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江西省吉安市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试理数试题



一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1. 命题“ ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0 )

B. ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ?

0 D. ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0 )

2. 平行线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 6 x ? my ? 2 ? 0 的距离是( A.

8 5

B.2

C.

11 5
a

D.

7 5
b

3. 已知实数 a,b,则“ 2 ? 2 ”是“ log2 a ? log 2 b ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件



D.既不充分也不必要 )

4.设 m,n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,下列命题 中为真命题的 是( A.若 m / /? , n / /? , 则 m / / n C.若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? B.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m / / ? D.若 m / /? , ? ? ? ,则 m ? ?

5.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,若 E 是 AD 的中点,则异面直线 A 1B 与 C1 E 所成角的大小 是( A. ) B.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

6. 设 F1 , F2 是椭圆
0

3a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点,P 为直线 x ? 上一点, ?F2 PF1 是 2 2 a b


底脚为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5


7. 在空间直角坐标系中,点 M 的坐标是 (4, 7, 6) ,则点 M 关于 y 轴的对称点坐标为 ( A. (4, 0, 6) B. (?4, 7, ?6) C. (?4, 0, ?6) D. (?4, 7, 0)

8. 如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面图形的面 积为( A. ) B. a
2

2 2 a 4

C. 2 2a

2

D. 2 a

2

9. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则此几何体的 体积为( A.6 B.9 ) C.12 D.18

2 2 10. 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 与 2tx ? y ? 2 ? 2t ? 0 (t ? R) 的位置关系为(



A.相离 B.相切 C.相交 11.若双曲线 离心率等于 ( A. 2 ) B.2
2

D.以上都有可能

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的渐近线和圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 8 ? 0 相切,则该双曲线的 2 a b

C.3

D. 3

12.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l ,A,B 是抛物线上的两个动点,且满足

?AFB ?

2? | MN | ,设线段 AB 的中点 M 在 l 上 的投影为 N,则 的最大值是( 3 | AB |
B.



A. 3

3 2

C.

3 3

D.

3 4

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13. 若圆锥的侧面积为 2? ,底面面积为 ? ,则该圆锥的体积为 14.已知双曲线 C :

.

x2 y 2 ? ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,P 是 C 的右支上一点,且 9 16
.

| PF2 |?| F1F2 | ,则 ?PF1F2 的面积是

15. 已知光线通过点 M (?3, 4) ,被直线 l : x ? y ? 3 ? 0 反射,反射光线通过点 N (2, 6) ,则反 射光线所在直线的方程是 .

16.设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 记 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上, 为钝角时, ? 的取值范围是 .

D1 P 当 ?APC ??, D1 B

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 已知 圆 C 经过点 A(2, ?1) ,和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x ,求圆 C 的方程. 18. (本小题满分 12 分) 已知 P : x ? 8x ? 20 ? 0 ; q :1 ? m2 ? x ? 1 ? m2 .
2

(1)若 p 是 q 的必要条件,求 m 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且

PA ? PD ? DA ? 2 ,

?BAD ? 600 .
(1)求证: PB ? AD ; (2)若 PB ?

6 ,求点 C 到平面 PBD 的距离.

2 20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 焦点为 F,抛物线上横坐标为

1 的点 2

到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等. (1)求抛物线的方程; (2)设过点 P(6, 0) 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆过点 F,求直线 l 的 方程.

21. (本小题满分 12 分)如图,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 ABC D 是矩形,且

AD ? 2CD ? 2 , AA1 ? 2 , ?A1 AD ?
(1)求证: AO ? 平面 ABCD; 1

?
3

,若 O 为 AD 的中点,且 CD ? AO 1 .

(2)线段 BC 上是否存在一点 P,使得二面角 D ? A1 A ? P 为 存在,说明理由.

? ?若存在,求出 BP 的长;不 6

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的方程是 轴长为 8. (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 7 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,长 2 a b 4

(2)若不垂直于坐标轴的直线 l 经过点 P(m,0) ,与椭圆 C 交于 A,B 两点,设点 Q 的坐标为

( n, 0) ,直线 AQ,BQ 的斜率之和为 0,求 mn 的值.

参考答案 CBBCD 13. CBCBC CC

3 ? 3

14.48

15. 6 x ? y ? 6 ? 0

16. ( ,1)

1 3

17. 解:由题意求得圆心和半径即可, 设圆心的坐标为 C (a, ?2a) ,则得 (a ? 2) ? (?2a ? 1) ?
2 2

| a ? 2a ? 1| , 2

∴ a ? 1 , r ?| AC |?

(1 ? 2) 2 ? (?2 ? 1) 2 ? 2 ,

∴圆 C 的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 . 18.
2 2 2 解:由 x ? 8 x ? 20 ? 0 得 ?2 ? x ? 10 ,即 P : ?2 ? x ? 10 ,又 q :1 ? m ? x ? 1 ? m .

(1)若 p 是 q 的必要条件, 则?
2 2 ? ? ?1 ? m ? ?2 ?m ? 3 2 ,即 ,即 m ? 3 ,解得 ? 3 ? m ? 3 , ? 2 2 ? ? ?1 ? m ? 10 ?m ? 9

即 m 的取值范围是 [? 3, 3] . (2)∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件.
2 ? ?1 ? m ? ?2 2 即? ,即 m ? 9 ,解得 m ? 3 或 m ? ?3 . 2 ? ?1 ? m ? 10

即 m 的取值范围是 (??, ?3] ? [3, ??) . 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断 19. 【解析】

【试题分析】 : (1)首先作出辅助线即取 AD 的中点 E,连接 PE,BE,BD,然后由已知条件易 得 ?PAD 和 ?ABD 为两个全等的等边三角形,于是有 PE ? AD, BE ? AD ,进而由线面垂 直的判定定理可知所证结论成立; (2)首先根据已知边长的关系可 得出 PE ? BE ,进而得 出

PE ? 平面 ABCD,分别在等腰 ?PBD 和 ?PBD 中计算其各自的面积,然后运用等体积法即可
得出所求点 C 到平面 PBD 的距离即可. 试题解析: (1)证明:取 AD 的中点 E ,连接 PE,BE,BD.
0 ∵ PA ? PD ? DA ,四边形 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 ,

∴ ?PAD 和 ?ABD 为两个全等的等边三角形,则 PE ? AD, BE ? AD , ∴ AD ? 平面 PBE,又 PB ? 平面 PBE,∴ PB ? AD . (2)在 ?PBE 中,由已知得, PE ? BE ? 3 , PB ?

6 ,则 PB 2 ? PE 2 ? BE 2 ,所以

?PEB ? 900 ,即 PE ? BE ,又 PE ? AD ,∴ PE ? 平面 ABCD;在等腰 ?PBD 中,

1 10 ;又 ?BCD 面积为 3 ,设点 C PD ? BD ? 2, PB ? 6 ,所以 ?PBD 面积为 ? 6 ? 2 2
到平面 PBD 的距离为 h,由等体积即 VC ? PBD ? VP? BCD 得: ? ? 6 ?

1 1 3 2

10 1 h ? ? 3? 3 , 2 3

所以 h ?

2 15 2 15 ,所以点 C 到平面 PBD 的距离为 . 5 5

考点:1、直线平面垂直的判定定理;2、点到平面的距离的求法. 20. 【解析】 试题解析: (1)抛物线上横坐标为

1 1 2 的点纵坐标 y0 ? p ,到原点的距离 p ? , 2 4



p?

1 1 p ? ? , 4 2 2
6分

2 解得 p ? 2 ,抛物线的方程为: y ? 4 x .

(2)由题意可知,直线 l 不垂直于 y 轴, 可设直线 l : x ? my ? 6 ,

则由 ?

? y2 ? 4x ? x ? my ? 6

,可得: y 2 ? 4my ? 24 ? 0 ,

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ?

? y1 ? y2 ? 4m , ? y1 y2 ? ?24
??? ? ??? ?

因为以 AB 为直径的圆过点 F,所以 FA ? FB ,即 FA ? FB ? 0 , 可得: ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? 0 , ∴ ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? (1 ? m2 ) y1 y2 ? 5m( y1 ? y2 ) ? 25

? ?24(1 ? m2 ) ? 20m2 ? 25 ? 0 ,
1 , 2 1 ∴直线 l : x ? ? y ? 6 ,即 l : 2 x ? y ? 12 ? 0 . 2
解得: m ? ?

12 分

考点:1、抛物线的标准方程;2、直线与抛物线的综合问题. 21. 【解析】 (1)证明: ∵ ?A1 AD ? ∴ AO ? 1

?
3

AO ? 1 , ,且 AA 1 ?2,

22 ? 12 ? 2 ? 2 ?1? cos

?
3

? 3,

2 ∴ AO ? AD2 ? AA12 , 1

∴ AO ? AD , 1 又 CD ? AO 1 ,且 CD ? AD ? D , ∴ AO ? 平面 ABCD. 1 (2)解:过 O 作 Ox / / AB ,以 O 为原点, 建立空间直角坐标系 O ? xyz (如图)

则 A(0, ?1, 0) , A 1 (0,0, 3) , 设 P(1, m,0) (m ? [?1,1]) ,平面 A 1 AP 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , ∵ AA 1 ? (0,1, 3) , AP ? (1, m ? 1,0) ,

??

????

??? ?

?? ???? ? n ? 1 ? AA1 ? y ? 3z ? 0 且 ? ?? ??? , ? n ? AP ? x ? ( m ? 1) y ? 0 ? ? 1 ?? 取 z ? 1 ,得 n1 ? ( 3(m ? 1), ? 3,1) .
又 AO ? 平面 ABCD,且 AO ? 平面 A1 ADD1 , 1 1

? 平面 ABCD. ∴平面 A 1 ADD 1 ? AD , 又 CD ? AD ,且平面 A 1 ADD 1 ? 平面 ABCD
∴ CD ? 平面 A 1 ADD 1, 不妨设平面 A 1 ADD 1 的法向量为 n2 ? (1,0,0) . 由题意得 | cos ? n1 , n2 ?|?

?? ?

?? ?? ?

3 3(m ? 1) ?| |, 2 3(m ? 1) 2 ? 3 ? 1 ? 1

解得 m ? 1 或 m ? ?3 (舍去) , ∴当 BP 的长为 2 时,二 面角 D ? A1 A ? P 的值为

? . 6

考点:1、直线与平面垂直的判定;2、立体几何的探究性问题.

(2)设直线 l 方程为 y ? k ( x ? m)(k ? 0) ,且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AQ、BQ 的斜率分别 为 k1 , k2 ,将 y ? k ( x ? m) 代入

x2 y 2 ? ? 1 得: (9 ? 16k 2 ) x2 ? 32k 2mx ?16k 2m2 ?144 ? 0 , 16 9

得: x1 ? x2 ?

32k 2 m 16k 2 m2 ? 144 y1 y x x ? , . 由 k1 ? k2 ? 0 得, ? 2 ? 0 ,将 1 2 2 2 9 ? 16k 9 ? 16k x1 ? n x2 ? n

y1 ? k ( x1 ? m) , y2 ? k ( x2 ? m) 代入,整理得:

2 x1 x2 ? (m ? n)( x1 ? x2 ) ? 2mn ? 0. 即 x1 x2 ? n( x1 ? x2 ) ? n 2
32k 2 m 16k 2 m2 ? 144 x x ? , ,代入, 1 2 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2

2x1x2 ? (m ? n)( x1 ? x2 ) ? 2mn ? 0 ,将 x1 ? x2 ?
整理可解 得 mn ? 16 .

考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的相交综合问题.



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