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正弦函数、余弦函数的性质之--定义域与值域



第二十七教时
教材:正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域 目的:要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域,尤其能灵活运用有界性求函数 的最值和值域。 过程:一、复习: 正弦和余弦函数图象的作法

y 1 o x 二、研究性质: 1.定义域:y=sinx, y=cosx 的定义域为 R 2.值域: 1
?

? 2

r />
? 2

?

3? 2

2?

?

? 2

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

y 1 o 1

? 2

?

3? 2

2?

? 3 ? cos x )-1 2? y=sin2x-4sinx+5 3 ? y= 3 ? cos x 4 ? ? 2k? ? 解:1? 当 3x+ =2k?+ 即 x= (k?Z)时 ymax=0 ? 3 12 4 2 ? ? 2k? ? 当 3x+ =2k?- 即 x= (k?Z)时 ymin=-2 ? 4 2 3 4 ? 2? y=(sinx-2)2+ 1 ∴当 x=2k?k?Z 时 ymax=10 2 ? 当 x=2k?k?Z 时 ymin= 2 2

1? y=sin(3x+

x
(有界性)

3? y=-1+

1 当 x=2k?+? 3 ? cos x

k?Z 时 ymax=2
1 2

当 x=2k? k?Z 时 ymin= 例四、函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 解:当 k>0 时
? k ?b ? 2 ?k ?3 ?? ? ?? k ? b ? ?4 ?b ? ?1 ?? k ? b ? 2 ?k ?3

1?引导回忆单位圆中的三角函数线,结论:|sinx|≤1, |cosx|≤1 再看正弦函数线(图象)验证上述结论 ∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1,1]
[来源:Z|xx|k.Com]

最小值为-4,求 k,b 的值。

2?对于 y=sinx

当且仅当 x=2k?+

当且仅当时 x=2k?-

? k?Z 时 ymin=-1 2

? k?Z 时 ymax=1 2

对于 y=cosx 当且仅当 x=2k? k?Z 时 ymax=1 当且仅当 x=2k?+? k?Z 时 ymin=-1 3.观察 R 上的 y=sinx,和 y=cosx 的图象可知 当 2k?<x<(2k+1)? (k?Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)?<x< 2k? (k?Z)时 y=sinx<0
? ? <x<2k?+ (k?Z)时 y=cosx>0 2 2 ? 3? 当 2k?+ <x<2k?+ (k?Z)时 y=cosx<0 2 2

当 k<0 时 ? (矛盾舍去) ?? ? k ? b ? ?4 ?b ? ?1 ∴k=3 b=-1 例五、求下列函数的定义域: 1? y= 3 cos x ? 1 ? 2 cos 2 x 2? y=lg(2sinx+1)+ 2 cos x ? 1
[来源:Zxxk.Com]

3? y= cos(sin x)

解:1?

当 2k?-

[来源:Zxxk.Com]

1 2 ? ? ∴定义域为:[2k?- , 2k?+ ] (k?Z) 3 3 ? 7? 1 ? ? ?2k? ? 6 ? x ? 2k? ? 6 ?sin x ? ? 2 ?? (k ? Z ) 2? ? 1 ? ? ? cos x ? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? 2 3 3 ? ?

∵3cosx-1-2cos2x≥0

∴ ≤cosx≤1

三、例题: 例一 (P53 例二)略 例二 直接写出下列函数的定义域 、值域: 1? y=
1 1 ? sin x

? 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

?
3

(k ? Z )

∴定义域为 : (2k? ? ,2k? ? ](k ? Z )
6 3

?

?

3? ∵cos(sinx)≥0

? ? ∴ 2k?- ≤x≤2k?+ (k?Z) 2 2

2? y= ? 2 cos x

解:1?当 x?2k?-

? 1 k?Z 时函数有意义,值域:[ , +∞] 2 2 ? 3? 2 ?x?[2 k?+ , 2k?+ ] (k?Z)时有意义, 值域[0, 2 ] 2 2

cos1 ≤y≤1 ∵-1≤sinx≤1 ∴x?R 四、小结:正弦、余弦函数的定义域、值域 五、 作业:P56 练习 4 P57-58 习题 4. 8 2、9 《精编》P86 11 P87 25、30、31
[来源:学*科*网]

例三

求下列函数的最值 :



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