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2012年高一数学竞赛解答11



2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 11

── 圆的切线
姓名:

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jylingbin@

163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (这句话有两层意思:过圆心垂直于切线的 直线必过切点;过切点垂直于切线的直线必过圆 心) 二、重要例题 例 1. △ABC 中, ∠A 的平分线交外接圆于 P, 是△ABC 外接圆的切线; BD 求证:P 到 BD 与 BC 的距离相等. (提示:连结 BP ,作 PF ? BD 于 F ,证
明 PE ? PF )
E B C A

∵BD 与⊙相切于 B 点 ∴∠FBP=∠BAP

? ? ∵ PC = PC ∴∠PBE=∠PAC ∵∠BAP=∠PAC ∴∠FBP=∠PBE ∴P 为∠FBE 平分线上一点 又∵PF⊥BF, PE⊥BC ∴PE=PF,即 P 到 BD 与 BC 的距离相等 例 2.AB 是半圆的直径,C 是半圆上一点,直线 MN 切半圆于
C,AM⊥MN 于 M 点,BN⊥MN 于 N 点,CD⊥AB 于 D 点,求 证:CD=CM=CN. (提示:连结 CA CB ) 、 ∵MC 与圆相切 ∴∠MCA=∠CBA ∵AB 为直径 ∴∠ACB=90° ∴∠CAB+∠CBA=90° ∵CD⊥AB ∴∠CAB+∠ACD=90° ∴∠MCA=∠CBA=∠ACD 即 A 为∠MCD 平分线上一点 又∵AM⊥CM,AD⊥CD ∴△AMC≌△ADC

P F D

M C N

A

D

B

1

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

∴MC=DC 同理 NC=DC ∴CD=CM=CN 例 3.AB 是⊙O 的直径,BC 是切⊙O 于 B 的切线,连结 OC,并作弦 AD ∥OC, 连结 CD, 求证: 是圆的切线. CD (提示: 连结 OD , 证明 OD ? CD ) 连结 OD ∵AD∥OC ∴∠DAO=∠COB, ∠ADO=∠COD ∵AO=DO ∴∠DAO=∠ADO ∴∠COB=∠COD 又∵BO=DO,CO=CO ∴△COB≌△COD ∴∠CDO=∠CBO=90°即 CD⊥DO 又∵CD 过⊙O 上 D 点 ∴CD 是⊙O 的切线 例 4.△ABC 的两条高 BE、CF 交于 H,又△ABC 的外接圆圆心为 O,求 证:AO⊥EF. (提示:过 A 作圆的切线 OT ,证明 EF // AT ) 过 A 作圆的切线 OT ∵AT 为⊙O 切线 ∴∠TAF=∠ACB ∵∠BFC=∠BEC=90° ∴E,B,C,E 四点共圆 ∴∠AFE=∠ACB ∴∠TAF=∠AFE ∴EF∥AT ∵AT 切⊙O 于 A ∴AT⊥AO ∴AO⊥EF 例 5.在一个四边形中,如果一组对边之和等于另一组对边之和,那么 这个四边形必有内切圆.已知:四边形 ABCD 中,AB+CD=AD+BC;求 证:四边形 ABCD 必有内切圆. (提示:分情况讨论:①若 AB ? AD ,则
为筝形, 易证; ②若 AB ? AD , AB 上取 AE ? AD , CB 上取 CF ? CD , 在 在 连结 DE、DF、EF )
A E D
D

C

A O

B

T A

F E O H

B

C

C

O

F

B

①若 AB=AD,则为筝形,三个内角平分线必定交于一点,四边形 ABCD 必有内切圆,易证 ②若 AB>AD,在 AB 上取 AE=AE,在 CB 上取 CF=CD,连结 DE,DF,EF ∴BE=AB-AE=AB-AD=BC-CD=BC-CF=BF ∴△BEF,△AED,△CDF 为等腰三角形 ∴∠A, ∠B, ∠C 内角平分线分别为 DE,EF,FD 中垂线 即平分线交于△DEF 的外心 ∴四边形 ABCD 必有内切圆 例 6.ABCD 为圆外切四边形,AC 为对角线,那么△ABC 的内切圆和△ADC 的内切圆与 AC 切于同
2

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

一点. (提示:设 ?ABC 和 ?ADC 的内切圆分别切 AC 于 X 和 Y ,证明 AX ? AY ) 设△ABC 和△ADC 的内切圆分别切 AC 于 X 和 Y,设点 Y 在线段 AX 上,即 AX≥AY ∵AB,AC,BC 分别切⊙ O1 于 E,X,F ∴ AE=AX,BE=BF,CX=CF G D 同理 CG=CY,DG=DH,AY=AH ∴AE+BE+CX+CG+DG+AY=AX+BF+CF+CY+DH+AH H O2 ∴AB+CD+CX+AY=BC+AD+AX+CY ∵ABCD 为圆外接四边形 ∴AB+CD=BC+AD ∴CX+AY=AX+CY 即 AC-XY=AX+CY A ∴XY=0,即点 X,Y 重合 ∴AX=AY 所以△ABC 的内切圆和△ADC 的内切圆与 AC 切于同一点 三、巩固练习 10 (以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)
C

F
O1

B

E

1.设凸四边形 ABCD 的顶点在一个圆周上,另一个圆的圆心在边 AB 上,且与四边形的其余三个边 相切;求证:AD+BC=AB. 设 内 切 圆 圆 心 为 O, 在 AB 上 取 点 E 使 AE=AD, 连 结 OC,OD,EC,ED ∵AE=AD ∴∠AED=
1 2
D C

(180°-∠A)=

1 2

∠DCB
A O B

∵CD,CB 为⊙O 切线 ∴
1 2

∠DCB=∠OCD

E

∴∠AED=∠OCD ∴D,C,O,E 四点共圆 ∴∠BEC=∠ODC=
1 2

∠ADC= (180°-∠B)
2

1

∴∠BEC=∠BCE ∴BC=BE ∴AD+BC=AE+BE=AB
2.设一四边形同时内接、外切于圆,将其内切不相邻的两切点用线段 连结,则这两条线段所在的直线互相垂直. ∵ 四边形外切于小圆 ∴ CG=CF,AH=AE ∴ ∠AHE=∠AEH,∠CFG=∠CGF ∵ ∠A+∠C=180° ∴ ∠CGF+∠CFG+∠AHE+∠AEH=180° ∴ ∠AHE+∠CGF=90° ∴ ∠HFE+∠GEF=90° ∴ ∠EPF=90° ∴ 这两条线段所在的直线互相垂直.
D G C

H

P F

B A E

3



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