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高中数学选修1-1复习



高二文科数学复习(常用逻辑用语专题复习)

知识点:
1、命题:真命题,假命题 2、四种命题的真假性之间的关系:

?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

3、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件.

若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 4、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . q q 当 p 、 都是真命题时,p ? q 是真命题; p 、 两个命题中有一个命题是假命题时,p ? q 当 是假命题. 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题都是假 命题时, p ? q 是假命题. 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ? p . 若 p 是真命题,则 ? p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ? p 必是真命题. 5、短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表示. 、 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 、 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 是特称命题. 考点:1、充要条件的判定, 一、范例评析
3 2

6、全称命题 p : ?x ? ? , p ? x ? ,它的否定 ? p : ?x ? ? , ?p ? x ? .全称命题的否定 2、命题之间的关系

1.命题“对任意的 x ? R,x ? x ? 1≤ 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0
3 2 3


2

B.存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0 D.对任意的 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

2、给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、 否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 )

3、已知命题 p 、 q ,如果 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件,那么 q 是 p 的( A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 4. “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? mn 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件
1

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 已 知 a ? 0,a ? 1 , 设 p : 函 数 y ? lo ga x 在 (0, ??) 上 单 调 递 减 , q : 曲 线 y =

x 2+(2a ? 3)x+ 与 x 轴交于不同的两点.若“p 且 q”为假, ? q”为假,求 a 的取值 1 “
范围 6.已知命题:若 a ? 1 ,则关于 x 的不等式 (a2 ? 1) x2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ( x ? R )恒成立.请写 出该命题的逆命题,判断逆命题真假并说明理由.

二、即时作业 1、命题“若 ?C ? 90 ,则 ?ABC 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四
0

个命题中,真命题的个数是( ( A ) 0 (B) 1
2 2

) (C) 2

(D) )条件

3

2. a ? b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 ”的( “

A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 3.已知下列四个命题:①“若 xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题;②“正方形是菱形”的 否命题;③“若 ac2 > bc2 , 则a > b ”的逆命题; ④若“m>2, 则不等式x2 - 2x + m > 0 的解集为R ”.其中真命题的个数为( A.0 个 B.1 个 C.2 个 ) D.3 个

5 2 ;命题 q: ?x ? R ,都有 x2 ? x ? 1 ? 0 ,给出下 4.已知命题 p: ?x ? R ,使 列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ ? q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命 题“ ? p∨ ? q”是假命题,其中正确的是_____________. (填写正确的序号) sin x ?
2 5.已知命题 p : x ? 3 ,命题 q : x ? 5x ? 4 ? 0 ,又 p 且 q 为真,则 x 范围为



2 6.命题“ ?x0 ?R ,使得 x0 ? 1 ? 0 ”的否定是


x

7.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f ( x) ? (3 ? 2a) 是 增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

Q 函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 8.给定两个命题, P : 对任意实数 x 都有 x ? ax ? 4 ? 0 恒成立; :
2

在区间 (1, ??) 上单调递增.如果 P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,求实数 a 的取值 范围.

2

高二文科数学复习(圆锥曲线专题复习)

基础篇 一、圆锥曲线的相关概念及离心率的求法
定义,标准方程,几何性质,离心率 (一)范例评析 1.已知椭圆
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x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16
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2

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A 2 B 3 C 5 D 7 若椭圆的对称轴为坐标轴, 长轴长与短轴长的和为 18 , 焦距为 6 , 则椭圆的方程为 (
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A

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x2 y2 ? ?1 9 16 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

B

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x2 y2 ? ?1 25 16
以上都不对

C

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D

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动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A
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双曲线

B

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双曲线的一支

C

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两条射线

D

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一条射线 )
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若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( A
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( 7? ,

14 ) B

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( 1 4? ,

C 14 )

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D ( 7? 2 1 4 ) ,

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(? 7 ? 2 1 4 ) ,

5

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若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k

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6.已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,它的一条渐近线方程是 y ? 2 x ,且过点

(?1, ? 1) ,则双曲线 C 的标准方程是___________.
7.过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右焦点且与右支有两个交点的直线,其倾斜角范围是( A [0, ? ) C ( B )

? 3?
4 , 4

? ? ? 3? ( , )?( , ) 4 2 2 4
?
) ? ( ,? ) 2 2

)

D (0,

?

8.设圆锥曲线 x 9.椭圆 2 a
2 2

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率 e? (0, ) , 则 k 的取值范围是 4 k 2

y + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分 b

正三角形的两边,则椭圆的离心率为_____________ 10.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离 1

???? ???? ? ?

3

心率的取值范围是_______

(二)即时作业 1 2 3 4
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抛物线 y 2 ? 6 x 的准线方程为_____ 抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是

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椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?

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双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________

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若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为
2 2

3 ,则它的长半轴长为_______________ 2

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x 6.椭圆 2 a

y + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,点 P 在椭圆上,使△OPF1 为正三角形, b

则椭圆离心率为______ x 7.椭圆 2 a
2

y + 2 =1(a>b >0),A 是左顶点,F 是右焦点,B 是短轴的一个顶点,∠ABF=90°, b

2

则椭圆离心率为______ 8.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,左顶点为 A ,虚轴的两个端点分 a2 b2

别为 B1 , B2 ,若 F , A, B1 , B2 在同一个圆上,则双曲线的离心率等于______

9.设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,如果椭圆上存在点 P, a 2 b2

使 ?F1 PF2 ? 90? ,求离心率 e 的取值范围。

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双曲线与椭圆有共同的焦点 F (0, ?5), F2 (0,5) ,点 P(3,4) 是双曲线的渐近线与椭圆的 1
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一个交点,求渐近线与椭圆的方程

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二、直线与圆锥曲线的位置关系
(一)范例评析 1
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k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点?有一个公共点?
没有公共点?

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在抛物线 y ? 4 x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短

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3、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆于 2 1

A,B 两点,求⊿ABF2 的面积

4、已知中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆的离心率为 弦的中点的横坐标是 ?

2 ,若椭圆被直线 x+y+1=0 截得的 2

2 ,求椭圆的方程 3

5、已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(3, (Ⅰ)求双曲线 C 的方程;

3), B(?4, 10) 两点.

(Ⅱ)若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 C 有公共点,求 k 的取值范围.

6.已知抛物线 x ? ay(a ? 0) ,点 O 为坐标原点,斜率为 1 的
2

直线 l 与抛物线交于 A, B 两点 (1)若直线 l 过点 D(0,2) 且 a ? 4 ,求 ?AOB 的面积; (2)若直线 l 过抛物线的焦点且 OA ? OB ? ?3 ,求抛物线的方程. A X O Y B

5

(二)即时作业 1、直线 x=2 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的交点个数为 4 3 x2 y2 ? ? 1 截得的弦长为 16 4
.

2、直线 x-y+1=0 被椭圆

3、直线 y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点,则 m2=

? x2 ? y 2 ? 1的左右焦点,过 F1 作倾斜角为 的直线与椭圆交于P,Q 4、 F1 , F2 分别是椭圆 4 2
两点,则 ?F2 PQ 的面积为 5、若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围 5 m

6、已知椭圆 C 的焦点分别为 F (?2 2,0), F2 (2 2,0) ,长轴长为 6,设直线 y ? x ? 2 交椭 1 圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(2,1) 7、椭圆 E: ,求经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程. 16 4

y A 8.已知直线 l 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点.
2

(1)若 | AF |? 4 ,求点 A 的坐标; (2)若直线 l 的倾斜角为 45? ,求线段 AB 的长.
O

F x B

6

提高篇
(一)范例评析 1
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若动点 P( x, y) 在曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为_______ 4 b2

??? ? 2.设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与
??? ? x 轴正向的夹角为 60? ,则 OA 为(
21 p 4


A.

B.

21 p 2
y2 ? 1. 4

C.

13 p 6

D.

13 p 36

3.已知双曲线 C1 : x ?
2

(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P(4, 3 )的双曲线 C2 的标准方程; (2)直线 l:y=x+m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A,B 两点.当 OA? OB ? 3 时,求实数 m 的值.

???? ??? ?

4.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

5 . 设 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 是 椭 圆 F 的 两 个 焦 点 , 点 M 是 椭 圆 上 的 一 动 点 , 满 足

| MF1 | ? | MF2 |? 4 .
(Ⅰ)求椭圆 F 的方程; (Ⅱ)若斜率均为 k 的直线 l1 、 l 2 分别过点 (0, 1) 和 (0, ? 1) ,且 l1 , l2 与椭圆 F 分别交 于 A, B 和 D, C . ① 求四边形 ABCD 的面积表达式; ② 椭圆的面积计算公式为 S ? ?ab (其中 2a, 2b 为椭圆的长轴和短轴长).设 Q 是椭圆 F 所围成图形内的动点,若 Q 落在四边形 ABCD 内的概率为 p ,求 p 的最大值.

7

(二)即时作业 1.已知椭圆 c :

y2 x2 1 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率 e ? , P(0,2) 为 2 2 a b

该椭圆上一点, (I)求椭圆的方程. (II)过点 M (0,3) 作直线与椭圆 c 相交于 A、B 点,若以 AB 为直径的圆经原点 O ,求直线的 方程

2.已知过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0?的焦点,斜率为 2 2 的直线交抛物线于

A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )两点,且 AB ? 9 .
(1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值.

3.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (?2 2,0) 、 (2 2,0) 的距离之和等于 6,设点 P 的 轨迹为曲线 C ,直线 x ? my ? 1 ? 0 与曲线 C 交于 A、B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若以线段 AB 为直径的圆过坐标原点,求 m 的值; (Ⅲ)当实数 m 取何值时, ?AOB 的面积最大,并求出面积的最大值.

8



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