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高中学业水平测试数学试卷四



高中学业水平测试数学试卷 一、选择题(本大题共 20 个小题,每小题 2 分,共 40 分)每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的.请将正确答案的代号填在表格中。 1.设集合 A ={0,1,2,4,5,7},集合 B ={1,3,6,8,9},集合 C={3,7,9},则集合 (A∩B)∪C 等于 A.{0,1,2,6,9} C.{1,3,7,9} 2.下列各组函数

中,表示相同函数的是 A. y = B.{3,7,9} D.{3,6,7,9}

x 与 y =1 x

B. y = x 与 y = ( x ) 2

C. y = x + 2 与 y =

x2 4 x2

D. y =| x | 与 y =

x2

3.如图,函数 y = f (| x |) 的图象只可能是 y o A y o x y o x x y o B x

C 4.已知函数 y=

D

6x + 5 (x∈R 且 x≠1) ,那么它的反函数为 x 1
B. y=

A. y=

6x + 5 (x∈R 且 x≠1) x 1

x+5 (x∈R 且 x≠6) x6 x6 (x∈R 且 x≠-5) x+5

C. y=

x 1 5 (x∈R 且 x≠ ) 6x + 5 6
3 ,则 cos 2α 等于 5

D. y=

5.已知 cos α = A.

7 25 16 25

B. D.

7 25 16 25

C.

6.函数 y = 4 sin 2 x 是

A.周期为

π
2

的奇函数

B.周期为

π
2

的偶函数

C.周期为 π 的奇函数 7.已知椭圆标准方程为 A. x = ± C. y = ±

D.周期为 π 的偶函数

x2 y2 + = 1 ,则它的准线方程为 25 16
B. x = ±

25 3 25 3

16 3 16 3

D. y = ±

8.在空间下列命题中正确的是 A.同平行于同一个平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线平行 D.与同一个平面成等角的两条直线平行

9. “两条直线 a、b 为异面直线”是“直线 a、b 不相交”的 A. 充分不必要条件 C.充要条件 10.将 y = sin x 的图象上所有点向左平移 倍,则得到的图象解析式为 A. y = sin( 2 x + C. y = sin( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π
3

个单位长度,再把所得图象上个点的横坐标扩大到原来的 2

π
3

)

B. y = sin( D. y = sin(

x π ) 2 3 x π + ) 2 3

x π ) 2 6

11.如果直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y-2=0 互相垂直,那么 a 的值等于 A.1 C. B.

1 3

2 3

D.-2

12.从5名男生中选出3人,4名女生中选出2人排成一排,不同排法共有 A.780 种 C.60 种 B.86400 种 D.7200 种

13.在△ABC 中,已知 a=4,A=45°B=60°则 b 等于 A.

4 6 3

B. 2 2 D. 2 6

C. 2 3

14.直线 3 x + 4 y = 0 与圆 ( x + 3) 2 + ( y 4) 2 = 9 的位置关系是 A.相切 B.相离

C.相交但不过圆心 15.将抛物线 y =
2

D.相交且通过圆心

1 1 2 x 按向量 a 平移,平移后方程为 ( y 1) = ( x + 1) ,向量 a 的坐标为 2 2
B. (1,-1) D. (1,1)

A. (-1,1) C. (-1,-1)

16.已知向量 a=(1,2) ,b=(-4,x) ,且 a⊥b,则 x 的值是 A.-8 C.2 B.-2 D.8

17.已知正四棱锥的侧棱与底面边长相等,则侧棱与底面所成的角等于 A.30° C.60° 18.cos300 的值等于 A.
0

B.45° D.70°

1 2

B.-

1 2

C.

3 2
-0.1

D.b=0.7
-0.2

3 2

19.设 a=0.7 A.c<b<a C.a<b<c

c=log30.7 则下列结果正确的是 B.c<a<b D. b<a<c

20.若偶函数 y = f (x ) 在 ( ∞,1] 上是增函数,则下列各式成立的是 A. f ( 2 ) > f ( 2 ) C. f (3) < f (π ) B. f ( 2) > f (3) D. f ( 2 ) < f ( 3 )

二、填空题(本大题共 6 个小题,每题 3 分,共 18 分)请将答案填在题中横线上 21.45 与 80 的等比中项是 22.已知一个球的半径 R=3cm,那么它的体积是 23.设 f ( x) = x 2 + x ( x < ) ,则 f 24.函数 y = cm
3

1 2

1

( 2) =

log 0.5 (4 x 3) 的定义域是 x2 y2 5 2 = 1 离心率 e = ,虚半轴长为 3,则双曲线方程为 2 4 a b

25.已知双曲线

26.已知∣a∣=4,∣b∣=3,且 a⊥b,则(a+b)(a-2b)= 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 42 分) 27. (本小题满分 8 分)

已知 cosα=-

4 π π ,α∈ ( , π ) ,试求(1)sin(α- )的值; (2)cos2α的值。 5 2 3

28. (本小题满分 8 分) 解关于 x 的不等式:

5 x 2 10 x + 3 >1 3x 2 7 x + 2

29. (本小题满分 8 分) 已知等差数列{ a n }中, a3 =9, a9 =3,求⑴ a1 和公差 d ;⑵前 15 项的和 S15。 30. (本小题满分 8 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面是正方形,边长为 a,PD=a,PA=PC= 2 a ⑴求证:PD⊥平面 ABCD; ⑵求异面直线 PB 与 AC 所成角; ⑶求二面角 A-PB-D 的大小. P

D

C

A

B

31. (本小题满分 10 分) 已知直线 l:mx+ny=1 与椭圆 C: ① 求证: a m + b n > 1 ;
2 2 2 2

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 交于 P、Q 两点 a2 b2

a2 + b2 ②若 O 为坐标原点且 OP⊥OQ,求证: = m2 + n2 2 2 a b

高中学业水平测试数学试卷 参考答案 一、选择题(每小题 2 分,共 40 分) 1 2 题号 答案 题号 答案 C 11 D D 12 D

3 B 13 D

4 B 14 C

5 B 15 A

6 C 16 C

7 A 17 B

8 C 18 A

9 A 19 B

10 D 20 B

二、填空题(每题 3 分,共 18 分) 21.±60;22. 36π ;23.–2;24. ( ,1] ;25.

3 4

x2 y2 = 1 ;26.-2 16 9

三、解答题(共 42 分,27-30 每题 8 分,31 题 10 分) 27. (本小题满分 8 分) 解:∵cosα=sin (α

π
3

4 π 3 ,α∈ ( , π ) ∴sinα= 5 2 5

(1 分) (3 分) (5 分) (7 分) (8 分)

) = (sin α cos
=

π

cos α sin ) 3 3

π

3+ 4 3 10 2 cos2α= 2 cos α 1 7 = 25
28. (本小题满分 8 分) 解:移项,

5 x 2 10 x + 3 -1>0 (1 分) 3x 2 7 x + 2 2 x 2 3x + 1 通分整理得: 2 >0 (2 分) 3x 7 x + 2 (2 x 1)( x 1) >0 (4 分) (3 x 1)( x 2) 原不等式等价于 (2 x 1)( x 1)(3 x 1)( x 2) > 0 (6 分) 1 1 ∴原不等式解集为: {x | x < 或 〈x〈1或x〉} (8 分) 2 3 2
29. (本小题满分 8 分) 解:设首项为 a1 ,公差为 d , 解得 a1 =11, d =-1(5 分) S15= na1 +

a1 + 2d = 9 a1 + 8d = 3

(3 分)

n(n 1)d 15(15 1) × (1) =60(8 分) = 15 × 11 + 2 2

30. (本小题满分 8 分) 解:⑴∵AD=DC=a,PD=a,PA=PC= 2 a 2 2 2 2 2 2 ∴AD +PD =PA ,DC +PD =PC (1 分) 0 0 ∴∠PDA=90 ,∠PDC=90 (2 分) ∴PD⊥平面 ABCD (3 分) ⑵连结 AC、BD 交于 O, ∵ABCD 是正方形∴AC⊥BD (4 分) A

P

E D O B C

∵PD⊥平面 ABCD∴AC⊥PB (5 分) 0 ∴异面直线 PB 与 AC 所成角为 90 (6 分) ⑶作 AE⊥PB 于 E,连结 EO, ∵AC⊥PB,AE⊥PB∴PB⊥平面 AEO∴PB⊥EO ∴∠AEO 为二面角 A-PB-D 的平面角(7 分) 在 Rt△PAB 中, PA =

2 A, AB = a, PB = 3a ∴ AE =

2a 2 3a

=

6 a 3

2 a ,∵AC⊥平面 PBD∴AO⊥OE, 2 OA 2 3 3 ∴在 Rt△AOE 中, sin ∠AEO = = = AE 2 2 6 ∴ ∠AEO = 60 (8 分) OA =
31. (本小题满分 10 分) 解 : ①

mx + ny = 1

y 消 去 x 得 P o Q x

2 2 2 2 2 2 b x + a y = a b (a 2 m 2 + b 2 n 2 ) y 2 2b 2 ny + b 2 a 2 b 2 m 2 = 0

(2 分)

= 4 a 4 b 2 m 4 + 4a 2 b 4 m 2 n 2 4a 2 b 2 m 2 > 0 即 4a 2 b 2 m 2 ( a 2 m 2 + b 2 n 2 1) > 0
∴a m +b n >1
2 2 2 2

(4 分)

②设 P(x1,y1 )Q(x2,y2), 分别消去①中方程组 x,y,由韦达定理可知 y1y2= x 1x 2=

b 2 a 2b 2 m 2 ,(6 分) a 2m2 + b2n2

a 2 a 2b 2 n 2 , 分) (8 a 2m2 + b2n2 由 OP⊥OQ 得 x1 x 2 + y1 y 2 = 0 a +b = m2 + n2 2 2 a b
2 2

(9 分) (10 分)

代入化简得



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