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闵行区二模试卷(理科)



闵行区 2014 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
(满分 150 分,时间 120 分钟) 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无 效. 3.本试卷共有 23 道试题. 一.填空题(本大题满分 56 分)本

大题共有 14 小题,考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得 0 分. 1.用列举法将方程 log3 x ? log3 ( x ? 2) ? 1 的解集表示为 2.若复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 2 (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? 1 ? 3.双曲线 . . .

上的投影恰好为椭圆的两焦点,则该椭圆的焦距为

. .

12.函数 f ( x) ? log a x ? a( x ?1) 2 ? 8 在区间 ? 0,1? 内无零点,则实数 a 的范围是 y 13.如图,已知点 P(2, 0) ,且正方形 ABCD 内接于 O : C N

x ? y ? 1, M 、 N 分别为边 AB 、 BC 的中点.当正方
2 2

B P x M

形 ABCD 绕圆心 O 旋转时, PM ? ON 的取值范围 为 . D

O

A

? ? x2 ? x ? k x ? 1 x ? (a ? R ) , 若 对 任 意 的 14 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 1 , g ( x) ? a ln( x ? 2) ? 2 x ?1 ?? 2 ? log 1 x x ? 1 3 ?

x1, x2 ??x | x ? R, x ? ?2? ,均有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 k 的取值范围是



x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线的夹角的弧度数为 4 12


二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 小题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相 应编号上,将代表答案的小方格用铅笔涂黑,选对得 5 分,否则一律得 0 分. 15.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是 ( )

? 4 4.若 cos ? ? ,且 ? ? ? 0, ? ? ,则 tg ? 5 2

5.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线

? ? 4cos? 于 A 、 B 两 点 , 则
.

(A) a 2 ? ab .

2 (B) ?ab ? ?b .

(C)

AB =

.
n ???

1 1 ? . a b

(D)

b a ? . a b

6.已知等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 2, a3 ? 1,则 lim (a1a2 ? a2 a3 ?

? an an ?1 ) =

n 7. 设二项式 (3x ? 1) 的展开式的二项式系数的和为 p ,各项系数的和为 q ,且 12 p ? 64 ? q ,则 n 的值

16.从 4 个不同的独唱节目和 2 个不同的合唱节目中选出 4 个节目编排一个节目单, 要求最后一个节 目必须是合唱,则这个节目单的编排方法共有 ( ) (A) 14 种. (B) 48 种. (C)72 种. (D) 120 种. 17.函数 y ? sin x 的定义域为 a, b ,值域为 ? ?1, ? ,则 b ? a 的最大值是( 2

为 8.

.

m 是从 集合 ??1,0,1, 2,3? 中随机 抽取的 一个元素 , 记随机变量 ? ? cos(m ?
.

?
3

?

?

), 则 ? 的数学 期望
(A)

? ?

1? ?

)

E? ?

?.

(B)

4? . 3

(C)

5? . 3

(D) 2? . A

l

2 2 9 . 给 出 条 件 : ① x1 ? x2 , ② x1 ? x2 , ③ x1 ? x2 , ④ x1 . 函 数 f ( x) ? s i nx ? x , 对 任 意 ? x2

18. 如图,已知直线 l ? 平面 ? ,垂足为 O ,在 △ ABC 中, BC ? 2, AC ? 2, AB ? 2 2 ,点 P 是边 AC 上的动点. 该三角形在空间按以下条件作自由移动:(1) A ? l , (2) C ? ? .则 OP ? PB 的最大值为 (A) 2 . (B) 2 2 . ( (C) 1 ? 5 . ) (D)

? ? ?? x1、x2 ? ? ? , ? ,能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立的条件的序号是 ? 2 2?
10. 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 集合为 11. 斜率为 .
2 n ?



P

B

a ? 2an ? 2 ? 1(n ? N ) ,则使不等式 a2015 ? 2015 成立的所有正整数 a1 的

?
N 10 .

O C

y2 2 2 的直线与焦点在 x 轴上的椭圆 x ? 2 ? 1(b ? 0) 交于不同的两点 P 、Q .若点 P 、Q 在 x 轴 b 2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 如图,已知圆锥的底面半径为 r ? 10 ,点 Q 为半圆弧 AB 的中点,点 P 为母线 SA 的中点.若直线

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分.
2 2 2 2 2 2 0? r ? 4) 已知两动圆 F ,把它们的公共点的 1 : ( x ? 3) ? y ? r 和 F 2 : ( x ? 3) ? y ? (4 ? r ) (

轨 迹 记 为 曲 线 C , 若 曲 线 C 与 y 轴 的 正 半 轴 的 交 点 为 M , 且 曲 线 C 上 的 相 异 两 点 A、B 满 足 :

PQ 与 SO 所成的角为

? ,求此圆锥的表面积. 4

S

MA ? MB ? 0 .
(1) 求曲线 C 的方程; (2)证明直线 AB 恒经过一定点,并求此定点的坐标; (3)求 △ ABM 面积 S 的最大值. A

P

B Q

O

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 10 分. 设三角形 ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c ,且 B ? 若 △ ABC 不是钝角三角形,求:(1) 角 C 的范围;(2)

?
3

. 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 7 分,第(3)小题满分 7 分. 各项均为正数的数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n ,都有 2Sn ? bn (bn ? 1) . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)如果等比数列 ?an ? 共有 m(m ? 2, m ? N ) 项,其首项与公比均为 2 ,在数列 ?an ? 的每相邻两项 ai 与
?

2a 的取值范围. c

ai ?1 之间插入 i 个 (?1)i bi (i ? N* ) 后,得到一个新的数列 ?cn ? .求数列 ?cn ? 中所有项的和;
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 某油库的设计容量为 30 万吨,年初储量为 10 万吨,从年初起计划每月购进石油 m 万吨,以满足区域 内和区域外的需求,若区域内每月用石油 1 万吨,区域外前 x 个月的需求量 y (万吨)与 x 的函数关系为 (3)如果存在 n ? N ,使不等式 bn ?
?

1 1 成立,求实数 ? 的范围. ? (n ? 1)? ? bn?1 ? bn bn?1

y ? 2 px ( p ? 0,1 ? x ? 16, x ? N* ) ,并且前 4 个月,区域外的需求量为 20 万吨.
(1)试写出第 x 个月石油调出后,油库内储油量 M (万吨)与 x 的函数关系式; (2)要使 16 个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后, 油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定 m 的取值范围.



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