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2014年北京市各区高三一模试题汇编--函数与导数(理科)



2014 年北京市各区高三一模试题汇编—函数与导数(理科)
1 (2014 年东城一模理科)

答案: 2 (2014 年西城一模理科 ) 下列函数中,对于任意 x ? R ,同时满足条件 f ( x) ? f (? x) 和

f ( x ? π) ? f ( x) 的函数是( D )
(A) f ( x) ? sin x (C) f ( x) ? cos x (B) f ( x) ? sin x cos x (D) f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x

3 (2014 年西城一模理科)如图,在直角梯形 ABCD 中, AB//CD , AB ? BC , AB ? 2 ,

??? ? ???? ??? ? ??? ? PB ? PC ? y , P 为线段 AD (含端点) 上一个动点, 设 AP ? x AD , BC ? a(a ? 0) , CD ? 1 ,
对于函数 y ? f ( x) ,给出以下三个结论: 1 ○ 2 ○ 当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的值域为 [1, 4] ; D C

?a ? (0, ??) ,都有 f (1) ? 1 成立;
P A B

3 ?a ? (0, ??) ,函数 f ( x) 的最大值都等于 4. ○ 其中所有正确结论的序号是___○ 2 ,○ 3 ______.

4 (2014 年海淀一模理科 ) 下列函数 f ( x) 图象中,满足 f ( ) ? f (3) ? f (2) 的只可能是 ( D ) .

1 4

1 北京市昌平区华清学校—李老师

1

1 y 1

1y

1
y
y

O

x
O x O 1 x
O x

A

B

C

D

5 (2014 年海淀一模理科)已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G : y ? ln( x ? 1) 上,若线段 AB 与曲线 则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点. 记 M : y ? 相交且交点恰为线段 AB 的中点, 曲线 G 关于曲线 M 的关联点的个数为 a ,则( B ) . A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2

1 x

6 (2014 年海淀一模理科 ) 函数 y ? x ? x2 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于 ___

1 ____. 6

1 A ? {x | ( ) x ? 1} 2 7 (2014 年朝阳一模理科) 已知集合 ,集合 B ? {x | lg x ? 0} ,则 A U B ? (A)

A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 1} U{x | x ? 0} D. ? sin x .下列命题: 8 (2014 年朝阳一模理科)已知函数 f ( x) ? 2 x ?1 ①函数 f ( x) 的图象关于原点对称; ②函数 f ( x) 是周期函数; ? ③当 x ? 时,函数 f ( x) 取最大值; 2 1 ④函数 f ( x) 的图象与函数 y ? 的图象没有公共点, x B.②③ C.①④ D.②④ 其中正确命题的序号是(C) A.①③ 9 (2014 年丰台一模理科)已知函数 f ( x ) 是定义在 [?6,6] 上的偶函数,且 f (3) ? f (1) ,则 下列各式中一定成立的是(C) (A) f (0) ? f (6) (C) f ( ?1) ? f (3) (B) f (-3) ? f (-2) (D) f (-2) ? f (1)

10 (2014 年丰台一模理科) “ m ? n ? 1 ”是 “ log m 2 ? log n 2 ”的(A) (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2 北京市昌平区华清学校—李老师

? ?) 内单调递减,并且是偶函数的是(C) 11 (2014 年石景山一模理科)下列函数中,在 (0 ,
A. y ? x 2 B. y ? x ? 1 C. y ? ? lg | x | D. y ? 2 x

12 (2014 年石景山一模理科)若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x) 和 g ( x) 对其定义域上的 任意实数 x 分别满足: f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和

g ( x) 的“隔离直线”.已知函数 f ( x) ? x2 ? 1 和函数 g ( x) ? 2ln x ,那么函数 f ( x) 和函数

g ( x) 的隔离直线方程为___ y ? 2 x ? 2 ______.
13 (2014 年顺义一模理科)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? ?

?(a ? 1) x ? 3a ? 4, ( x ? 0)
x ?a , ( x ? 0)

满足

对任意实数 x1 ? x2 ,都有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 成立,则 a 的取值范围是(C) x2 ? x1 ? 5? ? ? ?5 ?
ax

(A) ? 0,1? (B) ?1, ?? ? (C) ? 1, ? (D) ? , 2 ? 3 3 14 (2014 年延庆一模理科)对于函数 f ( x) ? e 个是(C)

? ?

( a 是实常数) ,下列结论正确的一 ? ln x ,

A. a ? 1 时, f ( x) 有极大值,且极大值点 x0 ? ( ,1) B. a ? 2 时, f ( x) 有极小值,且极小值点 x0 ? (0, ) C. a ?

1 2

1 4

1 时, f ( x) 有极小值,且极小值点 x0 ? (1,2) 2

D. a ? 0 时, f ( x) 有极大值,且极大值点 x0 ? (??,0) 15 (2014 年东城一模理科)

3 北京市昌平区华清学校—李老师

4 北京市昌平区华清学校—李老师

x ? a, ? ? x ln x, 16 (2014 年西城一模理科)已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 a≥0 . ? ?? x ? 2 x ? 3, x≤a,

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求 a 的取值范围. (Ⅰ)解:由题意,得 f ?( x) ? ( x ln x)? ? ln x ? 1 ,其中 x ? 0 … 2 分 所以 f ?(1) ? 1 ,又因为 f (1) ? 0 , 所以函数

f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .
2

………… 4 分

(Ⅱ)解:先考察函数 g ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? R 的图象,
2 配方得 g ( x) ? ?( x ? 1) ? 2 ,

………… 5 分

所以函数 g ( x ) 在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ??) 单调递减,且 g ( x)max ? g (1) ? ?2 . ………… 6 分 因为对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,

1. 所以 a≤

……………… 8 分

以下考察函数 h( x) ? x ln x , x ? (0, ??) 的图象,则 h?( x) ? ln x ? 1 ,
5 北京市昌平区华清学校—李老师

令 h?( x) ? ln x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

随着 x 变化时, h( x ) 和 h?( x) 的变化情况如下:

1 . e

……… 9 分

x
h?( x)

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ? ?) e

?


0

?


h( x)
1 e

即函数 h( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ? ?) 上单调递增,且 h( x) min ? h( ) ? ? … 11 分
1 因为对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 所以 a≥ . …… 12 分 e

1 e

1 e

1 e

因为 ?

1 1 , 所以 a 的取值范围为 [ ,1] .…………… 13 分 ? ?2 (即 h( x) min ? g ( x) max ) e e
ax

17 (2014年海淀一模理科) 已知曲线 C : y ? e . (Ⅰ)若曲线 C 在点 (0,1) 处的切线为 y ? 2 x ? m ,求实数 a 和 m 的值; (Ⅱ)对任意实数 a ,曲线 C 总在直线 l : y ? ax ? b 的上方,求实数 b 的取值范围. 解(Ⅰ) y? ? ae ,——————————————————2 分
ax

因为曲线 C 在点(0,1)处的切线为 L: y ? 2x ? m ,所以 1 ? 2 ? 0 ? m 且 y? |x ?0 ? 2 —4 分 解得 m ? 1 , a ? 2 —————————————————5 分 (Ⅱ)法 1:对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于 ?x, a ? R ,都有 eax ? ax ? b ,即?x, a ?R, eax ? ax ? b ? 0 恒成立,————6 分 令 g ( x) ? e ? ax ? b ,————————————————————7 分
ax

①若 a=0,则 g ( x) ? 1 ? b ,所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ;————8 分 ②若 a ? 0 , g ?( x) ? a(e ? 1) ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 0 ,———————9 分
ax

g '( x), g ( x) 的情况如下:

x
g '( x)
北京市昌平区华清学校—李老师

(-?, 0)
?

0 0
6

(0,+?)
+

g ( x)

?

极小值

?

————————————————————————11 分 所以 g ( x) 的最小值为 g (0) ? 1 ? b ,—————————————————————12 分 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ;综上,实数 b 的取值范围是 b ? 1 .——————13 分 法 2:对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于 ?x, a ? R ,都有 eax ? ax ? b ,即?x, a ?R, b ? eax ? ax 恒成立,——————6 分 令 t ? ax ,则等价于? t ? R , b ? et ? t 恒成立,令 g (t ) ? et ? t ,则 g ?(t ) ? et ? 1 ,—7 分 由 g '(t ) ? 0 得 t ? 0 ,———————————9 分

g '(t ), g (t ) 的情况如下:

t
g '(t ) g (t )

(-?, 0)
?

0 0 极小值

(0,+?)
+

?

?

——————————————————————11 分
t 所以 g (t ) ? e ? t 的最小值为 g (0) ? 1 , ————————————12 分

实数 b 的取值范围是 b ? 1 .————————————————————13 分
1 2 18 (2014 年朝阳一模理科)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , a ? R . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [1,e] 的最小值为 1 ,求 a 的值.

解:函数 f ( x) 的定义域是 (0, ??) , f ?( x) ? ax ?

1 ax 2 ? 1 ? . x x

1 (Ⅰ) (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? ? ? 0 ,故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. x (2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减.

(3)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,又因为 x ? 0 ,解得 x ? ①当 x ? (0, ②当 x ? (

1 . a

1 1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 单调递减. a a

1 1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ( , ??) 单调递增. a a (0, ?? ) f ( x ) 综上所述,当 a ≤ 0 时,函数 的单调减区间是 ,

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调减区间是 (0,

1 1 ) ,单调增区间为 ( , ??) .……7 a a

分 (Ⅱ) (1)当 a ? 0 时,由(Ⅰ)可知, f ( x) 在 [1,e] 上单调递减,
1 2 4 所以 f ( x) 的最小值为 f (e) ? ae ? 1 ? 1 ,解得 a ? 2 ? 0 ,舍去. 2 e
7 北京市昌平区华清学校—李老师

(2)当 a ? 0 时,由(Ⅰ)可知, ①当
1 ≤1 ,即 a ≥1 时,函数 f ( x) 在 [1,e] 上单调递增, a

1 所以函数 f ( x) 的最小值为 f (1) ? a ? 1 ,解得 a ? 2 . 2

②当 1 ? 调递增,

1 1 1 1 ? e ,即 2 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 (1, ) 上单调递减,在 ( ,e) 上单 e a a a
1 1 1 ) ? ? ln a ? 1 ,解得 a ? e ,舍去. a 2 2

所以函数 f ( x) 的最小值为 f ( ③当

1 1 ≥ e ,即 0 ? a ≤ 2 时,函数 f ( x) 在 [1,e] 上单调递减, e a

1 2 4 所以函数 f ( x) 的最小值为 f (e) ? ae ? 1 ? 1 ,得 a ? 2 ,舍去. 2 e 综上所述, a ? 2 .…………………………13 分
x 19 (2014 年丰台一模理科)已知曲线 f ( x ) ? ax ? e (a ? 0) .(Ⅰ)求曲线在点( 0, f (0) )

处的切线方程; (Ⅱ)若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.
x 解: (Ⅰ)因为 f (0) ? ?1 ,所以切点为(0,-1). f ?( x) ? a ? e , f ?(0) ? a ? 1 ,

所以曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程为:y=(a-1)x-1.-------------------4 分
x (Ⅱ) (1)当 a>0 时,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a .因为 f ?( x) ? a ? e 在 ( ??, ??) 上为减函

数, 所以在 ( ??,ln a ) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (ln a, ??) 内 f ?( x) ? 0 , 所以在 ( ??,ln a ) 内 f ( x ) 是增函数,在 (ln a, ??) 内 f ( x ) 是减函数, 所以 f ( x) 的最大值为 f (ln a) ? a ln a ? a 因为存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ln a ? a ? 0 ,所以 a ? e .
x (2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? a ? e <0 恒成立,函数 f ( x) 在 R 上单调递减,
1 1 而 f ( ) ? 1 ? e a ? 0 ,即存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ? 0 . a

综上所述, a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13 分 20 (2014 年石景山一模理科)设函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x(a ? R) .
2

8 北京市昌平区华清学校—李老师

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的单调区间;

1] 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 (0 ,
(Ⅲ)过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,证明:切点的横坐标为1 . 解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x

( x ? 0) ,

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? f ?( x) ? 2 x ? 1 ? = ,…………………………1 分 x x 1 1 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, x ?( , ? ?) , f ?( x) ? 0 , 2 2 1 1 f ? x ? 的减区间为 (0, ) ,增区间 ( , ? ?) .…………………………3 分 2 2 1 1] 上是减函数, (Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? a ? ? f ( x) 在区间 (0, x 1 1] 恒成立,即 2 x ? a ? ? 0 对任意 x ? (0, 1] 恒成立,…………5 ? f ?( x) ? 0 对任意 x ? (0, x


?a ?

1 1 1] 恒成立,令 g ( x) ? ? 2 x ,? a ? g ( x)min ,……7 分 ? 2 x 对任意 x ? (0, x x

1] 单调递减,? g ( x)min ? g (1) ? ?1 .? a ? ?1 .…………………8 分 易知 g ( x) 在 (0,

f (t )) , f ?( x) ? 2 x ? a ? (Ⅲ)设切点为 M (t ,
切线的斜率 k ? 2t ? a ? ,又切线过原点 k ?

1 , x

1 t

f ?t ? t



f ?t ? t

1 ? 2t ? a ? ,即:t 2 ? at ? ln t ? 2t 2 ? at ? 1? t 2 ? 1 ? ln t ? 0 , t

存在性: t ? 1 满足方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 ,所以, t ? 1 是方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 的根.…11 分 再证唯一性:设 ? ? t ? ? t ? 1 ? ln t , ? ' ? t ? ? 2t ? ? 0 , ? (t ) 在 (0, ??) 单调递增,且
2

1 t

? ?1? =0 ,
所以方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 有唯一解.综上,切点的横坐标为 1 .…………………………13 分 21 (2014 年顺义一模理科)已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? x ? ln x ( a ? R, a ? 0 ) 2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;
9 北京市昌平区华清学校—李老师

(Ⅱ)若在区间 ?1, ?? ? 上函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? ax 下方,求 a 的取值范围
g ( x) ? f ( x) ? ax ? 1 2 ax ? x ? ln x ? ax 定义域 (0, ??) 2

在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? ax 下方,

22 (2014 年延庆一模理科)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b , (a, b ? R) .
3

(Ⅰ) 求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 3ax ? y ? 2a ? 0 , 且 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个公共点,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ,………………1 分 (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 在 (??,??) 上是增函数,……2 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a 或 x ? a 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? a ? x ?

a

∴ f ( x) 在 (??,? a ) 和 ( a ,??) 上是增函数,在 [? a , a ] 上是减函数.…………5 分 (Ⅱ) ∵ f ?(0) ? ?3a ,f (0) ? b , ∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? b ? ?3ax ,
10 北京市昌平区华清学校—李老师

即 3ax ? y ? b ? 0 ,∴ b ? 2a ,∴ f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 2a ………………7 分 由(Ⅰ)知, (1)当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (??,??) 单调递增,所以题设成立………………8 分 (2)当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? ? a 处达到极大值,在 x ? a 处达到极小值, 此时题设成立等价条件是 f (? a ) ? 0 或 f ( a ) ? 0 , 即: (? a ) 3 ? 3a(? a ) ? 2a ? 0 或 ( a ) 3 ? 3a( a ) ? 2a ? 0 即: ? a a ? 3a a ? 2a ? 0 或 a a ? 3a a ? 2a ? 0 ………………11 分 解得: 0 ? a ? 1 ………………12 分 由(1) (2)可知 a 的取值范围是 (??,1) .………………13 分

集所能集,不足之处敬请见谅!

11 北京市昌平区华清学校—李老师



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