高中数学必修5解三角形习题(05

高中数学必修 5——解三角形习题（1）
★ 知 识 梳理 ★

1． 内角和定理： 在 ?ABC 中， A ? B ? C ? ? ； sin( A ? B) ? sin C ； cos( A ? B) ? ? cosC
cos A? B C ? sin 2 2 1 1 1 ab sin C ? bc sin A = ca sin B 2 2 2

2．面积公式: S?ABC ?

3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. a b c 形式一： ? ? ? 2 R (解三角形的重要工具) sin A sin B sin C
?a ? 2 R sin A ? 形式二： ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

(边角转化的重要工具)

4.余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的两倍.. 形式一： a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ?
b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B (解三角形的重要工具)
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

形式二： cos A ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 ； cos B ? ； 2bc 2ca

cosC=

a2 ? b2 ? c2 2ab

巩固训练:

1

在△ABC 中，

，则

等于（

）

A

B

C

D

cosA b 2 在△ ABC 中，若cosB ＝a ，则△ ABC 的形状是.( A.等腰直角三角形 B.直角三角形

)

C.等腰或直角三角形 D.等边三角形

3 在△ABC 中，若 C ? 90 0 , a ? 6, B ? 30 0 ，则 c ? b 等于（ A

）

1

B

?1

C

2 3

D

?2 3

4． 【台州市·理】6．在 ?ABC 中，若 a =1,C= 60? , c = 3 则 A 的值为 A． 30? B． 60? C． 30?或150? D． 60?或120? 5 在△ ABC 中，若 b ? 2a sin B ，则 A 等于（ A
30 0 或60 0

） D
30 0 或150 0

B

45 0 或60 0

C

120 0 或60 0

6．在△ABC 中，若 3 a=2bsinA,则 B 为 A．

（ C．
2? ? 或 3 3

）

? 3

B．

? 6

D．

5? ? 或 6 6

7.在 ?ABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 所对边，若 a ? 2b cosC ，则此三 角形一定是（ A.等腰直角三角形 ） B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

8\（2011 文）在 ?ABC 中，角 A, B, C 所对的边分 a, b, c ．若 a cos A ? b sin B ，则
sin A cos A ? cos2 B ?

1 1 B． C． -1 D．1 2 2 9 在△ABC 中，A＝60° ，B＝75° ，a＝10，则 c 等于_________.

A．-

10 在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等于________． 1 11 在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝3，则△ABC 的面积为________． 12、在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45° .求角 A，C 和边 c

13、 在?ABC中, A ? 30?, a ? 8, b ? 8 3, 则S?ABC ? ______ .

14 在 Rt △ABC 中，C=

?
2

，则 sin Asin B 的最大值是_______________.

1 15． 【杭州市·文】(12)在△ ABC 中，若∠B＝60° ，sinA= ，BC＝2，则 AC＝. 3

16．在△ABC 中，a+c=2b，A－C=60°，则 sinB=

.

17 ． 在 △ ABC 中 ， 若 ∠ B=30 ° ,AB=2 3 ,AC=2, 则 △ ABC 的 面 积 为 ___ ___. 18． 【温州中学· 理】12． ?ABC 中， a、b、c 分别为 ?A、?B、?C 的对边， 1 c ? cosB ? b ? cosC ，且 cosA ? ，则 sinB ? ________． 3 ? 19．在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，设 a+c=2b，A－C= ， 3 求 sinB 的值.

20．根据所给条件，判断△ABC 的形状.? a b c （1）acosA=bcosB； (2) ． ? ? cos A cos B cos C

2 21.在△ABC 中，已知 2a ? b ? c ， sin A ? sin B sin C ，试判断△ABC 的形状

22．三角形的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ，设向量 m ? (c ? a, b ? a) ，
n ? (a ? b, c) , 若 m // n ,求角 B 的大小；

23.已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角，且其对边分别为 a 、 b 、 c ，若 1 cos B cosC ? sin B sin C ? ． 2 （Ⅰ）求 A ； （Ⅱ）若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ，求 ?ABC 的面积．

24．已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，其中 c ? 2 ， 又向量 m ? (1 , cosC ) ，n ? ( cosC , 1) ，m·n=1． （1）若 A ? 45? ，求 a 的值； （2）若 a ? b ? 4 ，求△ ABC 的面积．

17

． 解 析 ： ∵ 2R sin A ? 2R sin C ? 2 ? 2R sin B B A?C B B cos ? cos ? 2 ? sin ? cos ， 2 2 2 2 故 sin
B 3 ， ? 2 4

，

∴

∴ sin B ?

39 ． 8

18．解析： （1）由余弦定理得：?

acosA=bcosB ? a ? (

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 ) ? b?( ) 2bc 2ac

? a 2c 2 ? a 4 ? b2c 2 ? b4 ? 0
? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 0或c 2 ? a 2 ? b 2 ? 0 ? a ? b 或c 2 ? a 2 ? b 2

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.? c sin A c sin B （2）由正弦定理得： a ? 代入已知等式： ,b ? sin C sin C
c sin A c sin B c ? ? cos A sin C cos B sin C cos C sin A sin B sin C ? ? ? cos A cos B cos C

? 即 tanA=tanB=tanC ∵A、B、C∈(0,π )? ∴A=B=C ? ∴△ABC 为等边三角形.? 6．解： （Ⅰ）? cos B cosC ? sin B sin C ?
? cos(B ? C ) ? 1 2 1 2

……………………………

…2 分 又? 0 ? B ? C ? ? ，? B ? C ?
? ?A? B ?C ?? ， A ? 2? 3

?
3

…………………4 分 ………………………………6

分 （Ⅱ）由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos 分
2? 3

………………………………8

1 即：12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ，?bc ? 4 2 分

………………………………10

∴ S ?ABC ? 分

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

………………………………12

7．解：（1）∵mn ? cos C ? cos C ? 2 cos C ? 1

∴
C ? 60?

cos C ?

1 2

? 0? ? C ? 180?

∴

…………………………………2分 正 弦 定 理 得 ，

由

a 2 ? sin 45? sin 60? ，
∴
a? 2 2 3 ? 2 6 3 ，

……………………………………………4分

………………………………………………………………6分

2 2 （2）∵ c ? 2 ， ?C ? 60? ， ?a ? b ? 2ab cos60? ? 4 ，

∴
a 2 ? b 2 ? ab ? 4 ，

…………………………………………………………8分 ………………………

2 2 又∵ a ? b ? 4 ，∴ a ? b ? 2ab ? 16 ，∴ ab ? 4 ，

10分 ∴ 12分
S ?ABC ? 1 ab sin C ? 3 2 ． ……………………………………………………