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数学物理方法第一章解析函数1.3微商及解析函数


§1.3 微商及解析函数
一、微商及微分:
1、微商:

w ? f(z) 是 z 点及 N(z, ε) 的单值函数, Δf f ?z ? ?z ? ? f (z) 若 lim ? lim 存在有限, Δz ?0 Δz Δz ?0 Δz Δf 则记 f ?(z) ? lim ,称为f(z) 在z点的导数。 Δz ?0 Δz

一、微商及微分:
e.g f(z) ? z 2

1.3 微商及解析函数

2 2 ( z ? ? z ) ? z Δf ? lim (z 2 )? ? lim ?z ?0 Δz ?0 Δz ?z (2z ? ?z)?z n ? ? nz n?1 ? lim ? 2z ( z ) ?z ?0 ?z

注意:(1) ?z ? 0的方式必须是任意的 在实函数中: f ?( x) ? lim
x0

?f ?x ?0 ?x

一、微商及微分:
而在复变函数中:

1.3 微商及解析函数

?f f ?( z ) ? lim ?z ?0 ?z

z0

e.g f ( z ) ? Re z
?f Re( z ? ?z ) ? Re z ? lim lim ?z ?z ?0 ?z ?z ?0 Re ?z ?x ? lim ? lim ?z ?z ?0 ?z ?0 ?z

一、微商及微分:
?x ? ?0 ?lim ?x ? 0 ?x ? i ?y ? ?y ?0 ? ? ? ?? ? ? ?x ? ?1 ?lim ?x ?0 ?x ? i ?y ? ? ?y ?0

1.3 微商及解析函数

z z

?f lim ?z ?0 ?z

∴ f ( z) ? Re z, 在复平面处处不可导。

一、微商及微分:

1.3 微商及解析函数

注意:(2)可导必然连续,反之则未必;

如f ( z ) ? Re z ? x在“复平面” 中处处连续, 但却处处不可导。
(3)可导与连续不同,由实部与虚部在

某一点连续,可以断定复变函数连续,
但是由实部与虚部在某点可导,并不 能判断函数可导;

e.g f ( z ) ? Re z

一、微商及微分:
2. 微分 若 记

1.3 微商及解析函数

w ? f ( z)
dw ? f ?( z ) dz [or df ? f ?( z ) dz ]
-微分



dw df f ?( z ) ? (? ) dz dz

-微商

一、微商及微分:
3. 求导、微分法则:

1.3 微商及解析函数

实函中求导、微分法则在此皆实用。

[ f1 ( z) ? f 2 ( z)]? ? f1?( z) ? f 2?( z)
[ f1 ( z) ? f 2 ( z)]? ? f1?( z) ? f 2 ( z) ? f1 ( z) ? f 2?( z) ??

e.g

pn ( z ) ? a0 ? a1 z ? a2 z ? ? an z
2

n

?

? ( z ) ? a1 ? 2a2 z ? ? ? nan z pn

n ?1

一、微商及微分:
4. 可导的必要条件

1.3 微商及解析函数

? ?u ?v ? ? ? ?x ?y ? ?v ?u ? ?? ? ?y ? ?x

C-R条件

一、微商及微分:

1.3 微商及解析函数

注意: (1) C-R条件只是可导的必要条件,不是 充分条件 (2) C-R条件的极坐标形式为:

? ?u ? ?? ? ?v ? ? ??

?

1 ?v

? ??
? ? 1 ?u

? ??

一、微商及微分:
5.可导的充分条件:

1.3 微商及解析函数

?(1) u x ,u y ;v x ,v y 均连续 ? ? ? (2) u,v 满足C ? R条件 ?

一、微商及微分:

1.3 微商及解析函数

?v ? ?u 注: ? ?x ? i ?x ? ?v ?v ? ?i 由C-R条件可得: ?x ? ?y f ?( z ) ? ? ?u ?u ?i ? ?y ? ?x ?u ? ?v ? ?y ? i ?y ?
问:(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导?N (2)可否用求导公式判断函数是否可导?Y

二、解析函数:
1. 定义:

1.3 微商及解析函数

若w ? f(z) 在z 0 点及 N(z 0 , ε) 可导,则称 w ? f(z) 在z 0点解析。 若w ? f(z) 在区域?内处处可导,则称 w ? f(z) 在区域?内解析。

引入记号 f (z) ? H(?) -表示f (z)在区域?内解析。

二、解析函数:

1.3 微商及解析函数

(1)凡说解析都是指在某点或某区域解析 注:
(2)函数在某点解析是比在某点可导严格得多的 条件,两者并不等价。

e.g.

f ( z) ? z

, 在z ? 0点可导却不解析。

(3) f(z)在区域σ内解析和可导是完全等价的。 (4) f(z)的不解析之点称为奇点。 (5) 解析函数又称为正则函数或全纯函数。

二、解析函数:

1.3 微商及解析函数

2.必要条件:由解析定义和可导必要条件可得:…
3.充分条件:由解析定义和可导充分条件可得:… 例

证明: f ( z ) ? e x (cos y ? i sin y )在复平面 解析,且f ?( z ) ? f ( z ).

二、解析函数:
4.解析函数的部分性质 若 则 (1) ?u

1.3 微商及解析函数

f(z) ? u ? iv ? H (? )

? 0 , ?v ? 0

且由C-R连系着

(2)?u ??v ? 0 梯度正交 (3) 已知 u 或 v 均可求出解析函数 (4) 解析函数的和、差、积、商仍为解析函数

?? ?? 注: ? (x, y)y) ? 0,即 ? Δξ ? 0, ? ? 0 问: 若 若Δ f(z) ? ξ(x, ? iη( x, y) 且 2, 2 ? 0, Δ ?x ?y 能否判断f(z) ? H(σ )? N 则称? (x,y)为调和函数。
2 2

二、解析函数:

1.3 微商及解析函数

例 已知 v( x, y ) ? x ? y, 求解析函数 f ( z ) ? u ? iv

(1)用全微分法

?u ?u ?v ?v du ? dx ? dy ? dx ? dy ? dx ? dy ?x ?y ?y ?x u ? ? d ( x ? y) ? c ? x ? y ? c
(2)用积分微分求

?u ?v u ? ? dy ? g ( x) ? ? ? dy ? g ( x) ?y ?x u ? ? y ? g ( x)

二、解析函数:

1.3 微商及解析函数

?u ?v ? ? g '( x ) ? ? 1, g ( x ) ? x ? c ?x ?y

? u ? x - y ? c ? f (z) ? x - y ? c ? i(x ? y) ? x ? iy ? i ( x ? iy ) ? c ? z (1 ? i ) ? c

二、解析函数:
5.解析函数的物理解释:

1.3 微商及解析函数

以平面静电场为例(也适合于其他标量场):电势 ?(x,y)在平面的无源即无电荷区域满足二维拉氏方程

?? ?? ?? ? 2 ? 2 ? 0 ?x ?y
2 2

则由解析函数的性质,可由一解析函数 f(z) ? u ? iv 来描绘该电场称为复势。

解析函数图例

1.3 微商及解析函数

1.3 微商及解析函数

1.3 微商及解析函数

小结 一、微商及微分:
1、微商: 2、微分:

1.3 微商及解析函数

Δf f ?( z ) ? lim Δz ?0 Δz dw ? f ?( z )dz

3、 求导、微分法则: 4. 可导的必要条件 5.可导的充分条件:

?

?u ?v ? ?x ?y
?v ?u ?? ?x ?y

C-R条件

?(1) u x ,u y ;v x ,v y 均连续 ? ? ? (2) u,v 满足C ? R条件 ?

小结

1.3 微商及解析函数

?u ? ?u ? i ? ?x ?y ? ? ?v ? i ?u ? ?y ?y f ?( z ) ? ? ? u ? v ? ?i ? ?x ?x ?v ? ?v ? ?y ? i ?x ?

小结

1.3 微商及解析函数

二、解析函数:
1. 定义: 2.必要条件: 3.充分条件: 4、解析函数的部分性质 若 f(z) ? u ? iv ? H(?) 则 (1) ?u ? 0 , ?v ? 0 且由C-R连系着 (2) ?u ? ?v ? 0 (3) 已知U(或V)均可求出解析函数

1.3 微商及解析函数

本节作业

习题1.3:
2(2); 4(3);



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