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福建省厦门市湖滨中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题



厦门湖滨中学 2015---2016 学年第二学期期中考 高一数学试卷
A卷 一、选择题: (共 10 个小题,每题 5 分,共 50 分.每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的标号填涂在答题卡上.) 1. 直线 x+y+1=0 的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是( ) A. 135°,1 B. 45°,﹣1 C. 45°,1 D. 135°,﹣1 2. 如图

, 矩形 OABC′是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中 OA′=6, OC′=2, 则原图形 OABC 的面积为( A.24 2 ) B.12 2 C.48 2 D.20 2

3. 直线 3x+y+1=0 和直线 6x+2y+1=0 的位置关系是( ) A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 4..点(2,1)到直线 3x﹣4y+2=0 的距离是( ) A. B.
2

C.
2

D. )

5. 直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切,则 a 的值为( A.3
2 2

B.2 2

C.3 或-5 )

D.-3 或 5

6. 圆 x +y -4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3)
2 2

B.(-2,3)

C.(-2,-3)

D.(2,-3) )

7. 圆 x +y -2x+4y+3=0 的圆心到直线 x-y=1 的距离为( A.2 B. 2 2 C.1 D. 2

8. 以点(2,-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0 相切的圆的方程为( A.(x-2) +(y+1) =3 C.(x-2) +(y+1) =9
2 2 2 2

)

B.(x+2) +(y-1) =3 D.(x+2) +(y-1) =9 )
2 2

2

2

9. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( A.8 cm
3

B.12 cm

3

32 3 C. cm 3

40 3 D. cm 3

10. 已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的圆心到原 点的距离为( 5 A.. 3 ) B. 21 3 C. 2 5 3 4 D. 3

二、填空题: (共 4 个小题,每题 4 分,共 16 分.) 11. 已知直线 l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:x-2y=0.若 l1⊥l2,则实数 a 的值为________.

1

12. 若过两点 A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为 12,则 m=________. 13. 设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a? 平面 α ,b? 平面 β ,则 a,b 一定是异面直线. 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). 14. 直线 l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线 l 恒过定点________. 三、解答题: (本大题共 3 小题,共 34 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ,将解答过 程写在答题纸上.) 1 15.(10 分)求过点 A(1,3),斜率是直线 y=-4x 的斜率的3的直线方程.

16.( 10 分) 如图,几何体 EF?ABCD 中,CDEF 为边长为 2 的正方形,ABCD 为直角梯形,AB∥CD, AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.求证:AC⊥FB;

17.(14 分)如图所示,在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB⊥BC,D 为 AC 的中点,AA1 =AB=2. (1)求证:AB1∥平面 BC1D; (2)设 BC=3,求四棱锥 B ?DAA1C1 的体积.

2

B卷 四、填空题:共 4 个小题,每题 4 分,共 16 分. 18. 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1,1)和 Q(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交 点,则实数 m 的取值范围是________. 19. 若点(1,1)在圆(x-a) +(y+a) =4 的内部,则实数 a 的取值范围是________. 20. 已知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x +y +4y-21=0 所截得的弦长为 4 5,则 直线 l 的方程为________. 21. 在正四棱锥 V?ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,侧棱长为 2,则异面直 线 VA 与 BD 所成角的大小为________. 五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤 ,将解答过程写在答题纸上. 22.(10 分)已知光线从点 A(-4,-2)射出,到直线 y=x 上的 B 点 后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程.
2 2 2 2

23. (12 分)已知圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程.

2

2

24.(12 分) 如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中点. (1)求证:直线 BD1∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥平面 BDD1B1; (3)求 CP 与平面 BDD1B1 所成的角大小.

3

参考答案 A卷 一、选择题: DABAC DDCCB 二、填空题: 11. 答案:2 12. 答案:-2 13. 答案:① 14. (2,-2)

三、解答题: 1 4 15.(10 分) 解:(1)设所求直线的斜率为 k,依题意 k=-4× =- . (3 分) 3 3 又直线经过点 A(1,3), 4 因此所求直线方程为 y-3=- (x-1) , 3 即 4x+3y-13=0. (5 分) (9 分) (10 分)

16. (10 分) 解:(1)证明:由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF, 且 DC∩DF=D, ∴AD⊥平面 CDEF, (2 分) ∴AD⊥FC. ∵四边形 CDEF 为正方形,∴DC⊥FC, ∵DC∩AD=D,∴FC⊥平面 ABCD,∴FC⊥AC. 又∵四边形 ABCD 为直角梯形, AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4, ∴AC=2 2,BC=2 2, 则有 AC +BC =AB , ∴AC⊥BC, 又 BC∩FC=C,∴AC⊥平面 FCB,∴AC⊥FB. (9 分) (10 分)
2 2 2

(5 分)

(7 分)

17. (14 分)解:(1)证明:连接 B1C,设 B1C 与 BC1 相交于点 O,连接 OD,如图所示. ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵D 为 AC 的中点,∴OD 为△AB1C 的中位线, ∴OD∥AB1.∵OD? 平面 BC1D,AB1?平面 BC1D, ∴AB1∥平面 BC1D. (2 分) (5 分) (7 分)

4

(2)∵AA1⊥平面 ABC,AA1? 平面 AA1C1C, ∴平面 ABC⊥平面 AA1C1C. ∵平面 ABC∩平面 AA1C1C=AC, 连接 A1B,作 BE⊥AC,垂足为 E, 则 BE⊥平面 AA1C1C. ∵AB=AA1=2,BC=3,AB⊥BC, ∴在 Rt△ABC 中,AC= AB +BC = 4+9= 13, AB·BC 6 ∴BE= = , AC 13 (12 分)
2 2

(10 分)

1 1 1 3 6 ∴四棱锥 B ?AA1C1D 的体积 V= × (A1C1+AD)·AA1·BE= × 13×2× =3.(14 分) 3 2 6 2 13

B卷 四、 填空题:

? 2 1? 18. 答案:?- , ? ? 3 2?
19. 答案:(-1,1) 20. 答案:x+2y+9=0 或 2x-y+3=0 π 21. 答案: 2 五、解答题:. 22(10 分)解:作出草图,如图所示, 设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′, D 关于 y 轴的对称点为 D′, 则 易得 A′(-2,-4),D′(1,6).(4 分) 由入射角等于反射角 可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C . 故 BC 所在的直线方程为 y-6 x-1 = , (8 分) -4-6 -2-1 即 10x-3y+8=0.(10 分) 23. (12 分) 解:将圆 C 的方程 x +y -8y+12=0 配方得标准方程为 x +(y-4) =4, ( 2 分) 则此圆的圆心为(0,4),半径为 2. |4+2a| (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 2 =2, a +1 (3 分) (5 分)
2 2 2 2

5

3 解得 a=- . 4 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

(6 分)

? ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2,
|4+2a| |CD|= , 2 a +1
2 2 2 2

(8 分)

解得 a=-7 或 a=-1.

(10 分)

故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. (12 分) 24.(12 分)解: (1)证明:设 AC 和 BD 交于点 O,连 PO,由 P,O 分别是 DD1,BD 的中点,故 PO∥BD1, (2 分)

∵PO? 平面 PAC,BD1?平面 PAC, (3 分) 所以,直线 BD1∥平面 PAC. (4 分) (2)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,底面 ABCD 是正方形, 则 AC⊥BD,又 DD1⊥面 ABCD, 则 DD1⊥AC. (6 分) ∵BD? 平面 BDD1B1,D1D? 平面 BDD1B1,BD∩D1D=D,∴AC⊥面 BDD1B1.∵AC? 平面 PAC,∴平面 PAC⊥平面 BDD1B1 .(8 分) (3) 由 (2) 已证: AC⊥面 BDD1B1, ∴CP 在平面 BDD1B1 内的射影为 OP, ∴∠CPO 是 CP 与平面 BDD1B1 所成的角. (10 分)

依题意得



,在 Rt△CPO 中,

,∴∠CPO=30°

∴ CP 与平面 BDD1B1 所成的角为 30°. (12 分)

6



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