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一道高考题的精彩解法探究历程


2 0 1 5 年第 2 期  数 学教 学  2 一 i 9   一 道高考题 的精彩解法探 究历程  8 3 0 0 0 2   新疆生产建 设兵 团第二 中学   张国治   i 0 0 0 0 0 清华大学汽车工程 系4 2 班 谷子青  题目 f 2 0 1 4年 高考 新课 标卷 I I 理科第 1 7   3 一 1+  +  一 1 + … + … + + — — 3 n — 这样 样只 只需 需让 证 明  明  1,   - , :   题) 已知数列{ 0 n ] . 满足 a l =1 , a n + 1 =3 a  +1 .   ( I ) 证明 { 0 n + 专 } 是 等比 数列 , 并 求 { n 佗 )   的通项公式;   +  + ( I I ) 证明   al 02   1 1 … +  n佗   ≤  i 二T 即 3 n一 1≥ 2× 3   , ,而 上 式  3 <  .   显然成立, 这样思考 完全合乎逻辑, 近乎完美.   1   9   是 分 式 结  分析2 :若 注 意 到  == =  an 分析 1 : 第( I ) 小题直接利用等 比数列 的定  构, 联想 到 数列 求和 中的“ 裂项 相消” 法, 便 有  如 下 别 具 一 格 的解 法 .   义 获 解, 在 求_ [ n   ) 的通 项 公式 时应 注 意首 项,   第( I I ) 小题证 明采用放 缩法 , 但 要注 意放缩 的  方 向且需要适 当的放缩.   解法 1 :高考 标 准 解 答 .   解法 2 : ( I ) 略? 由( I ) 知  a n  一 , 所 以  1   2   2×( 3 n +   一1 )   a   3 n一1   ( 3 礼一1 ) ( 3 n +  一1 )   = == 一 = == 一   ( I )由a n + 1= 3 a n +1 得n 礼 + 1 +去 =   <   = 可  3 ( o n  ) . 又 。   +   = 兰 , 所 以 { n   +   ) 是 首 此. [ n   ] . 的通项公式为 0  =   ( I I )由 ( I ) 知  .   , 因为 当 n≥ 1   项 为 罢 , 公 比 为 3 的 等 比 数 列 . 0 n + 吉 =   3 n   , 凼   (   - 1 一   ) ,   即   < 3 (   一   ) . 于 是   3 — l   1   + — —+ … — 1   + ——  an  al   a2   时 , 3  1 ≥ 2   x   3 一   , 所 以 南 ≤   于 是  + 一 1+ … ?   … < 3 (   一   +   一   + 一 。 +   3   3 1   1   = 一   1 + 一 ≤ 1+  1+ +  一  再 丁 二  / )   嘉= 兰 ( 1 一   1 ) < 罢 , 所 以   a l +   1 + … +   1   3   _  3   == :  一   3   <互 ’   点评:第 ( I I ) 小题 的关键在 于恰 当地放 缩  为3 n 一1 ≥2 ×3 一  , 但技 巧性较 强, 学生恐怕  一 3   <  ,   所 以  al +  时难 以想到.事实上, 笔者在 高考 阅卷 时很  0

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