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山东省济南市2013-2014学年高一上学期期末考试 数学试题



山东省济南市 2013-2014 学年高一上学期期末考试 数学试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共4页,满分 120 分.考试限 定用时 120 分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.答卷前,考生务必将自己的姓 名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题卡规定的位置.

第Ⅰ 卷(选择题
注意事项: 1. 第Ⅰ

卷共 12 题,每小题 4 分,共 48 分.

共 48 分)

2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用 橡皮擦干净后,再选择其他答案标号.只能涂在答题卡上, 答在试卷上无效. 3. 考试中允许使用计算器. 一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合 U ? {1,2,3,4,5} , A ? {1,2,3} ,则 CuA= A. {4} 2.设 f ? x ? ? ? A. 1 B. {2,4, 5} C. {4,5} D. {1,3,4} [

? x2 , x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f ? ? f ? ?1? ? ?= B. 2 C. 4 D. 8

3. 已知 A(1,1) , B(2,4) ,则直线 AB 的斜率为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2

C. y ?

1 x

D. y ? x

3

5. 若直线 mx+y-1=0 与直线 x-2y+3=0 平行,则 m 的值为 A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

6. 设 a ? 30.3 , b ? log? 3, c ? log0.3 2 则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b

-1-

7. 设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 m∥n,m∥α,则 n∥α C.若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α B.若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β D.若 m⊥n,m⊥α, n⊥β,则 α⊥ β

8. 当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a ? x 与 y ? loga x 的图象是

O A.



O B.



O 1 C.

O 1 D.

9. 如图是一个正三棱柱体的三视图,该柱体的体积等于
1

A. 3
x

B. 2 3

C.2

D.

3 3

3

1 10. 函数 f(x)=e - 的零点所在的区间是 x

第9题

A.(0, )
2 2

1 2

B. ( ,1)
2 2

1 2

C. (1, )

3 2

D. ( ,2)

3 2

11. 两圆 x ? y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系是 A.内切 12. 已知函数 f ( x) ? ? B.相交 C.外切 D.外离

2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 ,若 f (2a ? 1) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是 2 x ? 4 x , x ? 0 ? ?

A. (??, ?1) ? (? , ??) C. ( ?1, ? )

1 3

B. (??, ?3) ? (?1, ??) D. (?3, ?1)

1 3

-2-

2013 年 1 月高一期末模块考试


注意事项: 1.第Ⅱ 卷分填空题和解答题两种题型.


共 72 分)

第Ⅱ 卷(非选择题

2.第Ⅱ 卷所有题目的答案,考生须用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡上规定的区域内, 在试卷纸上答题无效.

二、填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ,它的定义域为 . . . 14. 已知球的某截面的面积为 16 ? ,球心到该截面的距离为 3,则球的表面积为

, 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是 15. 圆心为 (11)
16. 下列四个判断:① 若 f ( x) ? x ? 2ax 在 [1, ??) 上是增函数,则 a ? 1; ② 函数
2

y ? ln( x2 ? 1) 的值域是 R ;③函数 y ? 2|x| 的最小值是 1;④在同一坐标系中函数 y ? 2x 与 y ? 2? x 的图象关于 y 轴对称;其中正确命题的序号是
.

三、解答题(共 6 个小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 8 分) 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | 2 x ? 4 ? (1)求 A? B ; (2)若 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围.

x ? 2} , C ? {x | x ? a ? 1} .

18.(本小题满分 8 分) 已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 和点 A (1,2),设过 A 点与 l1 垂直的直线为 l2 . (1)求直线 l2 的方程; (2)求直线 l2 与两坐标轴围成的三角形的面积.

-3-

19. (本小题满分 10 分) 如图,四边形 ABCD 是正方形,O 是正方形 的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (1) PA∥ 平面 BDE . (2)平面 PAC ? 平面 BDE .

(第 19 题) 20. (本小题满分 10 分) 某企业拟投资 A 、B 两个项目, 预计投资 A 项目 m 万元可获得利润 P ? ? 万元;投资 B 项目 n 万元可获得利润 Q ? ?

1 2 ? m ? 20 ? ? 105 80

79 59 2 ? 40 ? n ? ? ? 40 ? n? 万元.若该企业用 40 80 2

万元来投资这两个项目,则分别投资多少万元能获得最大利润?最大利润是多少?

21. (本小题满分 10 分)

5) ,且和圆 C : x ? y ? 25 相交,截得的弦长为 4 5,求直线 l 的 已知直线 l 经过点 P(5,
2 2

方程.

22. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x?2m
2

?m?3

(m ??) 为偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数.

(1)求 m 的值,并确定 f ( x ) 的解析式; (2)若 g ( x) ? loga [ f (x ) ? ax](a ? 0 且 a ? 1) ,是否存在实数 a, 使 g ( x) 在区间 [2, 3] 上 的最大值为 2,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

-4-

高一数学试题参考答案(2013.1)
一、选择题 1.C 2.B 3.C 二、填空题 13. 4.D 14. 100 ? 5.B 6.B 7.D 8. D 9.A 10.B 11.B 12.A

?x | x ? 1?

15. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 8

16. ③ ④

三、解答题 17. 解:(1)由题意知,

B ?{ x | x ? 2}
所以 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 3? (2) 因为 B ? C ? C 所 以 6分 所 以

2分 4分

B?C
a?3
, 知

a ?1 ? 2
由 直 线

, 8分



18.





(1)

l1
1分



3x ? 4 y ? 1 ? 0

kl1 ? ?

3 4
又因为 l1 ? l2 ,所以 kl1 ? kl2 ? ?1 解 3分 所 以



k l2 ?

4 3

l2



方 4分





y-2 ?

4 (x - 1) 3







4x ? 3 y ? 2 ? 0

(2)由 l2 的方程 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 解得,当 x ? 0 时, y ?

2 3 1 2

当 y?0 时, x?? 6分

-5-

所 以 S? ? 8分 19. 证明 ( 1 )

1 1 1 2 1 . ? ? ? ,即该直线与两坐标轴围成的面积为 6 2 2 3 6





O 1分



E





.

因为 所

O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点, 以 3分 OE∥ AP ,

又因为 所

OE ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE, 以 5分 PA∥ 平 面 BDE

(2) 因为 所 PO ? 底面 ABCD,BD ? 平面 BDE, 以 6分 又因为四边形 ABCD 是正方形,AC 与 BD 是对角线 所 以 AC PO

?

BD



?
7分

BD





AC

?

PO=O



以 8分

BD

?





PAC



因为 所

BD ? 平面 BDE, 以 平 10 分 面 PAC

?





BDE.

20. 解:设投资 x 万元于 A 项目,则投资(40-x)万元于 B 项目, 分 总 利 润

2

w??

1 79 59 ( x ? 20) 2 ? 105 ? (? x 2 ? x) 80 80 2

-6-

5分

? ? x 2 ? 30 x ? 100

? ?( x ?15)2 ? 325
8分 当 x=15 时,Wmax=325(万元). 所以投资 A 项目 15 万元,B 项目 25 万元时可获得最大利润,最大利润为 325 万元.

10 分 21. 解: 当 l 的斜率不存在时, 方程为 x =5, 与圆 C 相切, 不满足题目要求, 分 设 直 线 l 的 斜 率 为 k , 则 l 的 方 程 2分 如图所示,设 OH 是圆心到直线 l 的距离,

1

y? k 5 ? x

5 ? k

? .0

OA 是圆的半径,则 AH 是弦长 AB 的一半,
在 Rt ?AHO 中, OA =5. 1 = AH AB 2 4分 所 6分 又知 解 8分 所 以 10 分 22. (1)由条件幂函数 f ( x) ? x?2m 得到 解
2



1 2

× 4

5
2


2

2

5

.



OH ?

OA ? AH ? 5



OH ?


5 (k ? 1 ) ? 5, k 2 ?1
k


1 2
直 线 方



k



2

.















x ? 2 y ? 5 ? 0或2 x ? y ? 5 ? 0

?m?3

(m ??) ,在 (0, ??) 上为增函数,

?2m2 ? m ? 3 ? 0
得 2分

?1 ? m ?

3 , 2

又因为

m? Z,
-7-



以 3分

m?0



1.

又因为是偶函数 当 m ? 0 时, f ( x) ? x3 , 不满足 f ( x ) 为奇函数; 当 m ? 1 时, f ( x) ? x 2 , 满足 f ( x ) 为偶函数; 所 5分 (2) g ( x) ? loga ( x2 ? ax), 令 h( x) ? x 2 ? ax , 由 h( x) ? 0 得: x ? (??,0) 以

f(

?

2

(a, ??)

g ( x) 在 [2,3] 上有定义,? 0 ? a ? 2 且 a ? 1,

? h( x) ? x2 ? ax
7分



[2,3]











.

当 1 ? a ? 2 时, g ( x)max ? g (3) ? loga (9 ? 3a) ? 2,

a 2 ? 3a ? 9 ? 0 ? a ?
因 为 8分

?3 ? 3 5 2
1? a ? 2 所 ,


a?

?3 ? 2

3

5

当 0 ? a ? 1 时, g ( x)max ? g (2) ? loga (4 ? 2a) ? 2,

?a2 ? 2a ? 4 ? 0?a ? ?1 ? 5
0 ? a ? 1,?
9分 综上,存在实数 a ? 此 种 情 况 不 存 在 ,
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?3 ? 3 5 ,使 g ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值为 2. 2

10 分

-8-



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