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是( A.24 B.48 C.72 D.96 ).

解析 A5-2A2A2A2-A2A2A3=48. 5 2 3 2 2 2 3 答案 B 二、填空题 8.5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员 中至少有 1 名老队员,且 1、2 号中 至少有 1 名新队员的排法有__ ______种.(以数字作答) 解析 ①只有 1 名老队员的排法有 C1·C2·A3=36 种. 2 3 3 ②有 2 名老队员的排法有 C2·C1·C1·A2=12 种; 2 3 2 2 所以共 48 种. 答案 48 9.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生, 其中甲同学不能分配到 A 班,那么不同的分配方案种数是________.

解析 将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排一名学 生有 C2A3种分配方案,其中甲同学分配到 A 班共有 C2A2+C1A2种方案.因此满足条 4 3 3 2 3 2 件的不同方案共有 C2A3-C2A2-C1A2=24(种). 4 3 3 2 3 2 答案 24 10.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求男、女 医生都有,则不同的组队方案共有________种. 解析 分 1 名男医生 2 名女医生、2 名男医生 1 名女医生两种情况,或者用间接 法. 直接法:C1C2+C2C1=70. 5 4 5 4
[来源:学*科*网] [来源:学科网 ZXXK]

间接法:C3-C3-C3=70. 9 5 4 答案 70 11.有五名男同志去外地出差,住宿安排在三个房间内,要求甲、乙两人不住同 一房间, 且每个房间最多住两人, 则不同的住宿安排有________种(用数字作答). 解析 甲、乙住在同一个房间,此时只能把另外三人分为两组,这时的方法总数 C1C2C2 3 5 4 2 是 C A =18,而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配,方法数是 2 A3 A2
1 3 3 3

=90,故不同的住宿安排共有 90-1 8=72 种. 答案 72 12.某车队有 7 辆车,现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车 必须参加,且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字). 解析 先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C2种选法,连同甲、乙共 4 辆车,排 5 列在一起,选从 4 个位置中选两个位置安排甲、乙,甲在乙前共有 C2种,最后, 4 安排其他两辆车共有 A2种方法,∴不同的调度方法为 C2·C2·A2=120 种. 2 5 4 2

答案 120 三、解答题 13.有六名同学按下列方法和要求分组,各有不同的分组方法多少种? (1)分成三个组,各组人数分别为 1、2、3; (2)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为 1、2、3; (3)分成三个组,各组人数分别为 2、2、2; (4)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为 2、2、2; (5)分成四个组,各组人数分别为 1,1,2,2; (6)分成四个组去参加四项不同的活动,各组人数分别为 1、1、2、2. 解析 (1)即 C1C2C3=60. 6 5 3 (2)即 C1C2C3A3=60×6=360. 6 5 3 3 (3)即 C2C2C2 6 4 2 =15. A3 3

[来源:Zxxk.Com]

(4)即 C2C2C2=90. 6 4 2 C1C1 C2C2 6 5 4 2 (5)即 2 · 2 =45. A2 A2 (6)C1C1C2C2=180. 6 5 4 2 14.要从 5 名女生,7 名男生中选出 5 名代表,按下列要求,分别有多少种不同 的选法? (1)至少有 1 名女生入选;(2)至多有 2 名女生入选;(3)男生甲和女生乙入选; (4)男生甲和女生乙不能同时入选;(5)男 生甲、女生乙至少有一个人入选. 解析 (1)C5 -C5=771; 12 7

(2)C5+C1C4+C2C3=546; 7 5 7 5 7 (3)C2C3 =120; 2 10 (4 )C5 -C2C3 =672; 12 2 10 (5)C5 -C5 =540. 12 10 15. m(m≥2)个不同数的排列 p1p2?pm 中, 1≤i<j≤m 时 pi>pj(即前面某数 在 若 大于后面某数),则称 pi 与 pj 构成一个逆序,一个 排列的全部逆序的总数称为该 排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)?321 的逆序数为 an.如排列 21 的逆序数

a1=1,排列 321 的逆序数 a2=3,排列 4 321 的逆序数 a3=6.
(1)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (2)令 bn=

an an+1 + ,证明 2n<b1+b2+?+bn<2n+3,n=1,2,?. an+1 an n? n+1?
2 .

解析 (1)由已知条件 a4=C2=10,a5=C2=15,则 an=C2+1= 5 6 n 1 ? an an+1 n n+2 ?1 ? + = + =2+2? - an+1 an n+2 n ?n n+2?
[来源:Z& xx&k.C om]

(2)证明

bn=

∴b1+b2+?+bn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? - + - ? =2n+2?1- + - + - +?+ 3 2 4 3 5 n-1 n+1 n n+2? ? 1 1 ? ?3 - ?, =2n+2? - ?2 n+1 n+2? ∴2n<b1+b2+?+bn<2n+3. 16.已知 10 件不同的产品中有 4 件次品,现对它们一一测试,直至找到所有 4 件次品为止. (1)若恰在第 2 次测试时,才测试到第一件次品,第 8 次才找到最后一件次品, 则共有多少种不同的测试方法?

(2)若至多测试 6 次就能找到所有 4 件次品,则共有多少种不同的测试方法? 解析 (1)若恰在第 2 次测试时,才测到第一件次品,第 8 次才找到最后一件次 品,若是不放回 的逐个抽取测试. 第 2 次测到第一件次品有 4 种抽法; 第 8 次测到最后一件次品有 3 种抽法; 第 3 至第 7 次抽取测到最后两件次品共有 A2种抽法;剩余 4 次抽到的是正品,共 5 有 A4A5A6=86 400 种抽法. (2)检测 4 次可测出 4 件次品,不同的测试方法有 A4种, 4 检测 5 次可测出 4 件次品,不同的测试方法有 4A3A1种; 4 6 检测 6 次测出 4 件次品或 6 件正品 ,则不同的测试方法共有 4A3A2+A6种. 5 6 6 由分类计数原理,满足条件的不同的测试方法的种数为 A4+4A3A1+4A3A2+A6=8 520. 4 4 6 5 6 6
2 2 4


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