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高中数学2015新课标步步高13.2



§ 13.2





1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+bi (a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+ bi 为实数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(

a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴上 的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数. (5)复数的模 → 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作__|z|__或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= a2+b2. 2.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi (2)复数 z=a+bi 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ④除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di? ac+bd bc-ad = 2 2+ 2 i(c+di≠0). c +d c +d2 (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+ z3=z1+(z2+z3). 复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). → 平面向量OZ(a,b∈R).

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x2+x+1=0 没有解. (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为 bi. (3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小. (4)原点是实轴与虚轴的交点. ( × ( × ( × ( √ ) ) ) )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的 模. 2.(2012· 北京)设 a,b∈R.“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 B 解析 当 a=0,且 b=0 时,a+bi 不是纯虚数;若 a+bi 是纯虚数,则 a=0. 故“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件. 3.(2013· 陕西)设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 z ≥0,则 z 是实数 B.若 z2<0,则 z 是虚数 C.若 z 是虚数,则 z2≥0 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0 答案 C 解析
? ? ?ab=0, ?a=0, ? 设 z=a+bi(a,b∈R),z2=a2-b2+2abi,由 z2≥0,得? 2 即 或 2 ?a ≥b , ?|a|≥|b| ? ?
2

( √ ( )

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

?b=0, ? ? .所以 a=0 时 b=0,b=0 时 a∈R.故 z 是实数,所以 A 为真命题;由于实数的 ? ?|a|≥|b|

平方不小于 0,所以当 z2<0 时,z 一定是虚数,故 B 为真命题;由于 i2=-1<0,故 C 为 假命题,D 为真命题. 4.(2013· 四川)如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,由图中表示 z 的共轭复数的点是( A.A C.C 答案 B 解析 表示复数 z 的点 A 与表示 z 的共轭复数的点关于 x 轴对称,∴B 点表示 z .选 B. 5.(2013· 广东)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D ) B.B D.D )

3+4i 解析 由题意知 x+yi= =4-3i,所以|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5. i

题型一 复数的概念 例1 z1 z1 (1)已知 a∈R,复数 z1=2+ai,z2=1-2i,若 为纯虚数,则复数 的虚部为( z2 z2 2 A.1 B.i C. D.0 5 (2)若 z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R),z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

)

思维启迪 (1)若 z=a+bi(a,b∈R),则 b=0 时,z∈R;b≠0 时,z 是虚数;a=0 且 b≠0 时,z 是纯虚数. (2)直接根据复数相等的条件求解. 答案 解析 (1)A (2)A z1 2+ai ?2+ai??1+2i? 2-2a 4+a z1 (1)由 = = = + i 是纯虚数,得 a=1,此时 =i,其 z2 1-2i 5 5 5 z2

虚部为 1. ?m2+m+1=3 ? (2)由? 2 ,解得 m=-2 或 m=1, ? ?m +m-4=-2 所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件. 思维升华 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发, 把复数问题转化成实数问题来处理. (1)(2013· 安徽)设 i 是虚数单位.若复数 a- 10 (a∈R)是纯虚数,则 a 的值为 3-i ( A.-3 B.-1 C .1 D.3 ) (2)(2012· 江西)若复数 z=1+i(i 为虚数单位),z 是 z 的共轭复数, 则 z2+ z 2 的虚部为( A.0 答案 解析 B.-1 C .1 D.-2 )

(1)D (2)A 10 10 (1)a- =a-(3+i)=(a-3)-i,由 a∈R,且 a- 为纯虚数知 a=3. 3-i 3-i

(2)利用复数运算法则求解. ∵z=1+i, ∴ z =1-i,z2+ z 2=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0. 题型二 复数的运算 3?1+i?2 例 2 计算:(1) =________; i-1

1+i 6 2+ 3i (2)( )+ =________. 1-i 3- 2i 思维启迪 复数的除法运算,实质上是分母实数化的运算. 答案 (1)3-3i (2)-1+i 3?1+i?2 3×2i 6i 解析 (1) = = i-1 i-1 i-1 6i?i+1? =- =-3i(i+1)=3-3i. 2 ?1+i?2 6 ? 2+ 3i?? 3+ 2i? (2)原式=[ ]+ 2 ? 3?2+? 2?2 6+2i+3i- 6 =i6+ =-1+i. 5 思维升华 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母

同乘以分母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. (2)记住以下结论,可提高运算速度, 1+i 1-i a+bi + + ①(1± i)2=± 2i;② =i;③ =-i;④ =b-ai;⑤i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1, i 1-i 1+i i4n 3=-i(n∈N).


3+i (1)已知复数 z= , z 是 z 的共轭复数,则 z·z =________. ?1- 3i?2 -2 3+i 2 2 014 (2) +( ) =________. 1-i 1+2 3i 1 答案 (1) (2)0 4 | 3+i| 1 解析 (1)方法一 |z|= 2 =2 , |?1- 3i? | 1 z·z =|z|2= . 4 3+i 3 i 方法二 z= =- + , 4 4 -2?1+ 3i? 1 3 i 3 i z·z =?- + ??- - ?= . ? 4 4?? 4 4? 4 i?1+2 3i? 2 2 1 007 (2)原式= +[( )] 1-i 1+2 3i 2 1 007 =i+( ) =i+i1 007 -2i =i+i4
×251+3

=i+i3=0.

题型三 复数的几何意义 例3 如图所示,平行四边形 OABC,

顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: → → (1)AO、BC所表示的复数; → (2)对角线CA所表示的复数; (3)求 B 点对应的复数. 思维启迪 结合图形和已知点对应的复数,根据加减法的几何意义,即可求解. → → → 解 (1)AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → → (2)CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → → → (3)OB=OA+AB=OA+OC, → ∴OB所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. 思维升华 因为复平面内的点、 向量及向量对应的复数是一一对应的, 要求某个向量对应 的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可. z 已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面内 2- i 对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解 设 z=x+yi(x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. x-2i 1 z ∵ = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 1 1 = (2x+2)+ (x-4)i, 5 5 由题意得 x=4.∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, 2 ? ?12+4a-a >0 根据条件,可知? , ?8?a-2?>0 ? 解得 2<a<6, ∴实数 a 的取值范围是(2,6).

解决复数问题的实数化思想

典例:(12 分)已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x,y. 思维启迪 (1)x,y 为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来;(2)利用复数相等,将复数问 题转化为实数问题. 规范解答

解 设 x=a+bi (a,b∈R), 则 y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,[3 分] 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,[5 分] 2 ? ?4a =4 根据复数相等得? ,[7 分] 2 2 ?-3?a +b ?=-6 ?
? ? ? ? ?a=1 ?a=1 ?a=-1 ?a=-1 解得? 或? 或? 或? .[9 分] ? ? ? ? ?b=1 ?b=-1 ?b=1 ?b=-1

故所求复数为 ?x=1+i ?x=1-i ?x=-1+i ?x=-1-i ? ? ? ? ? 或? 或? 或? .[12 分] ?y=1-i ?y=1+i ?y=-1-i ? ? ? ? ?y=-1+i 温馨提醒 (1)复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方 法. (2)本题求解的关键是先把 x、y 用复数的形式表示出来,再用待定系数法求解.这是常用的 数学方法. (3) 本 题 易 错 原 因 为 想 不 到 利 用 待 定 系 数 法 , 或 不 能 将 复 数 问 题 转 化 为 实 数 方 程 求 解 .

方法与技巧 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的 过程. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题,平移往 往和加法、减法相结合. 3.实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系,即
一一对应 一一对应 → 复数z=a+bi ― ― → 复平面内的点Z?a,b? ― ― → 平面向量OZ

4.复数运算常用的性质: 1+i 1-i (1)①(1± i)2=± 2i;② =i, =-i; 1-i 1+i 1 3 (2)设 ω=- + i,则①|ω|=1;②1+ω+ω2=0;③ ω =ω2. 2 2 (3)in+in 1+in 2+in 3=0(n∈N*).
+ + +

失误与防范 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立.因此解此类方程

的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解. 3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若 z1,z2∈C,
2 2 z2 1+z2=0,就不能推出 z1=z2=0;z <0 在复数范围内有可能成立.

A 组 专项基础训练 一、选择题 1.若复数 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 A.-1 答案 A 解析
?x2-1=0 ? 由复数 z 为纯虚数,得? ,解得 x=-1,故选 A. ?x-1≠0 ?

(

)

B.0

C.1

D.-1 或 1

→ → → 2.在复平面内,向量AB对应的复数是 2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对应 的复数是 A.1-2i C.3+4i 答案 D → → → 解析 因为CA=CB+BA=-1-3i+(-2-i)=-3-4i. z 3.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数 的点是 1+i ( ) B.-1+2i D.-3-4i ( )

A.E 答案 D

B.F

C.G

D.H

解析 由题图知复数 z=3+i, 3+i ?3+i??1-i? 4-2i z ∴ = = = =2-i. 2 1+i 1+i ?1+i??1-i? z ∴表示复数 的点为 H. 1+i ?2-i?2 4.(2013· 山东)复数 z= (i 为虚数单位),则|z|等于 i A.25 C.5 B. 41 D. 5

(

)

答案 C 3-4i z= =-4-3i,所以|z|= ?-4?2+?-3?2=5. i 2+i 5.复数 的共轭复数是 1-2i 3 3 A.- i B. i 5 5 解析 C.-i 答案 C 2+i ?2+i??1+2i? 2+i+4i-2 解析 方法一 ∵ = = =i, 5 1-2i ?1-2i??1+2i? 2+i ∴ 的共轭复数为-i. 1-2i 2+i -2i2+i i?1-2i? 方法二 ∵ = = =i. 1-2i 1-2i 1-2i 2+i ∴ 的共轭复数为-i. 1-2i 二、填空题 6.(2013· 天津)i 是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=________. 答案 5-5i (3+i)(1-2i)=3-5i-2i2=5-5i. 3+bi 7.(2012· 湖北)若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b=________. 1-i 解析 答案 3 解析 利用复数相等的条件求出 a,b 的值. 3+bi ?3+bi??1+i? 1 = = [(3-b)+(3+b)i] 2 2 1-i 3-b 3+b = + i. 2 2 b , ?a=3- 2 ∴? 3+b ? 2 =b,
? ?a=0, 解得? ∴a+b=3. ?b=3. ?

(

)

D.i

8.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数 m 的取值范围是________. 2 答案 m< 3 解析 z=(3m-2)+(m-1)i,其对应点(3m-2,m-1),在第三象限内, 2 故 3m-2<0 且 m-1<0,∴m< . 3 三、解答题 9.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1· z2 是实数, 求 z2. 解 (z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i.

设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1· z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i. 3 2 10.复数 z1= +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的值. a+5 1-a 3 2 解 z 1+z2= +(a2-10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a 3 2 =?a+5+1-a?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ? a-13 = +(a2+2a-15)i. ?a+5??a-1? ∵ z 1+z2 是实数, ∴a2+2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. 又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5 且 a≠1,故 a=3. B 组 专项能力提升 2 1.(2012· 课标全国)下面是关于复数 z= 的四个命题: -1+i p1:|z|=2; p2:z2=2i; p3:z 的共轭复数为 1+i; p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为 A.p2,p3 答案 C 解析 利用复数的有关概念以及复数的运算求解. 2 ∵z= =-1-i, -1+i ∴|z|= ?-1?2+?-1?2= 2, ∴p1 是假命题; ∵z2=(-1-i)2=2i, ∴p2 是真命题; ∵ z =-1+i,∴p3 是假命题; ∵z 的虚部为-1,∴p4 是真命题. 其中的真命题共有 2 个:p2,p4. ?1+i?n+?1-i?n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为 2.设 f(n)=? ? ? ? ?1-i? ?1+i? A.1 答案 C 解析 f(n)=? B.2 C.3 D.无数个 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 ( )

(

)

?1+i?n+?1-i?n=in+(-i)n, ? ? ? ?1-i? ?1+i?

f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,?

∴集合中共有 3 个元素. 3.对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是 A.|z- z |=2y C.|z- z |≥2x 答案 D 解析 ∵ z =x-yi(x,y∈R),|z- z |=|x+yi-x+yi|=|2yi|=|2y|,∴A 不正确; 对于 B,z2=x2-y2+2xyi,故 B 不正确; ∵|z- z |=|2y|≥2x 不一定成立,∴C 不正确; 对于 D,|z|= x2+y2≤|x|+|y|,故 D 正确. 4.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实部是________. 答案 1 解析 设 z=a+bi(a、b∈R),由 i(z+1)=-3+2i, 得-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1=2,∴a=1. 5.已知集合 M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若 M∩N={3},则实数 m 的值为 ________. 答案 3 或 6 解析 ∵M∩N={3},∴3∈M 且-1?M, ∴m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3 或 m=3, ∴m2-5m-6=0 且 m≠-1 或 m=3, 解得 m=6 或 m=3. 6.若 1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则 b=________,c= ________. 答案 -2 3 解析 利用实系数方程的根与系数的关系求解. ∵实系数一元二次方程 x2+bx+c=0 的一个虚根为 1+ 2i, ∴其共轭复数 1- 2i 也是方程的根. 由根与系数的关系知, B.z =x +y
2 2 2

(

)

D.|z|≤|x|+|y|

??1+ 2i?+?1- 2i?=-b, ? ??1+ 2i??1- 2i?=c,
∴b=-2,c=3.



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