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11.3


角平分线的性质

复习提问
1、角平分线的概念

一条射线 把一个角分成两个相等的角,

这条射线叫做这个角的平分线。

A

o

1 2

C B

复习提问 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离。
P
线段的长度

A

O

B

尺规作图:
观察领悟作法,探索思考证明方法:

点O 作法:1、以____为圆心, 适当 ______长为半径作圆弧, E

A

C

与角的两边分别交于C、 D两点; C、D 2、分别以_____为圆心, D O B 超过CD一半 __________的长为半径 作弧,两条圆弧交于 E ∠AOB内一点____; OE OE 3、作射线_____; _____就是所求作的射线。

想一想: 为什么OC是角平分线呢? 已知:OM=ON,MC=NC。 求证:OC平分∠AOB。 证明:在△OMC和△ONC中,
OM=ON, MC=NC, OC=OC, ∴ △OMC≌ △ONC(SSS) ∴∠MOC=∠NOC B 即:OC平分∠AOB

A M







角平分线的性质
折一折
A D A

P
O B O

C

E B 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边), 然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距 离,这两个距离相等.

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E。 求证:PD=PE 证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP O ∴ △ PDO≌ △ PEO(AAS) ∴ PD=PE(全等三角形的对应边相等)
D A

C

P
E B

证明几何命题的一般步骤:

1、明确命题的已知和求证
2、根据题意,画出图形,并用数学 符号表示已知和求证;

3、经过分析,找出由已知推出求证 的途径,写出证明过程。

角平分线的性质
定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为: ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个, 必须写完全,不能 少了任何一个。

A D P

PD ⊥OA ,PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边 O 的距离相等) 1 2

E

B

角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件:
(1)角的平分线; (2)点在该平分线上; (3)垂直距离。 O E D

A

P

C

B

定理的作用: 证明线段相等。

∵ 如图,AD平分∠BAC(已知) ∴ BD = CD ,( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。

(×)
A

B D C

∵ 如图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知)



BD = CD ,( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C

(×)

D

∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC,DB⊥AB (已知) ∴ DB = DC ,( 在角的平分线上的点到这个 )
角的两边的距离相等。
B


A

D

不必再证全等

C

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如图, ∵ OC是∠AOB的平分线, PD⊥OA,PE⊥OB 又 ________________
A

∴PD=PE ( 角的平分线上的点
到角的两边的距离相等

) C
B

D
P O

E
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在△ABC中, ∠ C=90 ° ,AD为∠BAC 的平分线,DE⊥AB,BC=7,DE=3.
求BD的长。
A

E

C

D

B

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A

3 . 如图,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足 分别是E,F, DE =DF, ∠EDB= 60°,则 ∠EBF= 60 度,

E

C D

BE= BF



B F C

4 如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB, ∠1=∠2,且AC=6cm,那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ,AE+DE= 6cm 。

5.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少?
C

你会吗?

D

A

E

B

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1 如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的 平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF; 求证:CF=EB

A

F C

E

D

B
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2已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA, 垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE A (在角平分线上的点到角的两边的距离相等) 同理 PE=PF. D M ∴ PD=PE=PF. N P F 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
B C E

怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?

3 如图,△ABC的∠B的外角的平分线BD与 ∠C的外角的平分线CE相交于点P. 求证:点P到三边AB,BC,CA所在直线 的距离相等.
C 更上一层楼! F H

D P E





G

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◆这节课我们学习了哪些知识?
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法;

2、角的平分线的性质: 111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言: ∵ OC是∠AOB的平分线, O 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等).
D P E B A C

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