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高中数学新课标人教A版选修2-1:2.4.1 抛物线及其标准方程 课件(共23张ppt)



2.4 抛物线

2.4.1

抛物线及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

抛物线的生活实例

1.掌握抛物线的定义及标准方程.(重点)
2.能求简单抛物线的方程.(重点、难点)

探究点1 抛物线的定义 我们知道,二次函数y=ax

2+bx+c(a≠0)的图象 是一条抛物线,而且研究过它的顶点坐标、对称轴 等问题.那么,抛物线到底有怎样的几何性质?它 还有哪些几何性质?

思考:如图,点F是定点,l是不经过点F的定直线.H 是l上任意一点,经过点H作MH⊥l,线段FH的垂直平 分线m交MH于点M.拖动点H,观察点M的轨迹.你能发 现点M满足的几何条件吗?
H E
M

m
F

m

l

抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F

H

d F ·

· M

C
焦点

和一条定直线l(l不经过点F)
距离相等的点的轨迹叫做抛 l

物线.

准线 点F叫做抛物线的焦点, 直线l 叫做抛物线的准线.
一条经过点F且 垂直于l 的直线 l F

想一想:定义中当直线l 经过定 点F,则点M的轨迹是什么?

·· · ·· · ·

探究点2 抛物线的标准方程
以过点F且垂直于直线 l
建式 系 列 化 设 简 点

H

yd

M (x,y)

·

的直线为x轴,垂足为K.以

FK的中点O为坐标原点建
立直角坐标系xOy.

K O

· · F

x

设M(x,y)是抛物线上任意一点, 点M到l的距离为d.

l

(p>0), 设 FK ? p p p 则焦点 F 的坐标为( ,),准线的方程为 0 x?? . 2 2 由抛物线的定义,抛物线就是点的集合
P ? M MF ? d ,

?

?

建式 系 列 化 设 简 点

p? p ? 2 所以 ? x ? ? ? y ? x ? 2? 2 ?

2

H

yd

M (x, y)

·
x

两边平方,整理得

y ? 2 px ( p > 0)
2

K O

· · F

其中p为正常数,它的几何 意义是: 焦点到准线的距离.

l

方程 y2 = 2px(p>0)表示焦点在x轴正

半轴上的抛物线. p p 焦点F的坐标为( : , 0),准线l的方程为 : x ? ? . 2 2

抛物线的标准方程还有哪些不同形式?

若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下,你能根据 上述办法求出它的标准方程吗? l l y
N

M

· · F
F

N

M

HO

· · F
y
F

x

· ·

M

M

· ·
N O H

l

l
N

x

四种抛物线及其它们的标准方程


.

.

.
y轴的 正半轴上
x2=2py (p>0)

.


焦点位置 标准方程 焦点坐标 准线方程

x轴的 正半轴上
y2=2px(p>0)

x轴的 负半轴上
y2=-2px (p>0)

y轴的 负半轴上
x2=-2py (p>0)

p F ( ,0 ) 2 p x =2

p F(- ,0) 2 p x= 2

p F ( 0, ) 2 p y =2

p F ( 0, - ) 2 p y= 2

【提升总结】

如何判断抛物线的焦点位置,开口方向?
(1)若一次项的变量为X(或Y),则焦点就在X轴

(或Y轴)上;
(2)一次项的系数的正负决定了开口方向

即:焦点与一次项变量有关;正负决定开口方向!

【例1】(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦 点坐标和准线方程. (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程. 解:(1)因为p=3,故抛物线的焦点坐标为( 3 ,0) , 2 3 准线方程为 x ? ? .
p (2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且 ? 2, p ? 4, 2
2

故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.

【变式练习】 1.根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点是(0,-3);
1 (2)准线是x ? ? 2 .
x2=-12y y2=2x

2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程. (1)y=8x2; (2)x2+8y=0.
焦点
1 1 y ? ? (0, ) ,准线 32 32

焦点 (0, ?2) ,准线 y ? 2

【提升总结】(1)用待定系数法求抛物线标准方程,应 先确定抛物线的形式,再求p值.(2)求抛物线的
焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程.

【例2】一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫 星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天 线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径) 为4.8m,深度为0.5m,试建立适当的坐标系,求抛物线 的标准方程和焦点坐标.

解:如图(2),在接收天线的轴截面所

y

在平面内建立直角坐标系,使接收天线
的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合.

A

设抛物线的标准方程是

y 2 ? 2 px( p ? 0),
由已知条件可得,点A的坐标是 (0.5,2.4),代入方程得

O

.
F B (2)

x

2.4 ? 2 p ? 0.5 ,即p=5.76.
2

所以,所求抛物线的标准方程是 y 2 ? 11.52 x ,焦
点坐标是(2.88,0).

1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y =2px(p>0) 的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆 过点(0,2),则 C 的方程为 A.y =4x 或 y =8x C.y =4x 或 y =16x
2 2 2 2

2

( C ) B.y =2x 或 y =8x D.y =2x 或 y =16x
2 2 2 2

2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则 点P到该抛物线焦点的距离是( A.12 B.4 C.6

C )

D.8

3.已知动圆M 经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,
求动圆圆心M的轨迹方程.

解析:设动点M(x,y),

设圆M与直线l:x=-3的切点为N,
则|MA|=|MN|,即动点M到定点A和定直线l:x=-3

的距离相等,
所以点M的轨迹是抛物线, 且以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线, p 所以 =3,所以p=6. 2 所以圆心M的轨迹方程是y2=12x.

一个定义: 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l (l不 经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

两类问题: 1.求抛物线标准方程; 2.已知方程求焦点坐标和准线方程.
三项注意: 1.定义的前提条件:直线l不经过点F; 2.p的几何意义:焦点到准线的距离; 3.标准方程表示的是顶点在原点,对称轴为坐 标轴的抛物线.

四种形式: 抛物线的标准方程有四种: y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0), x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).

追赶时间的人,生活就会宠爱他;放弃 时间的人,生活就会冷落他.



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