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对高三数学复习资料的使用的思考



对高三数学复习资料的使用的思考

成都航天中学 张弩 王才昌
  
  进入高三复习时,各校都有一本专门的复习资料,但这些资料都有些共同的缺陷:
 1.针对性不强.一方面未针对各校的学生实际,例习题的选择多数集中在中档题或难题,不利于学生基础知识的复习,而事实上,不论优生还是学困生扎实的基础都是其进一步学习的前提;另

一方面,不会考虑到教师的个人教学风格,教学是一项有着鲜明的个人色彩的工作,对知识点、知识体系的处理方式,往往是各俱千秋的。
 2.知识体系较弱.一方面,各种复习资料都是按高一高二的教学进程安排的,很少考虑各章节知识之间的结构整合.
 比如,"函数"复习中导数知识的工具价值,在各资料中体现得就很不足;
 例:(06天津)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,记,若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )
 A. B. C. D.
在各资料中,本题是做为"二次型"函数讲解的,但事实上这种方法很繁琐而且不易想清楚,若用导数思路就清晰简单了许多。
同时,"函数与导数、数列、不等式"这三章的知识是层层深入的,应作为一个整体依次复习下去,而不该按教材的顺序复习。
再如,"平面向量与立体几何"的知识递进关系。这是二维到三维递进学习,复习时就不宜分割开。
另一方面,对章节内的知识体系,各复习资料因为篇幅的原因一般顾及不全。比如,直线与圆锥曲线的关系问题,应包括位置判定、弦长(焦点弦公式、一般弦长公式)、弦上点(中点和一般分点)三个方面,再加上各问题处理技巧,远非一讲所能完成。
3。训练的数量与质量有一定缺陷。在数量上,因篇幅的原因,显然是不足于应对高考的,需要教师给予一定量的补充;在质量上,因出版时间的限制,未能及时跟踪最新的高考动态,更需要教师及时弥补。
4。不便于学生独立思考。一般的复习资料在例题后便附有解答,学生还未思考还未找到自己出错的原因,就已经被答案牵着鼻子走了。因而,学生只是知道了一个题目是怎样解出来的,但无法明白这个题目为什么要如此解,也就是说学生在复习后可能仍不具有"解题能力",这显然是学数学的致命弱点了。
例:(06江苏)求函数的值域。
解答:由原式,,则
学生会很容易明白其解答,然而问题是这个解答是如何想到的?事实上,函数的值域问题从本质而言就是研究函数的单调性,那么如何研究?其思考方式是:"能由表达式直接观察单调性吗?能换元或变形化为基本初等函数吗?能用导数吗?"
  本题不能直接观察到单调性,因而考虑根式的变形技巧,就有了如上的解法;若从导数考虑,同样可以解得。
例:求函数的值域。
解答:方法1、根式有理化 为增函数,
方法2、取导数,则原函数为增函数,
      从而,
正是基于此,我们认为在高三复习时,应该组织高三教师分章节,根据本届学生实际,吸取各复习资料的优点,重新编写本年级的复习讲义。
编写前准备工作如下:
1。各章节分配给组内教师,承担任务的教师专门研究本章的考点、解题方法与思想、高考动态。
2。讲义编写前组内教师集体研讨,包括:
(1)教学大纲 ①考纲解读 ②知识内容与能力层次双向细目表
(2)复习重点与难点
(3)知识体系重构
 (4)各讲知识的基本题型
 (5)方法体系构建
3。预设教学弥补措施,包括课堂基础练习、课后巩固练习、周检测练习、单元综合练习。
当然,每个教师在使用的过程中,还需根据本班学生实际和自身的教学习惯合理增删。
 具体教学中,还应注意把握好"三不四需"。
"三不":
1.不只罗列知识清单,还应对核心知识的形成过程给予复习。在现有的各种复习资料中,因篇幅所限,只能罗列知识点,对知识点之间的联系和知识点的来龙去脉解释较少。然而我们知道,理解"知识的形成"显然比"记住知识"更有益,各种数学思想与方法本来就是在知识的形成的过程中习得的。事实上,要做好这项工作,就是做到回归教材。
  比如数列求和中的倒序相加和错位相减,其原理的含义,原理的适用条件,原理的使用方法均来源于等差等比的求和方法。因而,就应在此时与学生共同复习公式的推导方法。
  再如函数周期性的复习,就应关注两个"形成":(1)怎样从平移的角度理解周期的概念;(2) 双对称函数为什么会有周期?

2.不把例题变成对解题方法的对号解释。高三复习时,我们的重心往往会不自觉地偏向于方法与技巧的讲解,而忽视对学生进行"数学思考"的引导。比如值域问题就有这样的现象:对各种方法举几个例子,让学生演练从而记住。这种做法会有一个很大的缺陷,就是会使学生的头脑中只有"题型",而难以适应"变型"。所以,我以为例题的讲解应从"如何解题"这一角度入手,不仅讲透方法与技巧,更要教学生"如何去寻找一个问题的合适的解决方案",也就是数学思想的感悟。
现在,专家对数学提出四基"基本知识、基本技能、基本思想与方法、基本数学感悟"。对前"三基"教师一般都很重视,对"第四基"往往比较忽视。应该说,引导学生进行"数学地思考"就是在帮助学生获得"数学感悟"。
  仍看求值域问题。学生的困难不是记不住那些方法,而是不知道什么时候选用那种方法。我们认为可以从"什么因素决定了值域"这一角度出发,对各种具体的方法重新解读。
  (附)值域求解的思考方法: 函数的思想
   寻找单调性(1)化为基本初等函数
   (2)利用导数
   方程的观点
   把函数y=f(x)看作关于x的方程(如别式法)
   数形结合的思想
  
   利用均值不等式
一.函数的思想:即寻找函数的单调性,一般可从两个角度考虑。
1.换元或变形化为基本函数,从而明确单调性
常见的有(1)化为二次函数型:如
(2)化为一次(二次)分式函数型:如,
(3)化为三角函数型:
如,的常数),可设;
(4)形如:的值域)
2.直接确定函数单调性:这就需要掌握单调性的判定方法(图象法、定义法、复合函数法、导数法)
如,函数的值域是 (观察可知为定义域上增函数)
  函数的值域是 (取导数判断单调性)
解题思路:"能由表达式直接观察单调性吗?能换元或变形化为基本初等函数吗?能用导数吗?"
二.方程的观点:使关于x的方程有解的y的取值范围
常见的有(1)(判别式法)形如不同时为零)的函数值域;
      (注意:函数定义域应为自然定义域;分子、分母无公因式)
(2)形如:的值域
的值域
(事实上,反函数法也就是此思想,但就本质而言,反函数法是不成立的。因为在不知函数的单调性前,是无法使用此法的;而知道单调性时,已可用函数思想解题了)
解题思路:能确定出关于x的方程有解的条件吗?
三.均值不等式法:多用于二元函数的最值问题。
 利用基本不等式,
解题思路:一正,二定值,三相等。
四.数形结合法:当一个函数图形可作时,通过图象可求其值域和最值;或利用函数所表示的几何含义,借助于几何方法求出函数值域。比如,解析几何中的线性规划问题;某些二元函数的最值问题。
如,(1)已知 则的最小值是_____________.


(2)实系数方程的一个根大于0且小于1,另一个大于1且小于2,
则的范围

解题思路:题设、目标的数学符号语言能转换为图象语言吗?
再如等差列的前n项和的最值问题。常用的几种方法是不难被记住的,然而面对一个最值问题时,是否能选择出最佳的方法?没有"数学思考",恐难做到。
(附)Sn 最值求法:(1)最值定义:单峰列
(2)Sn最值Sn单调性
3.不轻视基础题的训练,而把"基础过关"作为最重要的增分点。各种复习资料配备的课后作业,多数选自往年的高考模拟题,综合性较好,然而在"基础过关"方面尚有不足。所以,应在资料外加大基础题的训练,具体可包括:课堂基础训练,周客观题训练,周综合题训练,单元训练,本章高考题选练。
"四需":
1.需要根据学生的实际删加例题。没有哪一本资料是可以原样照用的,学生的现状就是例题取舍的标准。这里同时还应注意(1)为优生准备基础题,并不会降低优生的水平。(2)尽量不选解法没有通性的题。
2.需要根据学生得分的现状删加训练题。这实际就是分层教学的要求了,尽管在课堂教学上很难做到,但在练习上是可以做到的。我们为此把各项训练分成三个层次(基础题、中档题、提高题),从而让每一个学生在自己的得分能力内尽量不丢分。
3.需要根据高考题的变化补充讲解内容。高考是有考纲可遵循,但又有大量擦边的知识被考察。比如对称性与周期的关系、二阶导数与凸凹性、递推数列求解技巧、二次方程根的分布等知识,考纲中没有但的确又常在考。这些内容就应该有计划地加以补充。

4.需要根据知识的体系化的要求重新编排复习内容。高三的复习不是重复,而是重新整合。这样才能对学生综合能力和数学素养的提高提供帮助。
数学学习是在"学什么"?不该只重视"知识",还要重视"数学模块"。数学家与一般数学学习者的差别在于:前者头脑中的知识是"模块化"的,而后者头脑中的知识是"孤点化"的。
我们认为这种"整合"可以有三个方面的考虑:
(1)章节间的整合。比如导数,函数,不等式,数列,三角函数是函数体系中的内容;向量与立体几何是关联的;当然,不是要打破章节体系进行专题式的综合复习,那是第二轮复习的工作,而是在复习顺序以及例习题的选配上做出体系化的考虑.
(2)章节内知识点的整合。比如导数,单调性,值域这三项内容就可以以单调性为核心整合在一起。复习好知识点只是第一步,更重要的工作是把知识点融合成知识"模块"。解题能力的高低不取决于所记住的知识点的多寡,而在于是否找到并有效提取了相应的知识"模块"。
(3)数学方法的整合,从而把数学方法上升为"数学思考"。方法是操作层面的,能够有效使用的前提是你知道了这个问题适用这个方法,然而怎样选到最适用的?就需要我们教师对一类问题的各种方法给与整合,教会学生怎样去选择,也即进行"数学思考"。
比如,轨迹问题就有很多的方法,复习资料上通常是清单式讲解。然而,细致分析,其思想只有两个即直接法和参数法。直接法就是寻找曲线上点p(x,y)的代数方程f(x,y)=0;参数法就是寻找曲线上点p(x,y)依赖于参数t而变化的关系式f(x,y,t)=0和g(x,y,t)=0。我们常说的相关点法和交轨法,其本质就是参数思想。
总之,学生,教师,资料,环境相互影响着,没有最好的复习方法,只有不断思考中正在改进的方法。


2007年9月10


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