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高一数学-2014-2015学年高一(下)期末数学试卷



2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案写在答卷纸相应区域) 1.在等差数列{an}中,已知 a1=1,d=2,则第 3 项 a3= . 2.过两点(1,0) , (0,2)的直线方程是 3.一元二次不等式(x﹣2) (x﹣3)<0 的解集为 4.直线 的倾斜角的大小为 . . . . .

. .

5.在等比数列{an}中,已知 a1=2,q=2,an=16,则项数 n= 6.两条平行直线 3x﹣4y+12=0 与 3x﹣4y+2=0 之间的距离 d= 7.在△ ABC 中,A=30°,C=45°,c= ,则边 a=

8. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 直线 AD1 与平面 ABCD 所成的角的大小为 9.在△ ABC 中,已知 a=1,b=2,C=60°,则 c= 10.过点 A(2,3) ,且与直线 x﹣y﹣1=0 垂直的直线方程是 11.在等差数列{an}中,a3+a9=4,则前 11 项的和 S11= 12.以点 X(3,1)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是 . . . .

13. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n 个图案中有白色

地面砖



14.已知两条不同直线 m、l,两个不同平面 α、β,给出下列命题: ①若 l 垂直于 α 内的两条相交直线,则 l⊥α; ②若 l∥α,则 l 平行于 α 内的所有直线; ③若 m?α,l?β 且 l⊥m,则 α⊥β; ④若 l?β,l⊥α,则 α⊥β; ⑤若 m?α,l?β 且 α∥β,则 m∥l. 其中正确命题的序号是 . (把你认为正确命题的序号都填上)

1

二、解答题(本大题共 6 小题,每小题 15 分,共 90 分,请将答案写在答卷纸相应区域, 解答时应写出文字说明、证明或演算步骤) 15.已知直线 l 经过点 P(2,1) ,且斜率为 2, (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 m 与直线 l 平行,且在 y 轴上的截距为 3,求直线 m 的方程. 16.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D、D1B 的中点. 求证: (1)EF∥平面 ABCD; (2)AC⊥平面 D1DBB1.

17.已知正四棱锥 S﹣ABCD 中,高 SO 是 4 米,底面的边长是 6 米. (1)求正四棱锥 S﹣ABCD 的体积; (2)求正四棱锥 S﹣ABCD 的表面积.

18.已知△ OAB 顶点的坐标为 O(0,0) ,A(1,3) ,B(4,2) . (1)求点 A 到直线 OB 的距离 d 及△ OAB 的面积 S△ OAB; (2)求△ OAB 外接圆的方程. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,菱形 ABCD 的对角线交于点 O,E、F 分别是 PC、DC 的中点.平面 PAD⊥平面 ABCD,PD⊥AD. 求证: (1)平面 EFO∥平面 PDA; (2)PD⊥平面 ABCD. (3)平面 PAC⊥平面 PDB.

2

20.如图,互相垂直的两条公路 AM、AN 旁有一矩形花园 ABCD,现欲将其扩建成一个更 大的三角形花园 APQ,要求 P 在射线 AM 上,Q 在射线 AN 上,且 PQ 过点 C,其中 AB=30 米,AD=20 米.记三角形花园 APQ 的面积为 S. (1)设 DQ=x 米,将 S 表示成 x 的函数. (2)当 DQ 的长度是多少时,S 最小?并求 S 的最小值. (3)要使 S 不小于 1600 平方米,则 DQ 的长应在什么范围内?

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2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案写在答卷纸相应区域) 1.在等差数列{an}中,已知 a1=1,d=2,则第 3 项 a3= 5 . 考点:等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:直接由已知写出等差数列的通项公式,取 n=3 得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中,由 a1=1,d=2, 得 an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1, ∴第 3 项 a3=2×3﹣1=5. 故答案为:5. 点评:本题考查了等差数列的通项公式,是基础的计算题,属会考题型. 2.过两点(1,0) , (0,2)的直线方程是 2x+y﹣2=0 . 考点:直线的两点式方程. 专题:计算题. 分析:由斜率公式可得斜率,由点斜式可得方程,化为一般式即可. 解答: 解:由题意可得直线的斜率 k= =﹣2,

故直线的方程为:y﹣2=﹣2(x﹣0) 整理可得 2x+y﹣2=0 故答案为:2x+y﹣2=0 点评:本题考查直线方程的求解,结果化为一般式方程,属基础题. 3.一元二次不等式(x﹣2) (x﹣3)<0 的解集为 {x|2<x<3} . 考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:根据一元二次不等式与对应方程解的关系,写出不等式的解集即可. 解答: 解:一元二次不等式(x﹣2) (x﹣3)<0, 对应的方程为(x﹣2) (x﹣3)=0, 解方程,得 x=2,或 x=3, 所以,不等式(x﹣2) (x﹣3)<0 的解集为 {x|2<x<3}. 故答案为:{x|2<x<3}. 点评:本题考查了求一元二次不等式的解集的应用问题,是基础题目. 4.直线 的倾斜角的大小为 60° .

4

考点:直线的倾斜角. 专题:计算题. 分析:由于直线 由此求得 α 的值. 的斜率等于 ,设倾斜角等于 α,则 0°≤α<180°,且 tanα= ,

解答: 解:∵直线 的斜率等于 , 设倾斜角等于 α,则 0°≤α<180°,且 tanα= , ∴α=60°, 故答案为 60°. 点评:本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系, 以及倾斜角的取值范围, 已知三角函数值 求角的大小,属于基础题. 5.在等比数列{an}中,已知 a1=2,q=2,an=16,则项数 n= 4 . 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等比数列的通项公式求解. 解答: 解:在等比数列{an}中, ∵a1=2,q=2,an=16, n ∴2 =16, 解得 n=4. 故答案为:4. 点评:本题考查等比数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列 的性质的合理运用. 6.两条平行直线 3x﹣4y+12=0 与 3x﹣4y+2=0 之间的距离 d= 2 . 考点:两条平行直线间的距离. 专题:直线与圆. 分析:由条件直接利用两平行线间的距离公式求得两条平行直线 3x﹣4y+12=0 与 3x﹣ 4y+2=0 之间的距离. 解答: 解:两条平行直线 3x﹣4y+12=0 与 3x﹣4y+2=0 之间的距离 d= 故答案为:2. 点评:本题主要考查两平行线间的距离公式的应用,属于基础题. 7.在△ ABC 中,A=30°,C=45°,c= ,则边 a= 1 . =2,

考点:正弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析:由已知利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可求值. 解答: 解:由正弦定理可得:a= =1.

故答案为:1. 点评:本题主要考查了正弦定理,特殊角的三角函数值的应用,属于基础题.

5

8.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 AD1 与平面 ABCD 所成的角的大小为

45° .

考点:直线与平面所成的角. 专题:计算题. 分析:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,证明 D1D⊥平面 ABCD,则∠D1AD=α,就是直线 AD1 平面 ABCD 所成角,解直角三角形 D1AD 即可. 解答: 解:∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ∴D1D⊥平面 ABCD, ∴直线 AD 是直线 AD1 在平面 ABCD 内的射影, ∴∠D1AD=α,就是直线 AD1 平面 ABCD 所成角, 在直角三角形 AD1AD 中, AD1=D1D, ∴∠AD1AD=45° 故答案为:45°

点评:考查直线和平面所成的角,求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影, 把空间角转化为平面角求解,属基础题 9.在△ ABC 中,已知 a=1,b=2,C=60°,则 c= .

考点:余弦定理. 专题:计算题. 分析:由 C 的度数求出 cosC 的值,再由 a 与 b 的值,利用余弦定理列出关于 c 的方程,求 出方程的解即可求出 c 的值. 解答: 解:由 a=1,b=2,C=60°, 根据余弦定理得: 2 2 2 c =a +b ﹣2ab?cosC=1+4﹣2=3, 则 c= . 故答案为: 点评:此题考查了余弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 10.过点 A(2,3) ,且与直线 x﹣y﹣1=0 垂直的直线方程是 x+y﹣5=0 . 考点:直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题:直线与圆. 分析:设与直线 x﹣y﹣1=0 垂直的直线方程为 x+y+c=0,把点 P(1,2)代入能求出直线方 程.

6

解答: 解:设与直线 x﹣y﹣1=0 垂直的直线方程为 x+y+c=0, 把点 A(2,3)代入 x+y+c=0, 得:c=﹣5. ∴过点 A(2,3) ,且与直线 x﹣y﹣1=0 垂直的直线方程是 x+y﹣5=0. 故答案为:x+y﹣5=0. 点评:本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要注意直线间位置关系的合理运用. 11.在等差数列{an}中,a3+a9=4,则前 11 项的和 S11= 考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的性质可得:a1+a11=a3+a9=4,代入等差数列的求和公式可得答案. 解答: 解:由等差数列的性质可得:a1+a11=a3+a9=4 由等差数列的求和公式可得:S11= 22 .

=

=

=22

故答案为 22 点评:本题为等差数列的性质及求和公式的应用, 熟练记住性质是解决问题的关键, 属基础 题. 12.以点 X(3,1)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是 (x﹣3) +(y﹣1) =1 . 考点:圆的标准方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析:由圆与 x 轴相切可求 2=r,根据圆的标准方程可求. 解答: 解:∵圆与 x 轴相切 ∴圆心 X(3,1)到 x 轴的距离 d=1=r ∴圆的方程为(x﹣3) +(y﹣1) =1. 2 2 故答案为: (x﹣3) +(y﹣1) =1. 点评:本题主要考查了圆的标准方程的求解,属于基础试题. 13. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n 个图案中有白色
2 2 2 2

地面砖 4n+2 块 考点:归纳推理. 专题:探究型. 分析:通过已知的几个图案找出规律,可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可.

7

解答: 解:第 1 个图案中有白色地面砖 6 块;第 2 个图案中有白色地面砖 10 块;第 3 个 图案中有白色地面砖 14 块;… 设第 n 个图案中有白色地面砖 n 块, 用数列{an}表示, 则 a1=6, a2=10, a3=14, 可知 a2﹣a1=a3 ﹣a2=4,… 可知数列{an}是以 6 为首项,4 为公差的等差数列,∴an=6+4(n﹣1)=4n+2. 故答案为 4n+2. 点评:由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键. 14.已知两条不同直线 m、l,两个不同平面 α、β,给出下列命题: ①若 l 垂直于 α 内的两条相交直线,则 l⊥α; ②若 l∥α,则 l 平行于 α 内的所有直线; ③若 m?α,l?β 且 l⊥m,则 α⊥β; ④若 l?β,l⊥α,则 α⊥β; ⑤若 m?α,l?β 且 α∥β,则 m∥l. 其中正确命题的序号是 ①④ . (把你认为正确命题的序号都填上) 考点:空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析: 对于①,由直线与平面垂直的判定定理能够判断真假; 对于②,由直线平行于平面的性质知 l 与 α 内的直线平行或异面; 对于③,由平面与平面垂直的判定定理知 α 与 β 不一定垂直; 对于④,由平面与平面垂直的判定定理能够判断真假; 对于⑤,由平面与平面平行的性质知 m∥l 或 m 与 l 异面. 解答: 解:①l 垂直于 α 内的两条相交直线,由直线与平面垂直的判定定理知 l⊥α,故 ①正确; ②若 l∥α,则 l 与 α 内的直线平行或异面,故②不正确; ③若 m?α,l?β 且 l⊥m,则 α 与 β 不一定垂直.故③不正确; ④若 l?β,l⊥α,则由平面与平面垂直的判定定理知 α⊥β,故④正确; ⑤若 m?α,l?β 且 α∥β,则 m∥l 或 m 与 l 异面,故⑤不正确. 故答案为:①④. 点评:本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断,是基础题.解 题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 二、解答题(本大题共 6 小题,每小题 15 分,共 90 分,请将答案写在答卷纸相应区域, 解答时应写出文字说明、证明或演算步骤) 15.已知直线 l 经过点 P(2,1) ,且斜率为 2, (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 m 与直线 l 平行,且在 y 轴上的截距为 3,求直线 m 的方程. 考点:直线的点斜式方程;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题:直线与圆. 分析: (1)由点斜式写出直线 l 的方程为 y﹣1=2(x﹣2)化为一般式即可. (2)由直线 m 与直线 l 平行,所以直线 m 斜率为 2,又因为直线 m 在 y 轴上的截距为 3, 即可得到直线方程.

8

解答: 解: (1)直线 l 的方程为:y﹣1=2(x﹣2)即 y=2x﹣3, (2)因为直线 m 与直线 l 平行,所以直线 m 斜率为 2. 又因为直线 m 在 y 轴上的截距为 3 所以直线 m 方程为:y=2x+3. 点评:本题考查用点斜式求直线方程,直线与直线平行的条件,属于基础题. 16.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D、D1B 的中点. 求证: (1)EF∥平面 ABCD; (2)AC⊥平面 D1DBB1.

考点:直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由 E、F 分别是 D1D、D1B 的中点,可证 EF∥DB,即可判定 EF∥面 ABCD. (2)易证 AC⊥DD1,AC⊥DB,即可证明 AC⊥平面 D1DBB1. 解答: (本小题满分 15 分) (1)证明:∵E、F 分别是 D1D、D1B 的中点, ∴EF∥DB, 又 EF?面 ABCD,DB?面 ABCD, ∴EF∥面 ABCD. (2)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,DD1⊥面 ABCD, ∵AC?面 ABCD, ∴AC⊥DD1. ∵正方形 ABCD,∴AC⊥DB, 又 DD1∩DB=D, DD1,DB?平面 D1DBB1, ∴AC⊥平面 D1DBB1.

点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定, 直线与平面平行的判定, 考查了空间想象能 力和推理论证能力,属于中档题.

9

17.已知正四棱锥 S﹣ABCD 中,高 SO 是 4 米,底面的边长是 6 米. (1)求正四棱锥 S﹣ABCD 的体积; (2)求正四棱锥 S﹣ABCD 的表面积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)直接利用锥体的体积公式即可求得; (2)S 表=S 侧+S:过点 S 作 SE⊥BC 于点 E,连接 OE,则 SE 是斜高,用勾股定理求出斜 高,进而求出侧面积,再算出底面积即可. 解答: (1)解:
3



所以正四棱锥 S﹣ABCD 的体积为 48 米 ; (2)过点 S 作 SE⊥BC 于点 E,连接 OE,则 SE 是斜高, 在直角三角形 SOE 中,SE= S 侧= Ch= ×(6×4)×5=60 米 , S 表=S 侧+S 底=60+36=96 米 . 2 所以正四棱锥 S﹣ABCD 的表面积为 96 米 . 点评:本题考查锥体的体积、表面积计算,考查学生的运算能力,属基础题. 18.已知△ OAB 顶点的坐标为 O(0,0) ,A(1,3) ,B(4,2) . (1)求点 A 到直线 OB 的距离 d 及△ OAB 的面积 S△ OAB; (2)求△ OAB 外接圆的方程. 考点:圆的一般方程. 专题:直线与圆. 分析: (1)求出直线 OB 的方程,利用点到直线的距离公式求出距离,结合三角形的面 积公式进行求解即可. (2)设出圆的一般方程,利用待定系数法求解 D,E,F 即可. 解答: 解: (1)∵B(4,2) , ∴直线 OB 方程为:x﹣2y=0, 点 A(1,3)到直线 OB 的距离 d= 又∵|0B|=2 , = ,
2 2

=5,

10

∴S△ OAB=


2 2

(2)设△ OAB 外接圆的方程为:x +y +Dx+Ey+F=0, 把三点 O(0,0) ,A(1,3) ,B(4,2)分别代入, 得: ,

解得 D=﹣4,E=﹣2,F=0 2 2 求的△ 0AB 外接圆的方程为 x +y ﹣4x﹣2y=0. 点评:本题主要考查三角形的面积的计算以及三角形外接圆的求解, 利用待定系数法是解决 本题的关键. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,菱形 ABCD 的对角线交于点 O,E、F 分别是 PC、DC 的中点.平面 PAD⊥平面 ABCD,PD⊥AD. 求证: (1)平面 EFO∥平面 PDA; (2)PD⊥平面 ABCD. (3)平面 PAC⊥平面 PDB.

考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)根据菱形的性质可得 O 是 AC 的中点,结合 E、F 分别是 PC、DC 的中点和 三角形的中位线定理及线面平行的判定定理,可得 EF∥面 PAD,同理:FO∥面 PAD,再由 面面平行的判定定理得到答案. (2) 由平面 PAD⊥平面 ABCD, PD⊥AD, 结合面面垂直的性质定理可得 PD⊥平面 ABCD. (3)要证明平面 PAC⊥平面 PDB,只要证明 AC⊥平面 PBD,而根据已知条件可以求出. 解答: 证明: (1)∵ABCD 是菱形, ∴O 是 AC 的中点 ∵E、F 分别是 PC、DC 的中点, ∴EF∥PD, 又 EF?平面面 PAD,PD?面 PAD, ∴EF∥面 PAD, 同理:FO∥面 PAD, 而 EF∩FO=O,EF、FO?面 EFO, ∴平面 EFO∥平面 PDA; (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,PD⊥AD,
11

平面平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PD?平面 PAD, ∴PD⊥平面 ABCD; (3)∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴PD⊥AC, ∵ABCD 是菱形, ∴BD⊥AC, 又∵PD∩BD=D,PD,BD?平面 PBD, ∴AC⊥平面 PBD, 又 AC?平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 PDB.

点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定定理, 平面与平面垂直的性质定理, 直线 与平面平行的判定定理,平面与平面平行的判定定理,是空间线面关系判定的综合应用,难 度中档. 20.如图,互相垂直的两条公路 AM、AN 旁有一矩形花园 ABCD,现欲将其扩建成一个更 大的三角形花园 APQ,要求 P 在射线 AM 上,Q 在射线 AN 上,且 PQ 过点 C,其中 AB=30 米,AD=20 米.记三角形花园 APQ 的面积为 S. (1)设 DQ=x 米,将 S 表示成 x 的函数. (2)当 DQ 的长度是多少时,S 最小?并求 S 的最小值. (3)要使 S 不小于 1600 平方米,则 DQ 的长应在什么范围内?

考点:基本不等式在最值问题中的应用. 专题:应用题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由于 DC∥AB 得出△ QDC∽△QAP,从而 AQ,AP 用 DQ 表示,利用三角 形的面积公式表示出面积; (2)再利用基本不等式求最值,注意等号何时取得; 2 (3)由 S 不超过 1600m ,建立不等式,从而可求 DQ 长的取值范围. 解答: 解: (1)DQ=x,可得 AQ=x+20,
12

由三角形的相似可得 即 AP= 则 S= AP?AQ= ? =15(x+ +40) ; ,

=



?(x+20)

(2)S=15(x+ 当且仅当 x=

+40)≥15(2 ,即 x=20,等号成立.
2

+40)=1200,

此时 x=20 米,S 有最小,且为 1200 米 ; (3)由 S≥1600,即 3x2﹣200x+1200≥0, 解得 x≥60 或 x≤ , 或 x≥60, ]∪[60,+∞) .

由 x>0,可得 0<x≤

即有 DQ 的范围是(0,

点评:本题考查将实际问题转化成数学问题的能力, 考查解不等式, 考查利用基本不等式求 最值,属于中档题.

13



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