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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练32 数列的通项 理 北师大版



计时双基练三十二

数列的通项

A 组 基础必做 1 2 1 1 * 1.在数列{an}中,若 a1=1,a2= , = + (n∈N ),则该数列的通项为( 2 an+1 an an+2 1 A.an= )

n
2 2 1 1 = + 可得

B.an=

2

/>
n+1 n

C.an=

n+2 an+1 an an+2
?an?

3 D.an=

解析 由已知式 1

an+1 an an+2 an+1
1 =n,即 an= 。

?1? 1 1 1 1 1 1 1 - = - , 知? ?是首项为 =1, 公差为 - =2-1=1 的等差数列, 所以

a1

a2 a1

an

n

答案 A 1 * 2.数列{an}满足 an+an+1= (n∈N ),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21 为( 2 A.5 C. 9 2 B. D. 7 2 13 2 )

1 解析 ∵an+an+1= ,a2=2, 2 3 ? ?- ,n为奇数, 2 ∴an=? ? n为偶数。 ?2, 7 ? 3? ∴S21=11×?- ?+10×2= 。故选 B。 2 2 ? ? 答案 B 3.若正项数列{an}满足 lg an+1=1+lg an,且 a2 001+a2 002+a2 003+…+a2 010=2 016, 则 a2 011+a2 012+a2 013+…+a2 020 的值为( A.2 016×10 C.2 017×10
10

) B.2 016×10 D.2 017×10
11

10

11

解析 由条件知 lg an+1-lg an=lg
10

an+1 an+1 =1,即 =10,所以{an}是公比为 10 的等比 an an
10

数列。因为(a2 001+…+a2 010)·q =a2 011+…+a2 020,所以 a2 011+…+a2 020=2 016×10 , 选 A。
1

答案 A 4.已知数列{an}满足 a1=1,an+1an=2 (n∈N ),则 a10 等于( A.64 C.16 解析 因为 an+1an=2 , 所以 an+1an+2=2 两式相除得
n+1 n n
*

)

B.32 D.8



an+2 =2。 an

又 a1a2=2,a1=1,所以 a2=2, 则

a10 a8 a6 a4 4 5 · · · =2 ,即 a10=2 =32。 a8 a6 a4 a2

答案 B 1 * 5. (2015·辽宁大连双基)数列{an}满足 an-an+1=an·an+1(n∈N ), 数列{bn}满足 bn= ,

an

且 b1+b2+…+b9=90,则 b4·b6( A.最大值为 99 C.最大值为 100

) B.为定值 99 D.最大值为 200 1

解析 将 an-an+1=anan+1 两边同时除以 anan+1,可得

an+1 an

1 - =1,即 bn+1-bn=1,所以

9?b1+b9? {bn}是公差为 d=1 的等差数列,其前 9 项和为 =90,所以 b1+b9=20,将 b9= 2

b1+8d=b1+8,代入得 b1=6,所以 b4=9,b6=11,所以 b4b6=99,选 B。
答案 B

? 1? 6.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln?1+ ?,则 an=( ?
n?
A.2+ln n C.2+nln n 解析

)

B.2+(n-1)ln n D.1+n+ln n

由已知得 an+1-an=ln(n+1)-ln n,所以 a2-a1=ln 2-ln 1,a3-a2=ln 3

-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…,an-an-1=ln n-ln(n-1),以上 n-1 个式子左右分别 相加,得 an-a1=ln n,所以 an=2+ln n。故选 A。 答案 A 7.已知 a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N ),则数列{an}的通项公式是( A.2n-1 C.n
2 *

)

B.?

?n+1?n-1 ? ? n ?

D.n

2

解析 ∵an=n(an+1-an),∴ ∴an=

an+1 n+1 = , an n

an an-1 an-2 a3 a2 n n-1 n-2 3 2 × × ×…× × ×a1= × × ×…× × ×1=n。 an-1 an-2 an-3 a2 a1 n-1 n-2 n-3 2 1

答案 D 8.已知 a1=1,an+1=3an+1,则{an}的通项公式 an=________。 解析 由 an+1=3an+1, 1? 1 ? 得 an+1+ =3?an+ ?, 2? 2 ?
? 1? 3 则?an+ ?是以 为首项,公比为 3 的等比数列, 2 2 ? ?

1 3 n-1 则 an+ = ×3 , 2 2

an= - 。
答案 3 1 - 2 2
n

3 2

n

1 2

1+an * 9.(2015·贵州贵阳监测)已知数列{an}满足 a1=2,an+1= (n∈N ),则该数列的前 1-an 2 015 项的乘积 a1·a2·a3·…·a2 015=________。 1+a1 1+a2 1 1+a3 1 1+a4 解析 ∵a2= =-3, a3= =- , a4= = , a5= =2=a1, ∴数列{an} 1-a1 1-a2 2 1-a3 3 1-a4 是以 4 为周期的数列,而 2 015=4×503+3, ∴前 2 015 项乘积为 a1a2a3=3。 答案 3 10.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2。 (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式。 解 (1)证明:由 a1=1 及 Sn+1=4an+2,

有 a1+a2=S2=4a1+2。 ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3。 又?
? ?Sn+1=4an+2, ?Sn=4an-1+2, ?

① ②

①-②,得 an+1=4an-4an-1, ∴an+1-2an=2(an-2an-1)。 ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,

3

故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列。 (2)由(1)知 bn=an+1-2an=3·2 ∴
n-1



an+1 an 3
2
n+1

- n= , 2 4

?an? 1 3 故? n?是首项为 ,公差为 的等差数列。 2 4 ?2 ?

an 1 3 3n-1 ∴ n= +(n-1)· = , 2 2 4 4
得 an=(3n-1)·2
n-2



1 3an 11.已知数列{an}中,a1= ,an+1= 。 2 an+3 (1)求 an; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn· 解 得 即 (1)由已知得 an≠0,则由 an+1= 1 1 =

n?3-4an? 1 =1,求证: ≤Sn<1。 an 2

3an , an+3

an+1

an+3 , 3an a1

an+1 an 3

1 1 1 - = ,而 =2,

?1? 1 ∴? ?是以 2 为首项,以 为公差的等差数列。 a n 3 ? ?

1 1 n+5 ∴ =2+ (n-1)= , an 3 3 ∴an= 3 。 n+5

(2)证明:∵bn· 则由(1)得 bn=

n?3-4an? =1, an
1 ,

n?n+1?

1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 ∴Sn=b1+b2+…+bn=?1- ?+? - ?+? - ?+…+? - ?=1-n+1关于 n 单调 ? 2? ?2 3? ?3 4? ?n n+1? 递增, 1 ∴ ≤Sn<1。 2 B 组 培优演练 1.(2015·河北保定重点中学联考)已知数列{an}满足 a1=15,

an+1-an an =2,则 的最小 n n

4

值为( A.7 C.9 解析

) B.2 15-1 D. 27 4

∵an+1-an=2n,∴a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an-1=2(n-1),将以

2?n-1??1+n-1? 2 上 n-1 个式子相加,得 an-a1=2(1+2+3+…+n-1)= =n -n, 2

an 15 15 15 x -15 2 ∴an=n -n+15, ∴ =n+ -1, 令 g(x)=x+ -1, g′(x)=1- 2 = 2 , 当 x∈[0,3] n n x x x
15 27 时,g′(x)<0,当 x∈[4,+∞)时,g′(x)>0,g(3)=3+5-1=7,g(4)=4+ -1= , 4 4 27 故最小值为 ,故选 D。 4 答案 D 2.设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an+1-nan+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则 它的通项公式 an=________。 解析 ∵(n+1)an+1+an+1·an-nan=0, ∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0, 又 an+1+an>0。∴(n+1)an+1-nan=0, 即
2 2 2 2

2

an+1 n a2 a3 a4 a5 an 1 2 3 4 n-1 1 = ,∴ · · · ·…· = × × × ×…× ,∴an= 。 an n+1 a1 a2 a3 a4 an-1 2 3 4 5 n n
1

答案

n

3.(2016·天星教育未来脑高三毕业班大联考)已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2 =(2+cosnπ )(an-1)+3,n∈N ,那么数列{an}的通项公式为________。 解析 当 n 为奇数时,an+2=(2-1)(an-1)+3=an+2,因而 a1,a3,…,a2n-1,…是
*

首项为 1,公差为 2 的等差数列,此时 a2n-1=2n-1;当 n 为偶数时,an+2=(2+1)(an-1) +3=3an,因而 a2,a4,…,a2n,…是首项为 2,公比为 3 的等比数列,此时 a2n=2×3
n-1



n,n为奇数 ? ? 从而 an=? n 2×3 -1,n为偶数 ? 2 ?



n,n为奇数 ? ? 答案 an=? n 2×3 -1,n为偶数 ? 2 ?
4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn。已知 a1=a(a≠3),an+1=Sn+3 ,n∈N+。 (1)设 bn=Sn-3 ,求数列{bn}的通项公式;
5
n n

(2)若 an+1≥an,n∈N+,求 a 的取值范围。 解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3 ,
n n+1 n

即 Sn+1=2Sn+3 ,由此得 Sn+1-3

=2(Sn-3 )。

n

即 bn+1=2bn,又 b1=S1-3=a-3, 因此,所求通项公式为 bn=Sn-3 =(a-3)2 (2)由(1)知 Sn=3 +(a-3)2 于是,当 n≥2 时,
n n-1 n n- 1

,n∈N+。

,n∈N+,

an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2
=2×3
n-1

+(a-3)2

n-2



an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2
=2
n-2

?12?3?n-2+a-3?, ? ?2? ? ? ? ? ?

?3?n-2 当 n≥2 时,an+1≥an? 12? ? +a-3≥0? a≥-9。 ?2?
又 a2=a1+3>a1。 综上,所求的 a 的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞)。

6



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