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2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)5.3等比数列课件 新人教A版



[知识能否忆起]

1.等比数列的有关概念
an an+1 a- a =q(q 是常数且 q≠0,n∈N+)或 n 1
n

定义

=q(q 是常数且 q≠0,n∈N+且 通项公式

n≥2 )

an=

a1qn-1

/> 前n项

?na1 ? Sn=?a1?1-qn? a1-anq ? 1-q = 1-q ?q≠1? 和公式 ? 等比 中项

?q=1?

设 a、b 为任意两个同号的实数,则 a、b 的 等比中项 G=± ab

二、等比数列的性质 1.通项公式的推广:an=am·qn-m. 2.对于任意正整数p、q、r、s,只要满足p+q=r+s, ap·aq=ar·as 则有 .
?1? ? ? 3.若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},?a ?, ? ? ? n? ?an? 2 {an},{an·n},?b ?(λ≠0)仍是等比数列. b ? ? ? n? ? ?

4.三个数成等比数列且积一定,通常设这三个数
a q,a,aq 比较方便. 为

5.Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn, S3n-S2n 满足(S2n-Sn)2=Sn· 3n-S2n),但不一定成等比 (S 数列.

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于

A.4 C.16
解析:a2·6=a2=16. a 4
答案:C

B.8 D.32

(

)

2.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7= ( )

A.64

B.81

C.128
a2+a3 解析:q= =2, a1+a2

D.243

故 a1+a1q=3?a1=1,a7=1×27-1=64.

答案:A

3. (2012· 安徽高考)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正 数,且 a3a11=16,则 log2a10= ( )

A.4 C.6

B.5 D.7

解析:∵等比数列{an}的各项都是正数,则 a3a11=16
2 ?a7=16?a7=4?a10=a7×q3=32?log2a10=5.

答案:B

1 4.(2011· 北京高考)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4, 2 则公比 q=________;a1+a2+?+an=________.

1 3 解析:a4=a1q ,得 4= q ,解得 q=2,a1+a2+?+an 2
3

1 ?1-2n? 2 1 n-1 = =2 - . 2 1-2

答案:2

2

n-1

1 - 2

5.(2012· 新课标全国卷)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=________.
解析:∵S3+3S2=0,∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0, ∴a1(4+4q+q2)=0. ∵a1≠0,∴q=-2.

答案:-2

1.等比数列的特征 (1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零 的,公比q也是非零常数. (2)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列, 还要验证a1≠0. 2.等比数列的前n项和Sn (1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的,注 意这种思想方法在数列求和中的运用. (2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q= 1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题 失误.

等比数列的判定与证明

[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

[自主解答]

(1)证明:∵an+Sn=n,①

∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, an+1-1 1 ∴ = . an-1 2 ∵首项c1=a1-1,又a1+a1=1, 1 1 ∴a1= ,c1=- . 2 2 1 1 又cn=an-1,故{cn}是以- 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 ? 1? ?1?n-1 ?1? ?- ?· ? =-? ?n, ? (2)由(1)可知cn= 2 2 ? ?? ? ?2?
?1?n ∴an=cn+1=1-?2? . ? ?

在本例条件下,若数列{bn}满足b1=a1,bn=an-an-1 (n≥2),证明{bn}是等比数列. ?1? n 证明:∵由(2)知 an=1-? ? , ?2? ∴当 n≥2 时,bn=an-an- 1
?1? - ? ?1 ? ? =1-? ?n- ?1- ? ?n 1? ?2? ? ?2 ? ? ?1 ? ?1? ?1? =? ?n- 1-? ?n= ? ?n. ?2 ? ?2? ?2? ?1? n 1 又 b1=a1= 也符合上式,∴bn=? ? . 2 ?2? bn+ 1 1 ∵ = ,∴数列{bn}是等比数列. bn 2

等比数列的判定方法 an+1 an * (1)定义法: a =q(q 为非零常数, 若 n∈N )或 =q(q an-1 n
为非零常数且 n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.
2 (2)等比中项法: 若数列{an}中, n≠0 且 an+1=an·n+2(n a a

∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·n(c,q 均 q 是不为 0 的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.

an+an+1 1.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= ,n∈N*. 2

(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.
解:(1)证明:b1=a2-a1=1. an-1+an 1 当 n≥2 时,bn=an+1-an= -an=- (an-an-1)= 2 2 1 1 - bn-1,故{bn}是以 1 为首项,- 为公比的等比数列. 2 2

(2)由(1)知

? 1?n-1 bn=an+1-an=?-2? , ? ?

当 n≥2 时, n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=1+1 a
? 1? ? 1? ?- ?+?+?- ?n-2 + 2 ? ? ? 2? ? 1?n-1 1-?-2? 2? ? 1?n-1? ? ? =1+ =1+ ?1-?-2? ? ? 1? 3? ? ? ? ?- ? 1- 2 ? ?

5 2? 1?n-1 = - ?-2? . 3 3? ? 5 2? 1?1-1 当 n=1 时, - ?-2? =1=a1, 3 3? ? 5 2? 1?n-1 故 an= - ?-2? (n∈N+). 3 3? ?

等比数列的基本运算

[例2]

(2011·全国高考)设等比数列{an}的前n项和
设{an}的公比为 q,
?a =3, ? 1 解得? ?q=2 ?


为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
[自主解答]
?a q=6, ? 1 由题设得? ?6a1+a1q2=30. ? ?a =2, ? 1 或? ?q=3. ?

当 a1=3,q=2 时,an=3×2n 1,Sn=3×(2n-1); 当 a1=2,q=3 时,an=2×3n-1,Sn=3n-1.

1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基 本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可

以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
2.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公 比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目 用求和公式.

2.(2012· 临沂模拟)在等比数列{an}中,a3=9,a6=243,求 数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和公式 Sn,并求 a9 和 S8 的值.
解:在等比数列{an}中,设首项为 a1,公比为 q, a6 243 由 a3=9,a6=243,得 q3= = =27,∴q=3. a3 9 由 a1q2=a3,得 9a1=9,∴a1=1. 于是,数列{an}的通项公式为 an=1×3n-1=3n-1, 1×?1-3n? 3n-1 前 n 项和公式为 Sn= = . 2 1-3 38-1 由此得 a9=39-1=6 561,S8= =3 280. 2

等比数列的性质

[例3] (1)(2012· 威海模拟)在由正数组成的等比数列

{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)
的值为
1 A. 2 C.1 3 B. 2 3 D.- 2

(

)

(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,

则S9∶S3等于
A.1∶2 C.3∶4
[自主解答] (1)因为a3a4a5=3 log3a1+log3a2+?+log3a7 =log3(a1a2?a7)=log3a7 4 7π =7log33 = , 3 3 故sin(log3a1+log3a2+?+log3a7)= . 2
? 3

(
B.2∶3
π

)

π 3 =a4,所以a4=3 . 3

D.1∶3

(2)由等比数列的性质:S3,S6-S3,S9-S6仍成等比 数列,于是(S6-S3)2=S3· 9-S6), (S 1 S9 3 将S6= S3代入得 = . 2 S3 4

[答案] (1)B

(2)C

等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”,
它们的通项公式和性质有许多相似之处,其中等差数列 中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类 比.关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握,同 时也有利于类比思想的推广.对于等差数列项的和或等

比数列项的积的运算,若能关注通项公式an=f(n)的下
标n的大小关系,可简化题目的运算.

3.(1)(2012· 新课标全国卷)已知{an}为等比数列,a4+

a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=
A.7 C.-5 B.5 D.-7

(

)

(2)(2013· 成都模拟)已知{an}是等比数列,a2=2,a5 1 = , a1a2+a2a3+?+anan+1= 则 4 (


)

A.16(1-4 n) 32 C. (1-4-n) 3



B.16(1-2 n) 32 D. (1-2-n) 3

解析:(1)法一:
?a +a =a q3+a q6=2, ? 4 7 1 1 ? 由题意得 2 ?a5a6=a1q4×a1q5=a1q9=-8, ? ?q3=-2, ? 解得? ?a1=1 ?

1 ? 3 ?q =- , 2 或? ?a1=-8, ?

故 a1+a10=a1(1+q9)=-7.

?a4+a7=2, ? 法二:由? ?a5a6=a4a7=-8, ? ?q3=-2, ? 则? ?a1=1 ?

?a4=-2, ? 解得? ?a7=4 ?

?a4=4, ? 或? ?a7=-2. ?

1 ? 3 ?q =- , 2 或? 故 a1+a10=a1(1+q9)=-7. ?a1=-8, ?

?1? - 1 1 (2)∵a2=2,a5= ,∴a1=4,q= ,anan+1=?2?2n 5. 4 2 ? ? ? 1? 8?1-4n? ? ? 32 - 故 a1a2+a2a3+?+anan+1= = (1-4 n). 1 3 1- 4 [答案] (1)D (2)C

[典例]

设等比数列{an}的公比为q,前n项和

Sn>0(n=1,2,3,…).则q的取值范围为________.

[解析] 因为{an}为等比数列,Sn>0, 可以得到 a1=S1>0,q≠0, 当 q=1 时,Sn=na1>0; a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= >0, 1-q 1-qn 即 >0(n = 1,2,3, ?),上式等价于不等式 组 1-q
?1-q<0, ? ? ?1-qn<0, ?

(n=1,2,3,?),



?1-q>0, ? 或? ?1-qn>0, ?

(n=1,2,3,?).



解①式得 q>1,解②式,由于 n 可为奇数,可为偶 数,得-1<q<1. 综上,q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). [答案] (-1,0)∪(0,+∞) [题后悟道] 解答本题利用了分类讨论思想,由于
等比数列求和公式中分两种情况q=1和q≠1,而本题 未说明q的范围,求解时应分类讨论,而不能直接利用 a1?1-qn? 公式Sn= . 1-q

?针对训练
3 9 等比数列{an}中,a3= ,S3= ,求 an 及前 n 项和 Sn. 2 2 3 解:当 q=1 时,a1=a2=a3= , 2 3 9 S3=3× = ,符合题意, 2 2 3 3 此时 an= ,Sn= n. 2 2
? 2 3 ?a1q = , 2 ? 当 q≠1 时,由已知得? a1?1-q3? 9 ? ? 1-q =2, ?

? 2 3 ?a1q =2, 即? ?a1?1+q+q2?=9, 2 ? 由①②两式相除得 2q2-q-1=0, 1 解得 q=- ,q=1(舍去). 2 ? 1? - n-1 则 a1=6,故 an=a1q =6×?-2?n 1, ? ? ? ? 1? ? n 6×?1-?-2?n? a1?1-q ? ? ? ? ? 此时 Sn= = 1 1-q 1+ 2 ? ? 1? ? ? 1? n? =4?1-?-2? =4-4×?-2?n. ? ? ? ? ? ?

① ②

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.(2012· 大纲全国卷)已知数列{an}的前n项和 为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=
A.2
n-1

(

)

?3? - B.?2?n 1 ? ?

?2? - C.?3?n 1 ? ?

D. n-1 2

1

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(三十二)”

解析:∵Sn=2an+1,∴当 n≥2 时,Sn-1=2an,∴an an+1 3 =Sn-Sn-1=2an+1-2an,∴3an=2an+1,∴ a = . 2 n 1 a2 1 又∵S1=2a2,∴a2= ,∴ = , 2 a1 2 3 ∴{an}从第二项起是以 为公比的等比数列, 2 1? ?3?n-1? ?1-? ? ? 2? ?2? ? ?3?n-1 ∴Sn=a1+a2+a3+?+an=1+ =?2? . 3 ? ? 1- 2

3n-2 ( 也可以先求出 n≥2 时,an= n-1,再利用 Sn=2an+1,求 2 得
?3? - Sn=?2?n 1 ) ? ?

答案:B

a2 +1 n 2.若数列{an}满足 2 =p(p 为正常数,n∈N+),则称数 an 列{an}为“等方比数列”.甲:数列{an}是等方比数列; 乙:数列{an}是等比数列,则
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分条件也不必要条件

(

)

a2 +1 an+1 an+1 n 解析:若 2 =p,则 a =± p,不是定值;若 a =q, an n n
2 an+1 则 2 =q2,且 q2 为正常数,故甲是乙的必要条件. an

答案:B

3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等
差数列. (1)求{an}的公比q; (2)若a1-a3=3,求Sn.
解:(1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 1 由于 a1≠0,故 2q +q=0,又 q≠0,从而 q=- . 2 ? 1? (2)由(1)可得 a1-a1?-2?2=3. ? ? ? ? 1? ? 4?1-?-2?n? ? ? 1 ?n ? ? ? ? ? 8 ? ? ? ? 故 a1=4, 从而 Sn= ? 1? =3?1-?-2? ?. 1-?-2? ? ?
2

4.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第5项、 第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+ =an+ 1 成 b1 b2 bn

立,求 c1+c2+c3+?+c2 013.

解:(1)∵a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, ∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).∵d>0, 故解得 d=2.∴an=1+(n-1)· 2=2n-1. 又 b2=a2=3,b3=a5=9,∴数列{bn}的公比为 3, ∴bn=3·n 2=3n 1. 3
- -

c1 c2 cn (2)由 + +?+b =an+1 得 b1 b2 n cn-1 c1 c2 当 n≥2 时, + +?+ =a . b1 b2 bn-1 n cn 两式相减得:n≥2 时,b =an+1-an=2. n -1 ∴cn=2bn=2·n (n≥2). 3 c1 又当 n=1 时, =a2,∴c1=3. b1 ?3,n=1, ? ∴cn=? n-1 ?2· ,n≥2. ? 3 ∴c1+c2+c3+?+c2 013 6-2×32 013 =3+ =3+(-3+32 013)=32 013. 1-3



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