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3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式第一课时(原创)



第三章

三角恒等变换

3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式1

知识回顾: 差角的余弦公式, 简记为 C(? ?? )

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
巩固练习 简记“余余正正,符号反”

4 3 1.已知 cos ? ? , co

s(? ? ? ) ? , 且? , ? 均为锐角, 5 5 求 cos ?的值.

2.cos(?400 )cos 200 ? sin(?400 )sin(?200 ) ?

新课 由 C(? ?? ) 公式出发,你能推导出两角和 的余弦公式吗? cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ α cos[ -( -β = cosαcos(-β)+sinαsin(-β) )] 转化 cos(α +β) = cosαcosβ-sinαsinβ 称为和角的余弦公式。 简记为Cα +β)

两角和与差的余弦公式有哪些结构特征?

C(? ?? ) cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
C(? ?? ) cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ
简记“余余正正,符号反”

你能根据 C(? ? ? ) , C(? ? ? )及诱导公式,推 究探 导出用任意角? , ? 的正弦、余弦值 ? ? 表示 sin( ? ? ), sin( ? ? ) 的公式吗? cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ ? ? sin(? ? ? )= cos[ ? ? +?)? cos[ ? ?) ] ( ] ( -?
= cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? )sin ? 2 2 = sin ? cos ? ? cos ? sin ?

?

2

?

2

称为和角的正弦公式。 简记为 S(? ? ? ) sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ

两角和与差的正弦公式

S(? ? ? )sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin(? ? ? ) ? ?
sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? cos? sin(?? )

S(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
公式特征:1、“正余余正 ,符号同” 2、公式中的α,β是任意角。

两角和与差的余弦公式

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ
“余余正正,符号反”

两角和与差的正弦公式

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
“正余余正 ,符号同” P131 练习1

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

例题讲解
3 ? 例2:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4

3 解:由sin? =- , ? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5
于是有 sin(

cos( ? ? )的值。 4

?

?
4

? ? ) ? sin

?

4 4 2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

cos ? ? cos

?

sin ?

例题讲解

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

由以上解答可以看到,在本题的条件下 ? ? 有 sin ( ? ? ) ? cos( ? ? )。那么对于任意角,此 4 4 等式成立吗?若成立,你会用几种方法证明?

P131 练习2,3

公式逆用:
sinαcosβ+ cosαsinβ=

sin(α+β)

sinαcosβ - cosαsinβ= sin(α-β) cosαcosβ+sinαsinβ= cos(α-β) cos(α+β) cosαcosβ- sinαsinβ=

例2、利用和(差)角 公式计算下列各式的值: ① sin72° cos42°cos72° sin42° ②cos20° cos70° sin20° sin70°

变式:
① cos72° sin42° sin72° cos42° ②cos20° cos70° sin20° sin110 °
教材P131 练习5



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