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1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理(1)



1.1分类计数原理

与分步计数原理

实际问题
2008年29届夏季奥运会在北京举行.奥运 会足球赛共有16个队参赛.它们先分成4个 小组进行循环赛,决出8强,这8个队按确定 的程序进行淘汰赛后,最后决出冠亚军,此外 还决出了第三、第四名.问一共安排了多少场 比赛?
要回答这个问题,就要用到排列、组合的知 识.在运用

排列、组合方法时,经常要用到分类 计数原理与分步计数原理.

问题 1 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号,总共能够编出多 少种不同的号码?
因为英文字母共有 26个,阿拉伯数字 0 ~ 9共有10个, 所以总共可以编出 26 ? 10 ? 36种不同的号码 .

探究 你能说说这个问题的特 征吗?
上述问题中 , 最重要的特征是 " 或" 字的出现 : 每个座位 可以用一个英文字母或 一个阿拉伯数字编号 .由于英文 字母、阿拉伯数字各不 相同,因此用英文字母编出的 号 码与用阿拉伯数字编出 的号码也是各不相同的 .

问题 2. 从甲地到乙地,可以乘火车,也
可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中,火 车有4 班, 汽车有2班,轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车,有4种方法; 第二类方法, 乘汽车,有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。

一、分类计数原理 完成一件事,有两类办法. 在第1类办法中有 m种不同的方法,在第2类方法中有n种不同的方 法,则完成这件事共有

说明

N= m+n种不同的方法
1)各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分 类标准下进行分类,然后对每类方法计数.

问题3、用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉 伯数字,以A1,A2,· · · ,B1,B2,· · · 的方式给 教室里的座位编号,总共能编出多少个不同 的号码?

字母

数字
1 2 3 4

得到的号码
A1 A2

A3
A4

A

5
6

A5
A6

7
树形图 8

A7
A8

9

A9

我们还可以这样来思考 : 由于前 6个英文字母的任意一个 都能与 9 个数 字中的任何一个组成一 个号码 , 而且它们各不 相同,因此共有 6 ? 9 ? 54 个不同的号码 .

探究 你能说说这个问题的特征吗?
上述问题中, 最重要的特征是 " 和" 字的出现 : 每个座位由一个英文字母和一个阿拉伯数 字构成, 每个英文字母与不同的数字组成的 号码是各不相同的.

二、分步计数原理 完成一件事,需要两个步骤。做第1步有m种不 同的方法,做第2步有n种不同的方法,则完成这件事 共有

N= m×n种不同的方法
说明
1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理 2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准, 然后对每步方法计数.

分类计数与分步计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理
分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步”

联系
区别一

区别二

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了,才能完成这 件事情。

区别三

各类办法是互斥的、 并列的、独立的

各步之间是相关联的

例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下: A大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学

工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
解:这名同学在A大学中有5种专业选择,在B大学中有4种专业选择。
根据分类计数原理:这名同学可能的专业选择共有5+4=9种。

例2、设某班有男生30名,女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不 同的选法? 例3、肥城市的部分电话号码是0538323××××,后面 每个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同的 电话号码? 分析:

0538323 分析:

10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040

变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?

例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

N=4+3+2=9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?

N=4 ×3×2=24

(3)从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法?

解:需先分类再分步. 第一类:从一、二层各取一本,有4×3=12种方法; 第二类:从一、三层各取一本,有4×2=8种方法; 第三类:从二、三层各取一本,有3×2=6种方法; 根据两个基本原理,不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26

答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同 的取法.

例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左右两边墙上的指定位置,问共有多 少种不同的挂法?
解 从 3 幅画中选取 2 幅分别挂在左、右两 边墙上,可以分两步完成 :

第1 步, 从3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上, 有 3 种方法;
第 2 步, 从剩下的 2 幅画中选 1 幅画挂在右边墙上, 有 2 种方法.
根据分步乘法计数原理, 不同挂法种数是N ? 3 ? 2 ? 6.

课堂练习
1、8本不同的书,任选3本分给3个同学,每 人1本,有多少种不同的分法? 2、将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投 法? 3、已知 a ?{3, 4,6}, b ?{1, 2,7,8}, r ?{8,9} 则方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 可表示不同的圆的 个数有多少?

4. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2 名分别上日班和晚班,有多少种不 同的选法? 第一步:选1人上日班; 有3种方法 第二步:选1人上晚班. 有2种方法

N=3×2=6(种)

5.从5人中选4人参加数、理、化学科 竞赛,其中数学2人,理、化各1人, 求共有多少种不同的选法? 物理1人 化学1人 数学2人

5种

4种

3种

N=5×4×3=60(种)

6.三个比赛项目,六人报名参加。
6 1)每人参加一项有多少种不同的方法? 3 ? 729

2)每项1人,且每人至多参加一项,有多 少种不同的方法? 6 ? 5 ? 4 ? 120 3)每项1人,每人参加的项数不限,有多 少种不同的方法? 3

6 ? 216

7.现要安排一份5天值班表,每天有一个人值班。共有5个人,
每个人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不能由同一个 人值班,问此值班表由多少种不同的排法? 解:分5步进行: 第一步:先排第一天,可排5人中的任一个,有5种排法; 第二步:再排第二天,此时不能排第一天的人,有4种排法; 第三步:再排第三天,此时不能排第二天的人,有4种排法; 第四步:同前 第五步:同前 由分步计数原理可得不同排法有5×4×4×4×4=1280种

8.3个班分别从5个风景点中选择一处游览,不同选法的种 数是35还是53?

9.乘积(a1+a2+a3 )(b1+b2+b3+b4 )(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项?

10.如图,该
电路,从A到B 共有多少条 不同的线路 可通电?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题时有时既要分类又要分步。

课堂小结 分类计数原理与分步计数原理的异同:
分类计数原理:针对的是“分类”问题。各类方法相互独立。 分步计数原理:针对的是“分步”问题。 每步相互依存。 ? 相同点:回答的都是有关做一件事的不同方法总数 的问题. ? 区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题, 其中各种方法相互独立,用任何一种方法都可以 做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问 题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤 都完成才算做完这件事.

结束语

两大原理妙无穷,
茫茫数理此中求; 万万千千说不尽, 运用解题任驰骋。

思考:已知二次函数 y ? ax

2

? bx ? c. 若

a, b, c ?{?3, ?2,0,1, 2,3}. 则可以得到多少个
不同的二次函数?其中图象过原点的二次函 数有多少个?图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个?



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