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第十一讲 高考复习-对数与对数函数



第八节

对数与对数函数

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1.理解对数的概念,掌握对数的运算性质. 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 最新考纲 3.能够利用对数函数的性质解决某

些简单的 实际问题. 1.以选择题或填空题的形式考查对数函数图象 和基本性质. 高考热点 2.与其他知识(如数列、不等式等)相结合出现 在解答题中.

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1.对数式

(1)对数的概念:如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,也
loga 作 就 是 ab = N , 那 么 , 数 b 叫 做 以 a 为 底 数 N 的 对 数 , 记N =b 的 . 没有 由对数的定义可以直接得到对数的几个性质: 0 ①零和负数 ②loga1= 1 ③logaa= ,其中a叫做对数的 底数 ,N叫做对数 真数

对数;
,(a>0,a≠1) N ,(a>0,a≠1)

④alogaN= m ,(a>0,a≠1,N>0)
⑤logaam= ,(a>0,a≠1) 东方沸点学校为你服务 高考总复习 · 数学(理)

(2)常用的两种对数,① 常用 对数;② 自然 对数. (3)对数的运算性质:(M、N>0)

①logaMN= logaM+logaN
②loga = logaM-logaN ③logaMp= plogaM ?

?
?

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2.对数函数 (1)对数函数的概念 函数 y=logax(a>0,a≠1) 叫做对数函数,其中x是 . 自变量,函数的定义域是 (0,+∞)

(2)对数函数的图象和性质
①对数函数的图象和画法. ②对数函数的图象和性质.

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对数函数 图 象

x>0时,y∈R 当x=1时, y=0 ? 性 在(0,+∞)上是增函数; 质 当x>1时,y∈(0,+∞); 在(0,+∞)上是减函数;当x> (-∞,0) ;当0<x 1时,y∈ 当0<x<1时, (0,+∞) <1时,y∈ . (-∞,0) y∈ .

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1.解决对数函数问题必须注意底数的取值情 况(是大于1还是大于零小于1),如果底数的取 值不确定,必须对底数分大于1或大于零小于1 两种情况分类讨论.

2.比较两个对数值的大小是一类很容易做错的问
题.解决这类问题首先要分清是底数相同还是真数相同,如 果底数相同,可利用对数函数的单调性;如果真数相同,可 利用图象;如果底数和真数均不相同,可利用中间值(一般是 0和1)比较大小.

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题型一 思维提示

对数的运算 ①对数的定义 ②对数的运算性质

例 1 计算:(1)log2+ 3(2- 3); (2)2(lg 2)2+lg 2· lg5+ (lg 2)2-lg2+1; 1 32 4 (3) lg - lg 8+lg 245. 2 49 3

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[解] )( 解一 1 法: 利对定求 用数义值 设g 2+ 3(2- 3)=x, o l 1 - x 则(2+ 3) =2- 3= =(2+ 3) 1, 2+ 3 ∴x= 1. - 解二 法: 利对的算质解 用数运性求 1 g 2+ 3(2- 3)=l 2+ 3 o l g o 2+ 3 =l 2+ 3(2+ 3)-1= 1. g o - )( 原 =lg 2( 2 式 g l 2 2+l + (lg 2)2-2 2+1 ) 5 g g l =lg 2( +l +| 2-1| 2l g ) 5 g g l =lg 2+(1-lg 2)=1.

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[规律总结]

(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数

或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简, 然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底

和指数与对数互化.
(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒 等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.

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备例 选题

1

求列式值 下各的:

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题型二
思维提示

与对数函数有关的函数定义域、值域问题 ①注意对数函数中的限制条件 ②求值域应借助于函数的单调性
,解答下列

例2 对于函数 问题:

(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)在[-1,+∞)内有意义,求实数a的取值范 围;

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(4)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a 的值; (5)若函数f(x)的值域为(-∞,-1],求实数a的值; (6)若函数f(x)在(-∞,1]内为增函数,求实数a的取值范

围.
[分析] 定义域为自变量x的取值范围,值域为对应函 数值的集合,单调区间为定义域的子区间.

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[解] 设 u=g(x)=x2-2a +3 x =(x-a)2+3-a2. )( ∵u>0 对 x∈R 恒成立, 1 ∴uim =3-a2>0, n ∴- 3<a< 3(或由 x2-2a +3>0 的解集为 R 得 Δ= x 4a2-1 <0 求出- 3<a< 3). 2 )( ∵f(x)的值域为 R, 2 ∴Δ=4a2-1 ≥0,即 a≥ 3或 a≤- 3. 2 ∴实数 a 的取值范围是(-∞,- 3]∪[ 3,+∞).

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)( 由 f(x)在[-1,+∞)上有意义, 3 知 u=x2-2ax+3>0 对 x∈[-1,+∞)恒成立. ∵g(x)的对称轴为 x=a, ∴当 a<-1
?a<-1 ? 时,g(-1)>0,即? ?2a+4>0 ?



解得-2<a<-1. 当 a≥-1 时,Δ<0,即- 3<a< 3, ∴-1≤a< 3. 故所求 a 的取值范围是(-2,-1)∪[-1, 3), 即(-2, 3).

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(4)命题等价于x2-2ax+3>0的解集为 {x|x<1或x>3}. ∴x2-2ax+3=0的两根为1和3, ∴2a=1+3,即a=2.

(5)∵y=f(x)≤-1,∴u=g(x)值域为[2,+∞).
∴3-a2=2,即a=±1.

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[规律总结]

(1)定义域为R的问题实质上是不等式恒成

立问题,一般转化为求函数的最值问题.,(2)值域为R的问题

实质是x能取遍某区间上的所有值,一般利用方程有解的条
件求参数的取值范围.

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备选例题2

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题型三

对数函数的图象与性质 ①对数函数的图象 思维提示 ②对数函数的定义域、值域及单调性 例3 已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0),

(1)求y=f(x)的定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过 这两点的直线平行于x轴; (3)当a、b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正 值.

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ax [解] )( 由 a -b >0 得( ) >1, 1 b a 且 a>1>b>0,得 >1,所以 x>0, b 即 f(x)的定义域为(0,+∞). )( 任取 x1>x2>0,a>1>b>0, 2 则 ax1>ax2,bx1<bx2, 所以 ax1-bx1>ax2-bx2>0, 即(l ax1-bx1)>l ax2-bx2),故 f(x1)>f(x2). g ( g 所以 f(x)在(0,+∞)上为增函数; 假设函数 y=f(x)的图象上存在不同的两点 A(x1,y1), B(x2,y2),使直线平行于 x 轴,则 x1≠x2,y1=y2,这与 f(x) 是增函数矛盾.
x x

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故函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直 线平行于x轴. (3)因为f(x)是增函数,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)> f(1).

这样只需f(1)=lg(a-b)≥0,
即当a≥b+1时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.

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[规律总结]

解决对数函数问题,首先要看函数的定义

域,在函数的定义域内再研究函数的单调性,判断时可利用

定义,也可利用复合函数单调性的判断,也可以利用导数解
决.对于恒成立问题注意等价转化思想的应用.

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备选例题3

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答案:A

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题型四
思维提示

对数函数性质的综合问题 ①对数函数性质 ②数形结合、等价转化等数学思想

例4 若函数 (1)求函数f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性和单调性. [分析] (1)转化为解不等式组;(2)用奇偶性和单调性的 定义进行判断.

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?x≠0 ? [解] (1)由?1+x ?-1<x<1 且 x≠0. ?1-x>0 ? ∴函的义为 数定域 (-1,0)∪(0,1). )( ∵f(x)的义关原对 2 定域于点称 , 1-x 1-x 1 1 f(-x)= -l 2 g o = ( +l 2 - g o ) x -x 1+x 1+x 1+x 1 = ( -l 2 - g o )= f(x). - x 1-x ∴f(x)是函 奇数 . 设 0<x1<x2<1,则 1+x1 1 1+x2 1 f(x1)-f(x2)= -l 2 g o -( -l 2 g o ) x1 1-x1 x2 1-x2

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1+x2 1+x1 1 1 =( - )+( 2 g o l -l 2 g o ) x1 x2 1-x2 1-x1 x2-x1 (1+x2)(1-x1) = +l 2 g o x1x2 (1-x2)(1+x1) x2-x1 1+(x2-x1)-x1x2 = +l 2 g o . x1x2 1-(x2-x1)-x1x2 ∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0, 1+(x2-x1)-x1x2 1+(x2-x1)-x1x2 = . 1-(x2-x1)-x1x2 (1+x1)(1-x2) ∵(1+x1)(1-x2)>0,∴1-(x2-x1)-x1x2>0. 又∵1+(x2-x1)-x1x2>1-(x2-x1)-x1x2, 1+(x2-x1)-x1x2 ∴ >1, 1-(x2-x1)-x1x2 ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2).

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∴f(x)在(0,1)上是减函数. 又f(x)是奇函数,∴f(x)在(-1,0)上也是减函数.

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备选例题 4

已函 知数

x+b f(x)=l a g o (a>0,b>0 且 x-b

a≠1). )( 求 f(x)的定义域; 1 )( 讨论 f(x)的奇偶性; 2 )( 判断 f(x)的单调性并证明; 3 - )( 求 f(x)的反函数 f 1(x). 4

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x+b 解:( 由 ) 1 >0,得 f(x)的义为 定域 (-∞, b)∪(b, - x-b +∞). -x+b x+b -1 )( ∵f(-x)=l a 2 g o =l a( g o ) = f(x). - -x-b x-b 又函定域于点称 知数义关原对 , ∴f(x)是函 奇数 . )( 对 x1,x2∈(b, ∞), 3 于 + 任 b<x1<x2, 取 x1+b x2+b 2b(x2-x1) 则 - = . x1-b x2-b (x1-b)(x2-b) ∵x1-b>0,x2-b>0,b>0,x2-x1>0, x1+b x2+b ∴ > >0, x1-b x2-b

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x1+b x2+b ∴当 a>1 时,有g a o l >l a g o , x1-b x2-b 即 f(x1)>f(x2); x1+b x2+b 当 0<a<1 时,有g a o l <l a g o , x1-b x2-b 即 f(x1)<f(x2). 同理可证 x1, 2∈(-∞, x -b)的况, 情下 有 a>1 时, 1) f(x >f(x2);0<a<1 时,f(x1)<f(x2). 综知当 上: a>1 时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上均 为减函数; 当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上为 均增 函数;

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x+b b(ay+1) )( 解于 x 的程 g a 4 关 方 o l =y?x= y . x-b a -1 b(ax+1) - ∴f(x)的函为 反数 f 1(x)= x (x∈R 且 x≠0 .) a -1

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例1 求值:

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[错因分析]

对数的运算性质是本题考查的主要内容,

学生的运算能力薄弱是做错的主要原因.

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例2 求函数

的定义域.

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